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学好物理动量和角动量第1页，本讲稿共35页本章对应新书本章对应新书p7688 即下面：即下面：2.2 力对物体的时间积累效应力对物体的时间积累效应 动动量守恒定律量守恒定律2第2页，本讲稿共35页2-2 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 2.2.冲量冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）（力的作用对时间的积累，矢量）3、动量定理：、动量定理：（将力的作用过程与效果（将力的作用过程与效果动量变化动量变化联系在联系在一起）一起）质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为结论称为动量定理动量定理。一一 质质点点动动量定理量定理方向：速度变化的方向方向：速度变化的方向单位：单位：kgm/s大小：大小：mv 方向：速度的方向方向：速度的方向1.动量动量 （描述质点运动状态，矢量（描述质点运动状态，矢量)3第3页，本讲稿共35页F为恒力时，可以得出为恒力时，可以得出IF tF作用时间很短时，可用力的平均值来代替。作用时间很短时，可用力的平均值来代替。4第4页，本讲稿共35页注意：动量为状态量，冲量为过程量。注意：动量为状态量，冲量为过程量。动量定理可写成分量式，即：动量定理可写成分量式，即：为为X,Y,Z方向合外力的分量方向合外力的分量5第5页，本讲稿共35页学习要求学习要求：要学会计算变力的冲量，掌握在一个平面内应要学会计算变力的冲量，掌握在一个平面内应用动量定理求解力学问题的方法。用动量定理求解力学问题的方法。例例2 质量为质量为m的质点，经时间的质点，经时间t、以、以不变的速率不变的速率v 越过一水平光滑轨道越过一水平光滑轨道60的弯角的弯角，求轨道作用于质点的平均冲力的大小。，求轨道作用于质点的平均冲力的大小。解解 由动量定理：由动量定理：完成积分得：完成积分得：v=2i+5j(m/s)。解解平均冲力可视为恒力，平均冲力可视为恒力，由动量定理有由动量定理有 例例 1 一物体质量一物体质量m=2kg,受合外力受合外力F=(3+2t)i(SI)的作用，初的作用，初速度速度v0=5j(m/s)；求第；求第1秒末物体的速度。秒末物体的速度。v130o30omv26第6页，本讲稿共35页于是平均冲力的大小为于是平均冲力的大小为这里|v1|=|v2|=v。求解(v2-v 1)的方法有两个：（1）三角形法）三角形法画出v=v2-v1的矢量三角形，再解此三角形;由图可求得|v|=|v2-v1|=2vcos300=v30ov1 vv230ooF(即v)的方向与轨道成300(竖直向上),如图所示。|F|=|(v2-v 1)|=平均冲击力平均冲击力v130o30omv27第7页，本讲稿共35页建立直角坐标系建立直角坐标系(如图如图)，把，把每个矢量用单位矢量表示出来每个矢量用单位矢量表示出来:大小:,方向:j(y轴正方向)。代入式代入式(1)就得就得例图例图（2）单位矢量法）单位矢量法30o30ooxyv2v1v130o30omv28第8页，本讲稿共35页 例例3 如图所示，用传送带如图所示，用传送带A输送煤粉，料斗口在输送煤粉，料斗口在A上方高上方高h=0.8m处，煤粉自料斗口自由落在传送带处，煤粉自料斗口自由落在传送带A上。设料斗口连上。设料斗口连续卸煤的流量为续卸煤的流量为qm=40kg/s,传送带传送带A以以v=3m/s的水平速度匀速的水平速度匀速向右运动。求卸煤的过程中，煤粉对传送带向右运动。求卸煤的过程中，煤粉对传送带A的平均作用力的的平均作用力的大小和方向。（不计相对传送带静止的煤粉质量，取大小和方向。（不计相对传送带静止的煤粉质量，取g=10m/s2）（1）单位矢量法）单位矢量法间间dt内落下的煤粉内落下的煤粉dm=qmdt为研究对象为研究对象,应用动量理应用动量理,有有解解煤粉下落煤粉下落h时的速度时的速度。取在时取在时hAvv0dm:9第9页，本讲稿共35页建立直角坐标系建立直角坐标系(如图如图)，于是于是dm受到的平均冲力受到的平均冲力:由图可求得由图可求得煤粉对传送带煤粉对传送带A的平均作用力的大小的平均作用力的大小:画出画出的的 矢量矢量 三角形如右图所示，三角形如右图所示，(2)三角形法三角形法根据牛顿第三定律，煤粉对根据牛顿第三定律，煤粉对传送带传送带A的平均作用力与此力的平均作用力与此力大小相等而方向相反。