西安电子科技大学固体物理试题.doc

. -·考试时间120分钟总分 试 题班级学号一、 简答题共65分1. 名词解释：基元，空间点阵，复式格子，密堆积，负电性。10分2. 氯化钠与金刚石是复式格子还是单式格子，各自的基元中包含多少原子？分别是什么原子？6分3. 在固体物理中为什么要引入“倒空间的概念？5分4. 在晶体的物相分析中，为什么使用X光衍射而不使用红外光？5分5. 共价键的定义和特点是什么？4分6. 声子有哪些性质？7分7. 钛酸锶是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成多少支格波，其中声学支和光学支格波各多少支？5分8. 晶格振动的Einsten模型在高温和低温下都与实验定律符合吗？为什么？5分9. 试画出自由电子和近自由电子的DEn关系图，并解释二者产生区别的原因。8分10. 费米能级Ef的物理意义是什么？在绝缘体中费米能级处在导带、禁带、价带的哪个中？两块晶体的费米能级本来不同，Ef1Ef2，当两块晶体严密接触后，费米能级如何变化？10分二、 计算题共35分1铜靶发射=0.154nm的X射线入射铝单晶面心立方构造，如铝111面一级布拉格反射角=19.2º，试据此计算铝111面族的面间距d与铝的晶格常数a。10分2图示为二维正三角形晶格，相邻原子间距为a。只计入最近邻相互作用，使用紧束缚近似计算其s能带Ek、带中电子的速度vk以及能带极值附近的有效质量m*。15分提示：使用尤拉公式化简3用Debye模型计算一维单式晶格的热容。10分. . word.zl-. -参考答案一、 简答题共65分1. 10分答：基元：组成晶体的最小构造单元。空间点阵：为了概括晶体构造的周期性，不考虑基元的具体细节，用几何点把基元抽象成为一点，那么晶体抽象成为空间点阵。复式格子：晶体由几种原子组成，但各种原子在晶体中的排列方式都是一样的均为B格子的排列，可以说每一种原子都形成一套布拉菲子格子，整个晶体可以看成是假设干排列完全一样的子格子套构而成。密堆积：如果晶体由全同的一种粒子组成，而粒子被看成是小圆球，这些小圆球最严密的堆积状态，此时它有最大的配位数12。负电性：原子的负电性是原子得失价电子能力的一种度量。其定义为：负电性常数电离能亲和能。 2. 6分 答： 氯化钠与金刚石是复式格子，各自的基元中各包含2个原子，氯化钠的基元中是Na和Cl原子，金刚石的基元中是2个处于不同环境的C原子。 3. 5分答：波的最主要的指标是波矢K，波矢K的方向就是波传播的方向，波矢的模值与波长成反比，波矢的量纲是1/m。讨论晶体与波的相互作用是固体物理的根本问题之一。一般情况下晶体的周期性、对称性等均在正空间描述，即在m的量纲中描述。为了便于讨论晶体与波的相互作用，必须把二者放到同一个空间，同一坐标系中来。我们的选择是把晶体变换到量纲是1/m的空间即倒空间来，即把正空间晶体 “映射到倒空间，所以需引入倒空间。引入“倒空间的概念后，可以将晶面族特征用一个矢量综合表达出来，矢量的方向代表晶面的法向，矢量的模值比例于晶面的面间距。用数学方法将晶体构造中不同位向的晶面族转化成了倒格子空间的倒格点，每个格点都表示了晶体中一族晶面的特征。4. 5分 答： 由布拉格定律，产生X-射线衍射的衍射极大条件是：2dsin=n。由于红外光的波长比X-光长，如果使用红外波，不满足布拉格定律，不能产生衍射，所以在晶体的物相分析中，要使用X光衍射而不使用红外光。 5. 4分 答： 能把两个原子结合在一起的一对为两个原子所共有的自旋相反配对的电子构造，称为共价键。共价键的特点：饱和性和方向性。 6. 7分 答： 声子的性质有： 声子是量子谐振子的能量量子；3NS格波与3NS个量子谐振振子一一对应；声子为玻色子；平衡态时声子是非定域的；声子是准粒子，遵循能量守恒 定律和准动量选择定那么；非热平衡态，声子扩散伴随着热量传导；平均声子数。 7. 5分 答：钛酸锶是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成15支格波，其中声学支格波3支，光学支格波12支。 8. 5分答：晶格振动的Einsten模型在高温时与实验定律符合，在低温下与实验定律不符合。