2022高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第7节解三角形的综合应用练习.doc

第7节 解三角形的综合应用 A级基础巩固1若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15° B北偏西15°C北偏东10° D北偏西10°解析：如图所示，ACB90°，又ACBC，所以CBA45°，而30°，所以90°45°30°15°.所以点A在点B的北偏西15°.答案：B2如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A BC D解析：对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离答案：D3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案：A4如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30° B45° C60° D75°解析：依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cos CAD，又0°CAD180°，所以CAD45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案：B5某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100 m，BAC60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40 mA地测得该仪器在C处的俯角为OAC15°，A地测得最高点H的仰角为HAO30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A210() m B140 mC210 m D20() m解析：由题意，设ACx m，则BC(x40) m，在ABC内，由余弦定理得，BC2BA2CA22BA·CA·cos BAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420.在ACH中，AC420 m，CAH30°15°45°，CHA90°30°60°，由正弦定理，可得CHAC·140(m)答案：B6在ABC中，角A，B，C成等差数列，且对边分别为a，b，c，若·20，b7，则ABC的内切圆的半径为()A. B. C2 D3解析：因为角A，B，C成等差数列，所以2BAC，又ABC，所以B.因为·accos B20，所以ac40.所以SABCacsin B10.由余弦定理得cos B，所以ac13，设ABC的内切圆的半径为r，则SABC(abc)r10r，所以1010r，解得r.答案：A7江岸边有一炮台高30 m，江中有两艘船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两艘船与炮台底部连线成30°角，则两艘船相距_m.解析：由题意画示意图，如图所示，OMAOtan 45°30(m)，ONAOtan 30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得MN 10 (m)答案：108一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船行驶的速度是每小时_海里解析：如图所示，依题意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，从而CDCA10，在RtABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案：109(2020·福州模拟)如图所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_解析：因为sinBAC，且ADAC，所以sin，所以cosBAD，在BAD中，由余弦定理，得BD .答案：10如图所示，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s，某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取1.4，1.7)解：如图，作CD垂直于直线AB于点D，因为A15°，DBC45°，所以ACB30°，在ABC中，由正弦定理得，AB50×42021 000.所以BC×sin 15°10 500()因为CDAD，所以CDBC·sin DBC10 500×()×10 500×(1)7 350.故山顶的海拔高度为h10 0007 3502 650 m.B级能力提升11(2020·广州模拟)ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos Ccos A1，则cos B的取值范围为()A. B.C. D.解析：因为cos Ccos A1，所以由余弦定理可得··1，化简可得b2ac，则cos B，当且仅当ac时，取“”所以cos B<1.答案：D12如图所示，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为_h.解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45°，根据余弦定理得OB26002400t22×600×20t×，令OB24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)答案：1513.如图所示，在四边形ABCD中，DAB，ADAB23，BD，ABBC.(1)求sin ABD的值；(2)若BCD，求CD的长解：(1)因为ADAB23，所以可设AD2k，AB3k.又BD，DAB，在ABD中，由余弦定理得()2(3k)2(2k)22×3k×2kcos ，解得k1，所以AD2，AB3，sin ABD.(2)因为ABBC，所以cos DBCsin ABD，所以sin DBC，所以，所以CD.C级素养升华14.如图所示，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_m.解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA160tan ，BB160tan 2.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，所以A1ACCBB1，所以，所以AA1·BB1900，所以3 600tan tan 2900，所以tan ，tan 2，则BB160tan 245.答案：45