大小相等而方向相反。大小大小:|F|=200N,方向与方向与X轴正轴正方向成方向成53.1o。F=40(v-v0)=40(3i+4j )方向与图中方向与图中v的方向相反,=53.1o。v0v vYXhAvv010第10页，本讲稿共35页 证证设绳的线密度为设绳的线密度为。任意时刻。任意时刻t(下落下落h 时时)，绳的速度，绳的速度 例题例题4一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。到桌面上的绳重量的三倍。个力的作用：重力个力的作用：重力mg、桌面的支持力、桌面的支持力N、落下绳的冲力落下绳的冲力F。由右下图可知：。由右下图可知：N=mg+F取时间取时间tt+dt内落下的绳内落下的绳dm=.vdt为为研究对象，由动量定理得研究对象，由动量定理得F.dt=dm.v=.v2dt所以所以 F=.v2=.2gh=2mg最后得最后得:N=mg+F=3.mg(即压力是重量的三倍即压力是重量的三倍)。为为 ；此时落在桌面上绳的质量为；此时落在桌面上绳的质量为m=h,m受三个受三个dm FmNFmgm11第11页，本讲稿共35页 质点系质点系(系统系统)作为研究对象作为研究对象(它是质点的集合）。它是质点的集合）。内力内力系统内各质点间的相互作用力。系统内各质点间的相互作用力。外力外力系统以外的物体对系统内质点的作用力。系统以外的物体对系统内质点的作用力。处处理理质质点点系系问问题题的的思思路路是是：把把质质点点动动量量定定理理应应用用于于质质点点系系中中的的每每一一个个质质点点,然然后后将将这这些些方方程程相相加加，就就得得到到用用于于整整个个系系统统的动量定理。的动量定理。二二 质点系动量定理质点系动量定理设系统有设系统有n个物体个物体,如图所示。如图所示。别表示系统外的物体对系统内物别表示系统外的物体对系统内物体作用的外力。体作用的外力。对第对第i个质点应用动量定理：个质点应用动量定理：图图mjmimnFnfinFjFifnifjifijfjnfnj用用f12,f21,fij等表示系统内物体等表示系统内物体间相互作用的内力间相互作用的内力;用用F1,F2,Fn分分12第12页，本讲稿共35页这就是这就是质点系的动量定理质点系的动量定理,它表明系统所受的它表明系统所受的合外力的冲量合外力的冲量等于系统总动量的增量。等于系统总动量的增量。式中式中j=1,2,.。对所有。对所有 质点求和，质点求和，就得就得:mi:(fij+Fi)dt=mivi-mivio(fij+Fi)dt=mivi-mvio 根据牛顿第三定律，内力之和根据牛顿第三定律，内力之和 fij=0，于是于是图图mjmimnFnfinF1Fifnifjifijfjnfnj()13第13页，本讲稿共35页三三 动量守恒定律动量守恒定律几点说明几点说明:(1)系系统统动动量量定定理理和和动动量量守守恒恒定定律律 告告诉诉我我们们，一一个个系系统统总总动动量量(矢矢量量和和)的的改改变变完完全全由由合合外外力力来来确确定定，与与内内力力无无关关。内内力力能能引引起起动动量量在在系系统统内内的的物物体体间间传传递递，而而不不能能改改变变系系统统的的动动量量的矢量和。的矢量和。如如果果质质点点系系所所受受的的合合外外力力为为零零,即即 Fi=0,则则可可得得这就是说这就是说,当质点系所受的当质点系所受的合外力为零时合外力为零时,这一质点系的总动这一质点系的总动量矢量就保持不变。这一结论叫做量矢量就保持不变。这一结论叫做动量守恒定律动量守恒定律.(2)mivi=常矢量常矢量 14第14页，本讲稿共35页(2)系统动量守恒的条件是合外力为零系统动量守恒的条件是合外力为零,即即 由此可见由此可见,如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零,则则沿此坐标方向的总动量守恒。沿此坐标方向的总动量守恒。(4)动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系。(3)动量守恒表示式动量守恒表示式 是矢量关系式。在实际问题中是矢量关系式。在实际问题中,常应用常应用其沿坐标轴的分量式其沿坐标轴的分量式:系统不受外力系统不受外力 Fi=0 系统受外力，但矢量和为零系统受外力，但矢量和为零 内力内力外力外力(如爆炸如爆炸、短时间内的碰撞）、短时间内的碰撞）15第15页，本讲稿共35页2.2.32.2.3动量定理与动量守恒定律的应用动量定理与动量守恒定律的应用 1.