学年高中数学第六章推理与证明.数学归纳法分层训练湘教版选修-.doc
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学年高中数学第六章推理与证明.数学归纳法分层训练湘教版选修-.doc
6.3数学归纳法(一)一、根底达标1某个命题与正整数有关,如果当nk(kN*)时,该命题成立,那么可推得nk1时,该命题也成立现在当n5时,该命题成立,那么可推导出()A当n6时命题不成立 B当n6时命题成立C当n4时命题不成立 D当n4时命题成立答案B2一个与正整数n有关的命题,当n2时命题成立,且由nk时命题成立可以推得nk2时命题也成立,那么()A该命题对于n>2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对答案B解析由nk时命题成立可以推出nk2时命题也成立且n2,故对所有的正偶数都成立3在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时,第一步验证n等于()A1 B2 C3 D0答案C解析因为是证凸n边形,所以应先验证三角形,应选C.4假设f(n)1(nN*),那么n1时f(n)是()A1 B.C1 D以上答案均不正确答案C5用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程中,第二步假设当nk(kN*)时等式成立,那么当nk1时应得到_答案12222k12k2k11解析由nk到nk1等式的左边增加了一项6f(n)(nN*),那么f(k1)_.答案f(k)7用数学归纳法证明(nN*)证明(1)当n1时,左边1,右边,等式成立(2)假设当nk(k1,kN*)时等式成立,即,当nk1时,·,所以当nk1时等式也成立由(1)(2)可知,对于任意nN*等式都成立二、能力提升8用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n·1·3··(2n1)(nN*),从k到k1左端需要增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C. D.答案B解析nk1时,左端为(k2)(k3)(k1)(k1)·(k1)k·(2k2)(k1)(k2)(kk)·(2k1)·2,应增乘2(2k1)9f(n),那么()Af(n)中共有n项,当n2时,f(2)Bf(n)中共有n1项,当n2时,f(2)Cf(n)中共有n2n项,当n2时,f(2)Df(n)中共有n2n1项,当n2时,f(2)答案D解析观察分母的首项为n,最后一项为n2,公差为1,项数为n2n1.10以下用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)的过程中的错误为_答案缺少步骤(1),没有递推的根底证明假设当nk(kN*)时等式成立,即242kk2k,那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1),即当nk1时等式也成立因此对于任何nN*等式都成立11用数学归纳法证明:12223242(1)n1·n2(1)n1·.证明(1)当n1时,左边1,右边(1)11×1,结论成立(2)假设当nk时,结论成立即12223242(1)k1k2(1)k1·,那么当nk1时,12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1·(1)k(k1)2(1)k·(k1)(1)k·(1)k11·.即nk1时结论也成立由(1)(2)可知,对一切正整数n都有此结论成立12数列an的第一项a15且Sn1an(n2,nN*),Sn为数列an的前n项和(1)求a2,a3,a4,并由此猜测an的表达式;(2)用数学归纳法证明an的通项公式(1)解a2S1a15,a3S2a1a210,a4S3a1a2a3551020,猜测an.(2)证明当n2时,a25×2225,公式成立假设nk(k2,kN*)时成立,即ak5×2k2,当nk1时,由条件和假设有ak1Ska1a2a3ak55105×2k2.55×2k15×2(k1)2.故nk1时公式也成立由可知,对n2,nN*,有an5×2n2.所以数列an的通项公式为an.三、探究与创新13数列an的前n项和Sn1nan(nN*)(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜测an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论解(1)计算得a1;a2;a3;a4.(2)猜测an.下面用数学归纳法证明:当n1时,猜测显然成立假设nk(kN*)时,猜测成立,即ak.那么,当nk1时,Sk11(k1)ak1,即Skak11(k1)ak1.又Sk1kak,所以ak11(k1)ak1,从而ak1.即nk1时,猜测也成立故由和可知,猜测成立.