这是因为在高温下，随着温度的升高，各格波的平均声子数会增多，温度足够高时，所有格波都已充分激发，此时(略去零点能)晶体能与温度有关局部晶格振动能已激发格波的能量之和，所有已被激发的格波都比照热有奉献，所以与实验定律相符。低温情况，定性地认为只有的那些格波在温度T时才激发，只有这些已激发的格波才比照热有实际奉献；而的格波被“冻结，比照热无奉献。在爱因斯坦模型中，假设晶格中所有原子均以一样频率独立地振动，即设不管在什么温度下所有格波激发，显然与实际不符，这就是低温下爱因斯坦模型定量上与实验不符的原因。9. 8分答：自由电子和近自由电子的DEn关系图如下：对自由电子，有，即D(E)与E1/2成正比，随E的增大，D(E)单调上升。对于近自由电子，有，D(E)与SE近自由电子的等能面曲线偏离自由电子的圆形等能线，等能线向B.Z.边界凸起，在这种情况下的等能量间隔，近自由电子所对应的波矢空间体积比自由电子大，因而该处近自由电子能态密度D(E)大于自由电子的能态密度，当能量到达某一临界值EB时，使D(E)到达最大值。能量再大，等能面破裂，近自由电子等能量间隔所对应的波矢空间体积开场减小，这时态密度随之减小，直至到达EC时，等能线变成一点，态密度D(E)=0。10. 10分答：费米能级Ef的物理意义是：Ef是标志电子在能谱上填充水平的一个重要参数，在绝对零度时，Ef以下的每个能态都为电子占据，而Ef以上的能态都是空的。在绝缘体中费米能级处在禁带中。两块晶体的费米能级本来不同，Ef1Ef2，当两块晶体严密接触后，费米能级将具有统一的费米能级。二、 计算题共35分1 解： 由布拉格定律：2dsin=n，可知：，有题目可知：n=1，=0.154nm，=19.2º所以：铝111面族的面间距d=0.234nm，铝111面的方向为面心立方构造的体对角线方向，那么：，2解：1如图，以中心原子为坐标原点建立直角坐标系： yx 那么与该原子最近邻的六个原子的位矢的坐标为： 由紧束缚近似，s能带为：2带中电子的速度为：3能带极值附近的有效质量：因为：所以，在能带底附近：；在能带顶附近：和ky为任意值又因为：所以：在能带底附近：；在能带顶附近：ky为任意值时，3解： 一维单式晶格的q点密度为，dw区间格波数为：g(w)dw2所以一维单式晶格的格波密度函数：g(w) 由德拜模型可知，只有w的格波才能被激发，已激发的格波数为；A在极低温度下，一维单式格子主要是长声波激发，对满足<<1的格波能量为KBT。 此时晶格的能为：那么晶格热容为：考试时间120分钟总分 试 题 班级学号一、简答题共60分1. 名词解释：惯用元胞，配位数，声子，密堆积，负电性。10分2. 硅与金刚石是复式格子还是单式格子，各自的基元中包含多少原子？分别是什么原子？5分3. 倒格子基矢的定义是什么？5分4. 在晶体的物相分析中，产生衍射极大的必要条件是什么2？5分5. 共价键的定义和特点是什么？5分6. 空穴是如何定义的？6分7. Ge是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成多少支格波，其中声学支和光学支格波各多少支？6分8. 晶格振动的Debye模型在高温和低温下都与实验定律符合吗？为什么？6分9. 什么是色心？F心是如何形成的？6分10. 在绝缘体中费米能级处在导带、禁带、价带的哪个中？6分二、计算题共40分1. 证明：晶体中的倒格矢Ghh1b1h2b2h3b3垂直于晶面族 h1、h2、h3两个h1、h2、h3分别相等。10分2. 在近邻近似下，用紧束缚近似导出体心立方晶体S能带的Es()，试画出沿Kx方向Ky=Kz=0的散射关系曲线，并计算能带宽度。15分 提示：使用尤拉公式化简。3求金属中自由电子能态密度DE的表示式。15分. . word.zl-. -参考答案一.简答题共60分1. 名词解释：10分惯用元胞：体积是初基元胞的整数倍，它既反映了晶体的周期性也反映了晶体的对称性。配位数：在晶体构造中，一个原子最近邻的原子数。声子：声子是量子谐振子的能量量子 。声子的引入是反映格波能量量子化的需要，是格波粒子化的表达。密堆积：如果晶体由全同的一种粒子组成，而粒子被看成是小圆球，这些小圆球最严密的堆积状态。此时它有最大的配位数12。密堆积也可定义为：有最大配位数12的排列方式称为密堆积。负电性：原子负电性是原子得失价电子能力的度量。负电性= 常数( 电离能亲和能)。