可运用动量定理求解的问题特征可运用动量定理求解的问题特征 不考虑中间过程或中间过程很繁杂，而物体系状态量易不考虑中间过程或中间过程很繁杂，而物体系状态量易求，或由物体系的状态量就可以求解的问题。求，或由物体系的状态量就可以求解的问题。2.动量定理应用的常用近似方法动量定理应用的常用近似方法 A.平均冲力平均冲力：由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂，因：由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂，因而，在没有特别注明情况下，一般将碰撞过程中随时间变化而，在没有特别注明情况下，一般将碰撞过程中随时间变化的冲力视为平均力，即平均冲力。的冲力视为平均力，即平均冲力。B.忽略较小外力忽略较小外力。一般情况下，冲力的大小比物体的重力、摩。一般情况下，冲力的大小比物体的重力、摩擦力等外力大一到二个数量级，因而，它们常可被忽略。擦力等外力大一到二个数量级，因而，它们常可被忽略。16第16页，本讲稿共35页 例题例题5 如图所示，一辆质量为如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为的水平轨道上，今有一质量为m 的小物体以水平速度的小物体以水平速度v0滑向滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为，求，求:(1)从物体滑从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？车长至少应为多少？(M+m):水平方向不受外力，故动水平方向不受外力，故动量守恒：量守恒：mv0=(M+m)v式中式中v是相对静止时的速度。是相对静止时的速度。(1)对物体对物体m应用动量定理，有应用动量定理，有 -mg.t=mv-mv0解得解得M 0m解解17第17页，本讲稿共35页 (2)物体物体m的加速度的加速度a=-mg/m=-g。设车长至少为设车长至少为S，则，则由由v2-v02=2aS得得 S=(v2-v02)/2a=M(M+2m)v02/(2 g(M+m)2)这个结果对吗？这个结果对吗？正确解法是先求出小物体正确解法是先求出小物体m 相对地面相对地面运动的距离运动的距离 S1=(v2-v02)/2a，a=-g 再求出小车再求出小车M相对地面前进的距离相对地面前进的距离 S2=v2/2a0，a0=mg/M车的最小车的最小L=S1-S2=M v02/2 g(M+m)这个结果显然是错误的。因为用牛顿定律求出的加速度这个结果显然是错误的。因为用牛顿定律求出的加速度a是相对是相对惯性系惯性系地面的，而速度地面的，而速度v、v0也是相对地面的，故由公式也是相对地面的，故由公式v2-v02=2aS求出的求出的S当然也应是物体相对地面的运动距离，而不是当然也应是物体相对地面的运动距离，而不是相对非惯性系相对非惯性系(车顶车顶)的运动距离。的运动距离。18第18页，本讲稿共35页 例题例题6 有一门质量为有一门质量为M(含炮弹含炮弹)的大炮的大炮,在一固定的斜面上在一固定的斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑下无摩擦地由静止开始下滑。当滑下L距离时，从炮内沿水平距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为间停止滑动，炮弹的初速应是多少？（设斜面倾角为）以炮车、炮弹为系统以炮车、炮弹为系统,在在L处处发射炮弹的过程中，由于内力发射炮弹的过程中，由于内力很大，外力可忽略，水平方向很大，外力可忽略，水平方向动量守恒动量守恒:Mv0cos =mv (2)MgLsin =Mv02 (1)解解设炮车下滑设炮车下滑L时的速度为时的速度为v0,由机械能守恒定律，有由机械能守恒定律，有 Lvv0图图19第19页，本讲稿共35页炮车在发射炮弹的过程中，炮车在发射炮弹的过程中，受两个力的作用：重力受两个力的作用：重力Mg和斜面对炮车的支持力和斜面对炮车的支持力N(它的方它的方向垂直于斜面向垂直于斜面)；虽然内力很大；虽然内力很大,重力重力Mg可以忽略，但斜面对可以忽略，但斜面对炮车的支持力炮车的支持力N与内力是同数量级的，不可忽略，所以水平与内力是同数量级的，不可忽略，所以水平方向的动量根本不守恒。