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两个基本原理第1页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理问题问题 1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,第一类方法,乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方法。第2页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析:从A村经 B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有2种方法,所以 从A村经 B村去C村共有 3 2=6 种不同的方法。第3页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理加法原理加法原理 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类办法类办法,在第一类办法中有在第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在，在第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。种不同的方法。乘法原理乘法原理 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤，做第一步有步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，做，做第第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法。第4页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 例题例题 1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有 m1=5 种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有 m2=4 种不同的方法;所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有 N=5+4=9 种。第5页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 例题例题 1.某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,第一步,选一名男三好学生,有 m1=5 种方法;第二步,选一名女三好学生,有 m2=4 种方法;所以,根据乘法原理,得到不同选法种数共有 N=5 4=20 种。点评点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。第6页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)第7页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 3.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？分析:按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,需分为三步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10.根据乘法原理,共可以设置 N=101010=103 种三位数的密码。答:首位数字不为0的密码数是 N=91010=9102 种,首位数字是0的密码数是 N=11010=102 种。由此可以看出,首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。第8页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理3.一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？问:若设置四位、五位、六位、十位等密码,密码数分别有多少种？答:它们的密码种数依次是 104,105,106,种。第9页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 点评点评:加法原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交为空集,n类的并为全集。乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。第10页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 课堂练习课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？第11页，本讲稿共47页第12页，本讲稿共47页第13页，本讲稿共47页第14页，本讲稿共47页第15页，本讲稿共47页第16页，本讲稿共47页第17页，本讲稿共47页第18页，本讲稿共47页第19页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 课堂练习课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3 种,第二步,m2=2 种,第三步,m3=1 种,第四步,m4=1 种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。第20页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 课堂练习课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？问:若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？答:它们的涂色方案种数分别是 0,4322=48,5433=180种等。第21页，本讲稿共47页 2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB第22页，本讲稿共47页第23页，本讲稿共47页第24页，本讲稿共47页第25页，本讲稿共47页第26页，本讲稿共47页第27页，本讲稿共47页第28页，本讲稿共47页第29页，本讲稿共47页第30页，本讲稿共47页第31页，本讲稿共47页第32页，本讲稿共47页第33页，本讲稿共47页第34页，本讲稿共47页第35页，本讲稿共47页第36页，本讲稿共47页第37页，本讲稿共47页第38页，本讲稿共47页第39页，本讲稿共47页第40页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3 条 第二类,m2=1 条 第三类,m3=22=4 条 所以,根据加法原理,从A到B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。第41页，本讲稿共47页.ABABm1m1m2m2mnmn点评点评:我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:第42页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理3.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？第43页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=12=2 条 第二类,m2=12=2 条 第三类,m3=12=2 条 所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有 N=2+2+2=6 条。第44页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以 m1=23=6 种不同的走法;第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以 m2=42=8 种不同的走法;所以从甲地到丙地共有 N=6+8=14 种不同的走法。第45页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内容？答答:加法原理和乘法原理。2.加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？答答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法。不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,加法原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。第46页，本讲稿共47页加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:3.何时用加法原理、乘法原理里呢?答答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。第47页，本讲稿共47页