负电性大的原子易于获得电子，负电性小的原子易于失去电子。2. 硅与金刚石是复式格子还是单式格子，各自的基元中包含多少原子？分别是什么原子？5分均为复式格子材料初级元胞中的原子数原子种类Si 2 Si金刚石 2 C3. 倒格子基矢的定义是什么？5分定义：2ij4. 在晶体的物相分析中，产生衍射极大的必要条件是什么2？5分衍射矢量等于倒格矢，衍射三角形，劳尓方程，布拉格公式均可。5. 共价键的定义和特点是什么？5分定义：能把两个原子结合在一起的、为两个原子所共有的、自旋相反配对的电子构造。特点：方向性、饱和性。6. 空穴是如何定义的？6分答：近满带的情况下，引入的带有正电荷e、正有效质量m，速度为()E()的准粒子称为空穴。空穴的引入是对近满带大量电子的共同行为的等效描述。它使问题描述更简单明了。7. Ge是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成多少支格波，其中声学支和光学支格波各多少支？6分格波支数3×26初基元胞原子振动的自由度数，其中3支声学波，3 支光学波。8. 晶格振动的Debye模型在高温和低温下都与实验定律符合吗？为什么？6分均符合。德拜Debye模型：晶体为各向同性连续弹性媒质。在极低温度下，激发的格波主要为低频声学长波，波长越长，把晶体视为连续线性媒质的近似越好。高温时也趋于经典极限。9. 什么是色心？F心是如何形成的？6分色心：能够吸收可见光的点缺陷。F心：离子晶体中一个负离子空位，束缚一个电子形成的点缺陷。10在绝缘体中费米能级处在导带、禁带、价带的哪个中？6分禁带三、 计算题共40分1. 证明：晶体中的倒格矢Ghh1b1h2b2h3b3垂直于晶面族 h1、h2、h3两个h1、h2、h3分别相等。10分证：晶面族h1、h2、h3中的一个晶面在a1、a2、a3上的截距为x,y,z,由面指数的定义:h1、h2、h3m(1/x、1/y、1/z) 即 h1xh2yh3zmm为公因子A在该晶面上作二非平行矢量如图 uxa1ya2vya2za3那么u·Gh(xa1ya2) ·(h1b1h2b2h3b3)由倒基矢定义2h1xh2y由A式2(mm)0，即UGh，同理可证GhGh与h1、h2、h3面二条非平行直线均垂直，所以Gh垂直于h1、h2、h3晶面族。2. 在近邻近似下，用紧束缚近似导出体心立方晶体S能带的Es()，试画出沿Kx方向Ky=Kz=0的散射关系曲线，并计算能带宽度。15分解：选体心原子为参考点，最近邻原子的位置=±±±(共八个)，那么： Es()=EABe+ +e=EA2B×+cos+cos+= EA2B×2coskz=EA4B×2(coscos)=EA8Bcoscos当Ky=Kz=0时 Es(kx)=EA8Bcos同时Kx=0时 Esmin=EA8B 当Kx=Ky=Kz=2a时 Esmax=EA+8B能带宽度EmaxEmin16B3. 求金属中自由电子能态密度DE的表示式。15分解：对自由电子 E在空间等能面为球面，二等能面间体积Dv=4pk2dkdk=·dE 考虑到自旋，Dv的状态数dZ=4pk2dk D=考试时间120分钟总分 试 题 班级学号一、试解释以下名词每题2分，共20分：金刚石构造； 声子；离子晶体；惯用元胞；第一布里渊区； 肖特基缺陷； 空穴；能态密度；绝热近似；密堆积。二答复以下问题每题5分，共30分：1. 简述热缺陷的形成及其种类。2. 晶体有哪几种结合类型？简述金属晶体和共价晶体的性能特点？为什么？ 3碳化硅是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成多少支格波，其中声学支和光学支格波各多少支？4“Bloch电子的波函数在正空间和倒空间均具有周期性，这种说法是否正确？并说明理由。5有人认为：光学支一般对热导奉献小？你的看法如何？6在固体物理和半导体物理中，有时用简单的两条平行线来表示导带和价带称为能带简图，在什么情况下可以这样作？三计算题共50分120分在近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体S能带（1） . 计算Es关系；（2） . 求能带宽度； （3） . 讨论在第一B·Z中心附近等能面的形状。附：CosX=1X2/(2！) + X4/(4！) 