高数矩阵的初等变换精选文档.ppt

高数矩阵的初等变换本讲稿第一页，共二十五页简单回顾简单回顾矩阵的定义矩阵的相等矩阵的乘法和线性方程组的关系本讲稿第二页，共二十五页n元线性方程组n元线性方程组n元线性方程组定义齐次(线性)方程组方程组中的矩阵：系数矩阵和增广矩阵阶梯形方程组上三角形方程组阶梯形方程组能化为上三角形的必要条件是m=n.加减消元法解方程组就是通过同解变形化为如下结果本讲稿第三页，共二十五页系数矩阵和增广矩阵例2.2.1三元线性方程组的和分别是系数矩阵增广矩阵 由矩阵乘法，线性方程组可表示为AX=B，那么如何由矩阵变换来解线性方程组呢？本讲稿第四页，共二十五页1.初等变换消元法解线性方程组的实例引入初等变换的增广矩阵是本讲稿第五页，共二十五页的增广矩阵是1)2,消去中的x1,得到一个同解方程组本讲稿第六页，共二十五页的增广矩阵是2)消去中的x2,又得同解方程组本讲稿第七页，共二十五页 ,得到同解方程组的增广矩阵是本讲稿第八页，共二十五页上述增广矩阵的变化对应着方程组的同解变换，这就是矩阵的初等变换，另加一种对矩阵来说是很有用的变换：交换矩阵的两行，就得到矩阵的三种行初等变换。本讲稿第九页，共二十五页初等变换的定义-初等行变换(1)交换 A 的第 i 行与第 j 行，记作Ri Rj；(2)用一个非零实数：乘以 A 的第 i 行，即用该数乘以该行的每个元素，所得各数按原来次序作为同一行的元素，记作 Ri c；(3)用一实数c乘以 A 的第 j 行（如（2）中所述）后，再加到 A 的第i 行上，记作 Ri Rj c（称为第 i 行加上第 j 行的c倍），当c 0 时，也记作 Ri Rj c.-初等列变换 当上述三种变换中的行改为列时，我们称为 A 的三种初等列变换（列变换不能简单地用于解线性方程组）本讲稿第十页，共二十五页用矩阵的初等行变换解线性方程组解解:根据矩阵相等的定义根据矩阵相等的定义,必有必有:例例2.2.2 求解未知数，使下列两矩阵相等。这里，求解未知数，使下列两矩阵相等。这里，本讲稿第十一页，共二十五页整理得它的增广矩阵本讲稿第十二页，共二十五页对增广矩阵做行初等变换因第一行第一列的元素为0，因此将矩阵的第一、二两行交换，使得第一行第一列的元素不为0，这样就可以通过如下的行变换把矩阵化为第一列只有一个非零元(处在第一行，最好取为1)的矩阵.然后保持第一行不动，只对矩阵第二行以后的元素做初等行变换.此时如果第二列处在第二行之后的元素不都为0，则把由第二行和第二列以后的元素构成的小一阶的矩阵再重复实行上述变换;如果第二列的处在第二行以后的元素全为0，则直接从第三列的处在第二行之后的元素进行同样的处理.反复进行这个过程，我们就可以通过初等行变换将一个矩阵化为上三角形方程组的增广矩阵，然后就很容易把方程组的解求出来.(板演过程板演过程)最终得解为最终得解为本讲稿第十三页，共二十五页2.阶梯形矩阵 解方程组就是将它的增广矩阵通过初等变换化为上三角矩阵（更一般的应该是阶梯形矩阵）定义定义（教材136页）“右下方”而不能是”下方”!其中(1),(2),(4)是阶梯形矩阵；而(3)不是，因为其第 5 行非零首元 3 不在上一行非零首元1 的右下方，而是在1 的正下方2.2.3若它们作为增广矩阵，对应的方程组是什么？若它们作为增广矩阵，对应的方程组是什么？本讲稿第十四页，共二十五页定理2.2.2阶梯形矩阵的秩(rank)：即其非零行数.矩阵A的秩：任一矩阵A化成的阶梯形矩阵具有的非零行数。记为r(A).定理 初等变换不改变矩阵的秩.即r(A)是唯一的。初等变换对应着方程组的求解,求秩就是确定方程组真正的个数。“打假”！任意矩阵A均可经有限次初等行变换化为阶梯形,且所有化成的阶梯形矩阵都具有相同个数的非零行(即该行至少有一个元素不为零).注 秩的另一种定义是矩阵中最大的非零子(行列)式的阶数,初等变换不改变行列式的非零性，秩不变.教材没有定义一般矩阵的秩教材没有定义一般矩阵的秩!因为它们对应的不同方程组都是同解的。不变的神韵！不变的神韵！本讲稿第十五页，共二十五页例1.1.5将下列矩阵化为阶梯形并求秩:本讲稿第十六页，共二十五页阶梯形矩阵的形式不唯一.我们可以化得更简单些。n 元方程组的解对应着下述矩阵的形式，因此利用矩阵的行初等变换解n元线性方程组时，最终应化为如下形式:本讲稿第十七页，共二十五页3.标准形矩阵（教材中没有定义却有例题）定义定义 如果 mn 阶矩阵(aij)mn 满足 aii=1，i=1,2,r(其中r不大于m和n)，除此以外所有元素均为0，则称该矩阵为标准形矩阵.从以上的例子中不难看出，每个矩阵都可经有限次初等变换化为标准形.可以证明,标准形的得到与施行怎样的初等变换（不管是行变换还是列变换,通常要用到列变换）无关，即所有矩阵的标准形都与原矩阵具有相同的秩。因此标准形矩阵是唯一的。本讲稿第十八页，共二十五页例例1.1.6 化下列矩阵为阶梯形和标准形，并求秩：标准形矩阵的秩等于其非零元素1的个数。每个矩阵都可经有限次初等变换化为标准形。本讲稿第十九页，共二十五页讨论:下列两个矩阵的秩是否相等?第一组后一矩阵R1+R3=R2!第二组前一矩阵R1+R2+R3得到前一矩阵的R1，由R2+R3得到R2，初等变换不改变矩阵的秩!本讲稿第二十页，共二十五页解下列矩阵方程:AX=Bi对应的线性方程组的对应的线性方程组的增广矩阵是增广矩阵是本讲稿第二十一页，共二十五页解矩阵方程:AX=B2的过程是否与前面一样的过程是否与前面一样?需要作相应改变的需要作相应改变的只是第四列只是第四列,步骤步骤一点儿也不变一点儿也不变!-2-2本讲稿第二十二页，共二十五页 上面的过程合并到一起，就是解矩阵方程上面的过程合并到一起，就是解矩阵方程AX=I，可以放到一个大矩阵中进行，如右上。可以放到一个大矩阵中进行，如右上。令 I 是单位矩阵，对于数，若是单位矩阵，对于数，若 ax=1,x 是是 a 的倒数，的倒数，那么这里的矩阵那么这里的矩阵X与与A是什么关系呢？有什么用呢？咱是什么关系呢？有什么用呢？咱们下节课继续讨论。们下节课继续讨论。本讲稿第二十三页，共二十五页作业2.2.7 中奇数题2.2.9（1）提示:2.2.9（1）中的X必为二阶矩阵，分别求X的列向量相当于求解两个方程组，即两个方程组是否能放在一个矩阵中同时解？本讲稿第二十四页，共二十五页1.1.3 用矩阵的行初等变换解用矩阵的行初等变换解本讲稿第二十五页，共二十五页