分类 加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

复习课: 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（4）教学目标重点：理解分类计数原理与分步计数原理,并能利用它们解决简单的实际问题.难点：正确的理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征,正确的区分“分类”或“分步”.能力点：计算能力、归纳、转化与划归能力、分析问题与解决问题的能力.教育点：提高学生的认知水平，培养学生自己解决问题的能力，为学生塑造良好的数学认识结构.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：分类的标准把握不准。:学学法与教具1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：课件、学案.一、【知识结构】 分类加法计数原理的基本概念计数原理分步乘法计数原理的基本概念两个计数原理的综合应用 二、【知识梳理】1.分类计数原理：完成一件事,有类办法,在第1类办法中,有种不同的方法,在第2类办法中,有种不同的方法,在第类办法中,有种不同的方法,那么完成这件事共有N种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事,需要分成个步骤,做第1步,有种不同的方法,做第2步,有种不同的方法,做第步,有种不同的方法,那么完成这件事共有N×××种不同的方法。3. 分类计数原理中，“完成一件事,有类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立的完成这件事。4. 分类计数原理中，“完成一件事,分成个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事。三、【范例导航】专题一 分类加法计数原理例1例1. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？分析：把从10到99中所有个位数字大于十位数字的两位数的个数相加,利用分类计数原理分析个位数字进行分类：个位数字是9,个位数字是8,个位数字是7,等等,把各种情形下满足条件的个数相加.解：（1）当个位数字是9时,十位数字可以是：1,2,3,···,8;共8个（2）当个位数字是8时,十位数字可以是：1,2,3,···,7;共7个,以此类推所以每一类中满足条件的个数分别为：8,7,6,5,4,3,2,1个.故满足条件的数有1+2+3+4+5+6+7+8=36个.设计意图 本题考查分类计数原理,解题的关键是合理的分类,把个位数字分为8种情形,把每一类中满足条件的数找出来,然后相加.体现分类讨论的数学思想和列举的数数方法的应用.点评易错点：分类不清楚或每一类中满足条件的数的个数找不全.变式训练： 已知直线倾斜角是锐角,且 是取自集合中的3个不同的元素这样的直线有多少条？分析：由已知直线的倾斜角是锐角知：,（不妨设）,根据此条件把倾斜角是锐角的直线找出来,相加即得答案,利用分类计数原理.由已知：,（不妨设）,在此条件下有两种情形（1）,（2） ,在,的情形下直线的条数加上, 条件下的直线条数.解：因为直线的倾斜角是锐角,（不妨设）,（1）当时,有3种取法,有3种取法,两个步骤完成即可确定直线,此时有3×3=9 条直线,但要去掉重复的2条（为同一条直线）,此时满足条件的直线有：9-2=7（条）（2）当时,有3种取法,有3种取法,有4种取法.这三个步骤完成才能确定直线,并且任意两条直线均不相同.此时满足条件的直线条数是3×3×4=36 条,由分类计数原理知：共有367=43条直线.点评本组例题主要是分类计数原理的应用,在应用时要注意如何分类才能合理,在每一类中有多少种方法,做到不重不漏.专题二 分步乘法计数原理例2 .（1）8本不同的书,任选3本分给3个同学,每人一本有多少种不同的分法？（2）将4封信投入3个邮筒,有多少种不同的投法？（3）3位旅客到4个旅馆住宿,有多少种住宿方法？分析：（1）假设甲、乙、丙三同学从8本书中依次取,（2）分四步进行,每一步投一封信.（3）分三步进行,每一步安排一位旅客.以上三题均利用分步计数原理.解：（1）第一位同学从8本书中任选一本有8种选法,第二位同学从余下的7本书中任选一本有7种选法,第三位同学还剩下6本书供选择有6种选法.由分步计数原理知：共有8×7×6=336种选法.（2）完成这件事分四步进行,每一步投一封信,每一封信都有3种选择,即每一封信都有3种投法.由分步计数原理知：共有 种.（3）完成这件事分三步进行,每一步安排一名旅客,每一位旅客都有4种不同的住宿方法.由分步计数原理知：共有种方法. 设计意图 本题中的三个题都是分步计数原理的应用,关键是掌握如何分步的问题,特别是（2）（3）两题都是重复选取的问题,要注意其区别,关键是“谁选择谁”,属于易错题.变式训练：5名同学参加跳高、跳远、100米短跑和1500米长跑四项比赛,每项比赛都没有并列冠军,问一共有多少种不同的冠军获得情况.专题三 两个原理的综合运用例3将红、黄、绿、黑四种颜色涂入图中的五个区域,要求相邻的区域不同色,问有多少种不同的涂色方法？