2.15分金刚石的爱因斯坦温度e=1320K,晶格常数为0.357nm,计算单位体积金刚石的晶格振动零点能。附：玻尔兹曼常数 k1.3807×1023W·s/K315分假设一维晶体的电子势能 0 na x (n+1)a Vx=V0 na x na V V00 a 2a x其中a为晶格常数，n为正、负整数，用近自由电子模型，求第一个带隙的宽度。附： cos()isin()参考答案一试解释以下名词每题2分，共20分：金刚石构造:同元素的两个面心立方沿体对角线平移四分之一周期套构而成。声子:量子谐振子的能量量子。离子晶体：由分别带正电荷和负电荷的正、负离子相间排列，主要靠库伦力而形成的晶体。惯用元胞：即具有周期性又能反映具体的对称性，体积为初基元胞的整数倍的大元胞；第一布里渊区:倒空间的对称元胞，是一种倒空间的初基元胞。肖特基缺陷:由于热运动，体格点原子扩散到外表，体留下空位。空穴：近满带的情况下，引入的带有正电荷e、正有效质量m，速度为()E()的准粒子称为空穴。空穴的引入是对近满带大量电子的共同行为的等效描述。它使问题描述更简单明了；能态密度：对给体积的晶体，单位能量间隔的电子状态数。绝热近似：即Born-Oppenheimer近似，考虑到原子核(或离子实)的质量比电子大，离子运动速度慢，在讨论电子问题时，可认为离子是固定在瞬时的位置上。这样，多种粒子的多体问题就简化成多电子问题原子实的影响用周期势场等效，把多体问题化为多电子问题；密堆积：假设把原子视为小球，最严密的排列方式。其配位数为12。二答复以下问题每题5分，共30分：1. 简述热缺陷的形成及其种类。答：热缺陷是由指热起伏原因所产生的点缺陷，引起晶格周期性的破坏发生在一个或几个晶格常数的限度围。主要包括肖特基缺陷、弗伦克尔缺陷、空位、间隙原子等几种。2.晶体有哪几种结合类型？简述金属晶体和共价晶体的性能特点？为什么？ 答：晶体有离子键结合、共价键结合、金属键结合、德瓦尔斯键结合和氢键结合五种类型，形成离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体和氢键晶体；金属晶体因金属键的无方向性以及组成元素电负性小等特点使得金属晶体通常具有良好的导热、导电和延展性能；共价晶体因共价键的饱和性和方向性，使共价晶体通常很硬，不容易劈裂，且具有很小的电导率及热导率。3碳化硅是一种常见的半导体材料，当产生晶格振动时，会形成多少支格波，其中声学支和光学支格波各多少支？答：碳化硅的初基元胞中的原子数S2，共有3S6支格波，声学支和光学支各3支。4“Bloch电子的波函数在正空间和倒空间均具有周期性，这种说法是否正确？并说明理由。答：这种说法不对。Bloch波函数具有倒空间的周期性，本身一般并不具有正晶格的周期性，Bloch波函数模的平方代表电子出现的几率，具有正晶格的周期性。5. 有人认为：光学支一般对热导奉献小？你的看法如何？答：光学支一般对热导奉献小因为：1温度不太高时(T<qD)光学支先冻结，对Cv奉献小2光学支小，的物理意义是声子运动的平均速率，而声子的运动携带着能量的传播，因此的意义应与能量传播的速度相对应，能速vg=, 光学支色散曲线wq平坦，vg较小，即较小。3光学支w小的|q|大，易于发生U过程，而U过程将造成热阻。6在固体物理和半导体物理中，有时用简单的两条平行线来表示导带和价带称为能带简图，在什么情况下可以这样作？答：当晶体中电子和空穴的数目均很少，电子只占据导带底很少比例的能量状态，空穴处于近满的价带的价带顶附近。在研究材料的电学特性时，只需要具体分析研究导带底和价带顶附近电子的状态，以及禁带的宽度等，那么用能带简图即可满足要求了。能带简图一般只针对非简并状态。三. 计算题1. 在近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体S能带（1） . 计算Es关系；（2） . 求能带宽度；（3） . 讨论在第一B·Z中心附近等能面的形状。20分注：CosX=1X2/(2！) + X4/(4！) 解：1对简立方，最近邻原子处于=±a, ±a,±aEs=AB=A2BCoskxa+Coskya+Coskza2.