但方向的动量根本不守恒。但N在斜面方向没有分量，在斜面方向没有分量，所以我们只能沿斜面方向应用所以我们只能沿斜面方向应用动量守恒定律动量守恒定律:事实上，式事实上，式(2)是完全错误的。是完全错误的。解式解式(1)、(2)就得炮弹初速就得炮弹初速v。你认为上面的解法有问题吗？你认为上面的解法有问题吗？LvMgNv0Mv0=mvcos(3)解式解式(1)、(3)就得就得炮弹的初速炮弹的初速20第20页，本讲稿共35页 例题例题7 光滑水平地面上放有一质量为光滑水平地面上放有一质量为M的三棱柱体的三棱柱体(倾角为倾角为)，其上又放一质量为其上又放一质量为m的小三棱柱体。它们的横截面都是直角三角形，的小三棱柱体。它们的横截面都是直角三角形，M的水平直角边的边长为的水平直角边的边长为a，m的水平直角边的边长为的水平直角边的边长为b。两者的。两者的接触面亦为光滑。设它们由静止开始滑动，求当接触面亦为光滑。设它们由静止开始滑动，求当m的下边缘滑到水的下边缘滑到水平面时，平面时，M在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。解解对对M与与m组成的系统，由于组成的系统，由于水平方向受外力为零，故水平方水平方向受外力为零，故水平方向动量守恒。设向动量守恒。设M与与m相对地面相对地面的速度分别是的速度分别是v和和v，m相对于相对于M的速度为的速度为v,则则mvx-Mvx=0(1)由相对运动公式有由相对运动公式有 vx=vx-vx (2)a图bmM xoV21第21页，本讲稿共35页设设m的下边缘滑到水平面需用的时间为的下边缘滑到水平面需用的时间为t，将上式两边对时间积分，有将上式两边对时间积分，有:最后求得最后求得M在水平面上移动的距离：在水平面上移动的距离：而而 是是m相对于相对于M在水平方在水平方向移动的距离。向移动的距离。显然，显然，=S 就是就是M相对水平地面移动的距离；相对水平地面移动的距离；将将(2)式代入式代入(1)式得：式得：(M+m)vx=mvxa图图bmM xoV22第22页，本讲稿共35页例例8、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h19.6m处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后1秒钟落到秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S11000米米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，不计，g=9.8m/s2)解：知第一块方向竖直向下解：知第一块方向竖直向下yhxv1mv223第23页，本讲稿共35页爆炸中系统动量守恒爆炸中系统动量守恒最高点处最高点处:发射点至最高点发射点至最高点:yhxv1mv224第24页，本讲稿共35页第二块作斜抛运动所以第二块作斜抛运动所以mv1/2mv2/2mvxt21s(舍去）舍去）2212tvsxx+=(1)落地时落地时:y2=0t2=4s由由(2)由由(1)得得:25第25页，本讲稿共35页P 87 质心坐标系质心坐标系 P88 火箭的飞行问题火箭的飞行问题 (不要求不要求)碰撞碰撞问题问题 一一,碰撞过程碰撞过程 名名 称称 碰撞前后碰撞前后 相碰物体相碰物体 有无动能损失有无动能损失 形变能否恢复形变能否恢复 弹性碰撞弹性碰撞 无动能损失无动能损失 形变能完全恢复形变能完全恢复 物体碰后分离物体碰后分离 非弹性碰撞非弹性碰撞 有部分动能损失有部分动能损失 形变能部分恢复形变能部分恢复 物体碰后分离物体碰后分离完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 有部分动能损失有部分动能损失 形变完全不能恢形变完全不能恢 物体碰后不分离物体碰后不分离 恢复恢复碰撞通常分为三类：碰撞通常分为三类：新书新书p79作为一个专题来讲作为一个专题来讲26第26页，本讲稿共35页对心碰撞问题：对心碰撞问题：动量守恒定律；动量守恒定律；碰撞定律。碰撞定律。