分析：本题是涂色问题,把五个区域依次记为：（如图）对各个区域的涂色方法要注意相邻的区域不能同色,对于区域的涂色方法种数取决于区域是否同色,故要对区域是否同色讨论.先涂区域有4种涂色方法,对有3种涂色方法,区域分别有2种涂色方法,对区域涂色方法的种数取决于区域是否同色.解：区域有4种涂色方法.区域有3种涂色方法,区域有2种,区域有2种,但区域的颜色依赖于所涂的颜色,故应先分类后分步：（1）当同色时,区域有2种涂色方法,此时有4×3×2×1×2=48 种（2）当不同色时,区域有1种涂色方法,此时有4×3×2×2×1=24种,故共有4824=72种.设计意图：像这类区域涂色问题应该给区域依次标上符号,以便分析问题,在给各区域涂色时,要注意不同的涂色顺序其解题就有繁简之分,本题若按顺序涂色时,在最后给区域涂色时,要考虑是否同色,是否同色两种情况.这体现了分类讨论的数学思想方法的应用.因此在分析解决问题时,应按不同的涂色顺序多尝试一下,看哪种方法简单.本题的易错点：没有考虑是否同色.变式训练：用0,1,2,3,4,5这六个数字,（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000,小于5421的四位数？解：（1）分三步：先选百位数字,由于0不能作为百位数,因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4100个.（2）分三步：先选百位数字,由于0不能作为百位数,因此有5种选法；十位数字有6种选法；个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6180个.（3）分三步：先选个位数字,由于组成的三位数是奇数,因此有3种选法；再选百位数字有4种选法；个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×448个.（4）分三类：一位数,共有6个；两位数,共有5×525个；三位数,共有5×5×4100个.因此,比1000小的自然数共有625100131个. （5）分四类：千位数字为3,4之一时,共有2×5×4×3120个；千位数字为5,百位数字为0,1,2,3之一时,共有4×4×348个；千位数字为5,百位数字是4,十位数字为0,1之一时,共有2×36个；还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共1204861175个. 设计意图：排数字问题是最常见的一种题型,要特别注意首位不能排四、【解法小结】1认真审题，弄清题目要做什么事情，怎样才能完成这件事，完成这件事有哪些办法. 2明确完成这件事是分成几类办法，还是分成几个步骤，还是既要分类又要分步，并且明确分类或分步的标准. 3对于较复杂的问题，按照完成这件事所必须的步骤，该分类就分类，该分步就分步，或者是先分类，或者是先分步，也可能分类分步交叉进行.总之，目标要明确，就是如何完成这件事，只要是完成这件事所必须的，就要逐步去完成。4涉及到可重复性的问题，关键是要搞清到底是“人选项目”，还是“项目选人”的问题.五、【布置作业】必做题：1. 一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读,有_种不同的选法.2. 一个乒乓球队里有男队员5人,女队员4人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有_种不同的选法. 3. 一商场有3个大门,商场内有2个楼梯,顾客从商场外到二楼的走法有_种. 4. 从分别写有1,2,3,9的九张数字卡片中,抽出两张数字和为奇数的卡片,共有_种不同的抽法.5. 3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有_个选做题：1集合,从中各取1个元素作为点P的坐标.（1）可以得到多少个不同的点？（2）在这些点中位于第一象限的点有几个？ 2. 从0,1,2,9这十个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法有多少种.3. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有_种.4. 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有_种.（结果用数字作答）。六、【教后反思】1.本教案的亮点是：首先对本节的知识进行归纳，提纲挈领；其次，例题的选择非常典型，对知识点的覆盖面广.再次，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择高考中和各地市摸底考试中的部分难度不大的题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2. 在整个教学过程中,学生对问题的理解重视不够,要引导学生分析问题的特点，提出计数的方法并概括到一般原理上.对于“完成一件事”的分析是理解两个计数原理的关键，适当引导学生分析体会.3.本教案的弱项是：由于排列组合没有学，使得例题的选取受到了一定的限制.