当Kx= Ky=Kz=0时 Esmin=EA6B 当Kx=Ky=Kz=a时 Esmax=EA+6B能带宽度EmaxEmin12B 3当Kx, Ky, Kz均趋于零时 EsEA2B1= EA2B球形2金刚石的爱因斯坦温度e=1320K, 晶格常数为0.357nm,请计算单位体积的金刚石的晶格振动零点能。15分附：玻尔兹曼常数k=1.3807×1023W·s/K解：频率为的格波的零点能E零0，晶体中共有3NS个格波，所以晶体总的零点能为E零3NSeNSke单位体积的零点能 E0=E零/V= ke金刚石的一个惯用元胞的体积为a3, 其中包含8个原子：8/a3单位体积的零点能 E0=E零/V= ke= ke=×1.3807×1023×13204.81×109J/m33. 假设一维晶体的电子势能 0 na x (n+1)a Vx=V0 na x na V V00 a 2a x其中a为晶格常数，n为正、负整数，用近自由电子模型，求第一个带隙的宽度。15分附：cos()isin()解：第一个带隙宽度2V1VnV(x)dx考虑到题目所示的势能表示式，有效积分区域成为V1 V0dxcos()isin()dx因为积分区域对称，被积函数为奇函数时，第二项积分为零。 cos()dx = sin()2V1=sin()考试时间120分钟总分 试 题 班级学号一、 答复以下问题每题5分，共40分1. 在晶体的物相分析中，产生衍射极大的必要条件是什么？（1） 衍射三角形 (倒空间劳厄方程)（2） 劳厄方程()·=2m（3） 正空间布拉格公式 2dsinq=nl2. 什么是固体比热的爱因斯坦模型？并简述计算结果的意义。答：Einsten模型：设晶体中所有原子独立地以一样频率wE振动。 在高温下，通过爱因斯坦模型可计算出Cv=3N0KB=3R，即与杜隆珀实验定律相符合，此模型简单，计算方便。3. 试画出一维双原子格子的频谱曲线，并标出其中的光学波、声学波和频隙。4. 试写出有效质量的表达式，引入有效质量的意义何在？答：为二阶量，矩阵表示有九个分量，其值与波矢,能带构造有关。当等能面为球面时才为标量m*。 m*与能带构造K有关。引入有效质量后外与牛顿定律m1形式上一致，把不易测量的并入中，而又可由能带构造求出。5. 对近满带大量电子的运动状态可用空穴来等效，设某近满带只有态是空态，假设在该空态填补一个假想电子，该近满带就成为满带。试问：空穴的速度与该假想电子的速度是否一样，为什么？答：空穴的速度与该假想电子的速度一样。设近满带只有一个状态空着，假想在这个空状态k上放一个电子，那么这个电子产生的电流为ev(k)，放上这个电子后，该能带就成满带，由上可知满带电流密度为零,即Je V(k)0 Je V(k) 即带顶附近只有一个k态空着的近满带，其所有电子集体运动所产生的电流等于一个带正电荷e，速度与k态电子速度v(k)一样的准粒子产生的电流。6. 什么是声子的准动量？什么是Bloch电子的准动量？为什么称它们是“准动量，而不直接成为动量？答：是声子的准动量，称为BLoch电子的准动量。因为和不是声子和BLoch电子动量的本征值，故它不是真实动量，且¹0(二算符不对易)，故Bloch电子没有确定的动量。7. 原子的电负性是如何定义的？答：原子的负电性：原子得失价电子能力的度量。负电性常数电离能亲和能其中：亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量。电离能：使处于基态的中性气态原子失去一个电子需要得到的能量。8. 共价键的定义特点是什么？答：定义：能把两个原子结合在一起的、为两个原子所共有的、自旋相反配对的电子构造。特点：方向性、饱和性；假设价电子壳层未到达半满：可成价数价电子数假设价电子壳层等于或超过半满：对参数重要的共价晶体，价电子为S、P态，满足 8N规那么，其中N为价电子数。二、 证明与计算每题20分，共60分1 一维原子链，正负离子间距为a，试证马德隆常数为=22； 证：由马德隆常数的定义 其中 同号离子取“，异号离子取“。假设以一正离子为参考点，那么2 ( 1+1/3 +1/5+ .+.)1/2 + 1/4 +.+ (A)又由幂级数的展开式ln(1+x) = x + (B)令 x=1 那么B式即为A式括号中的式子所以 m=2ln(1+1)=2ln2 证毕2 利用紧束缚近似，计算体心立方晶格的S能带的带宽。