碰撞定律碰撞定律：碰撞后两球的分离速度碰撞后两球的分离速度(v2 v1)与碰撞前两球的接近速度与碰撞前两球的接近速度(v10 v20)成正比，比值为恢复系数成正比，比值为恢复系数 e，二二,恢复系数恢复系数三三,非弹性碰撞非弹性碰撞()m2v10v20m1m2v2v1m1x0讨论三种情况讨论三种情况:27第27页，本讲稿共35页讨论：讨论：当两个物体发生完全弹性碰撞时，速度变为：当两个物体发生完全弹性碰撞时，速度变为：*当当m1=m2 时，时，v1=v20，v2=v10，两球速度交换。两球速度交换。*当当m1m2 时，时，v1=2v20 v10，v2=v20，1.e=0，完全非弹性碰撞，两个物体合二为一完全非弹性碰撞，两个物体合二为一机械能损失最大（转换成热能或其它能量）；机械能损失最大（转换成热能或其它能量）；2.0e1，非弹性碰撞，能量不守恒；非弹性碰撞，能量不守恒；3.e=1，完全弹性碰撞，能量守恒。完全弹性碰撞，能量守恒。28第28页，本讲稿共35页弹弓效应，用于星际探测器加速和改变运动方向。弹弓效应，用于星际探测器加速和改变运动方向。大质量物体保持静止，小质量物体速度大小几乎不变，方向相反。大质量物体保持静止，小质量物体速度大小几乎不变，方向相反。4.碰撞中的能量损失碰撞中的能量损失若若 且且v20=0，则，则v1=v10，v2=0，完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞:29第29页，本讲稿共35页例例题题10 光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上，有有一一质质量量为为m、速速度度为为u的的小小球球A沿沿水水平平方方向向飞飞行行，与与一一静静止止的的小小球球B碰碰撞撞后后，A球球的的速速度度变变为为v1，其其方方向向与与u方方向向成成90，B球球的的质质量量为为5m，它它被被撞撞后后以以速速度度v2飞飞行行，v2的的方方向向与与u成成=arcsin(3/5)角角，求求两小求相碰后速度两小求相碰后速度v1、v2的大小。的大小。解解 对两小球组成的系统，对两小球组成的系统，显然动量守恒显然动量守恒:X方向：方向：mu=5mv2cos (1)y方向：方向：0=-mv1+5mv2sin (2)解式解式(1)、(2)得得 v1=3u/4,v2=u/4mu=mv1+5mv2AuBv1v2图xy90m5m30第30页，本讲稿共35页2.2.4 质质心心 质质心运心运动动定理定理 *质质心坐心坐标标系系 (不要求不要求)8591一、质心：质点系的质量中心一、质心：质点系的质量中心质点系质点系 N个质点个质点质量：质量：m1 m2 m3 mi mN 位矢：位矢：r1 r2 r3 ri rN质心的位矢：质心的位矢：(m为总质量为总质量)质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质质心的位矢随坐标系的选取而变化，但对一个质点系，质心的位置是固定的。心的位置是固定的。见见P85讲要求讲要求完完31第31页，本讲稿共35页直角坐标系中的分量式为：直角坐标系中的分量式为：质量连续分布时：质量连续分布时：对称物体的质心就是物体的对称中心。由两个质点对称物体的质心就是物体的对称中心。由两个质点组成的质点系，常取质心处组成的质点系，常取质心处xc=0以便于分析和计算。以便于分析和计算。32第32页，本讲稿共35页例：例：一段均匀铁丝弯成半径为一段均匀铁丝弯成半径为R的的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。半圆形，求此半圆形铁丝的质心。解：解：选如图坐标系，取长为选如图坐标系，取长为dl的铁丝，的铁丝，质量为质量为dm，以，以表示线密度，表示线密度，dm=dl.分析得质心应在分析得质心应在y轴上。轴上。注意：质心不在铁丝上。注意：质心不在铁丝上。33第33页，本讲稿共35页二、质心运动定律二、质心运动定律质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的质点系的总动量等于它的总质量与它的质心的运动速度的乘积。乘积。34第34页，本讲稿共35页船组成的质点系的质心坐标船组成的质点系的质心坐标xc为为 因为船和人组成的质点系的质心坐标保持不变，即因为船和人组成的质点系的质心坐标保持不变，即xcxc 又因为又因为 联立求解上面两个方程有联立求解上面两个方程有 3.质心坐标系质心坐标系质心坐标系：质心坐标系：选择原点固定在质心上，以与质心相同速度作平选择原点固定在质心上，以与质心相同速度作平移移(即坐标轴方向无转动即坐标轴方向无转动)的参考系的参考系 35第35页，本讲稿共35页