附：解：选体心原子为参考点，最近邻原子的位置=±±±(共八个)那么Es()=EABe+ +e =EA2B×+cos+cos+ = EA2B×2coskz =EA4B×2(coscos) =EA8Bcoscos当Ky=Kz=0时 Es(kx)=EA8Bcos同时Kx=0时 Esmin=EA8B 当Kx=Ky=Kz=2a时 Esmax=EA+8B能带宽度EmaxEmin16B 3 用德拜模型，计算一维单原子链系统的零点能。解： (1)设一维单原子链长LNa，a为原子间距，N为原子数，在<q区域q只能取N个值，dq间距的格波数为 f(q)dq= 由于对应于±q, w取一样的值，色散关系的对称性，那么dw区间的格波数为 g(w)dw21 (2)在德拜模型下，色散关系为线性 wupq 代入(1)式得； g(w)= (2) 那么零点能为： E零 = (3) 又因为 得： (4) 代入3式 得： E零=考试时间120分钟总分 试 题 班级学号一.问答题每题5分，共60分1. 解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面？为什么？2. 金刚石、硅和锗的几何构造因子有何异同？3. 什么是F心？4. 对金刚石构造为什么要提出杂化轨道的概念？5. 一维双原子链晶格振动中，声学格波和光学格波分别有什么特点，二者有什么区别？6. “在晶格振动理论中,可用声子表示格波能量,频率为的声子,能量为,所以格波能量与温度无关。这句话对不对,为什么?7. 简述晶体电导的特鲁多模型,索末菲模型和近自由电子模型。8. 费米能级Ef的物理意义是什么？从Ef在能带中的位置可得到材料的哪些特性？9. 在证明Bloch定理时推导出了中心方程从该方程可得出什么有意义的结论？10. 试画出自由电子和近自由电子的DEn关系图，并解释二者产生区别的原因。11. “复式格子的倒格子也是复式格子。判断该说法是否正确，并说明理由。12. “倒格子的基矢,是以正格子的基矢，为参照矢而定义的。对于一定的布喇菲格子，基矢，的选择不是惟一的，它所对应的,也不是惟一的，因而一个布喇菲格子可以对应几个倒格子。判断该说法是否正确，并说明理由。二、计算题40分115分求:金属中自由电子能态密度DE的表示式。210分在一维无限长单原子链中，设原子的质量均为M，假设在简谐近似下考虑原子间的长程作用力，第n个原子与第n+m和第nm个原子间的恢复力系数为bm, 试求格波的色散关系。315分在近邻近似下，用紧束缚近似导出简单立方晶格的S能带Es(k)， 求：（1） . 计算Es关系，计算能带宽度；（2） . 讨论在第一B·Z中心附近等能面的形状。注：CosX=1X2/(2！) + X4/(4！) 参考答案二. 计算题1. 求自由电子的态密函数。(15分)解：在k空间，自由电子的等能面对应于一定的电子能量E,波矢的半径为K空间中，在半径为k的球体积的电子态数目，应等于球的体积乘以K空间单位区域的电子态数2Vc/83，即于是自由电子的态密度函数gE为2. 10分 在一维无限长的简单晶格中，设原子的质量均为M，假设在简谐近似下考虑原子间的长程作用力，第n个原子与第n+m和第nm个原子间的恢复力系数为bm, 试求格波的色散关系。解：设第n个原子对平衡位置的位移为un , 第n+m和第nm个原子对平衡位置的位移为unm和unm (m=1,2,3), 那么第n+m和第nm个原子对第n个原子的作用力为fn,m = bmunmunbmunmunbmunmunm2un第n个原子受的总力为Fn = = bmunmunm2un因此，第n个原子的运动方程为M= bmunmunm2un将格波的试解 un A代入运动方程，得 Mw2 = = 4 所以 w2= 3. 在近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体S能带15分（4） . 计算Es关系；求能带宽度； （5） . 讨论在第一B·Z中心附近等能面的形状。注：CosX=1X2/(2！) + X4/(4！) 解：1.对简立方，最近邻原子处于=±a, ±a,±a Es=AB=A2BCoskxa+Coskya+Coskza当Kx= Ky=Kz=0时 Esmin=EA6B 当Kx=Ky=Kz=a时 Esmax=EA+6B能带宽度EmaxEmin12B 2当Kx, Ky, Kz均趋于零时EsEA2B1 = EA2B球形. . word.zl-