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实验测量不确定度与数据处理实验测量不确定度与数据处理第1页，本讲稿共51页1-1测量与仪器测量与仪器1-2不确定度的评定不确定度的评定1-3实验数据处理实验数据处理 有效数字及其运算有效数字及其运算概要第2页，本讲稿共51页1-1测量与仪器测量与仪器一、定义一、定义测量：为确定被测量对象的量值而进行的被测 物与仪器相比较的实验过程。测量结果包含三个部分测量结果包含三个部分测量结果包含三个部分测量结果包含三个部分:1.1.数值数值数值数值 2.2.单位单位单位单位 3.3.可信度可信度可信度可信度 (用不确定度表示用不确定度表示用不确定度表示用不确定度表示)铯原子铯原子铯原子铯原子133133基态基态基态基态的两个超精细能的两个超精细能的两个超精细能的两个超精细能级之间跃迁振荡级之间跃迁振荡级之间跃迁振荡级之间跃迁振荡91926317709192631770周周周周所经历的时间为所经历的时间为所经历的时间为所经历的时间为一个原子时秒一个原子时秒一个原子时秒一个原子时秒 第3页，本讲稿共51页二、直接测量与间接测量1、直接测量定义：能直接得到被测量量值的测量（被测量 量和仪器直接比较）直接测量重复测量单次测量a)重复测量：在等精度的条件下对待测量进行 多次测量。每一次测量是测量全 过程的重新调节(不等于多次读数)说明:第4页，本讲稿共51页b)b)单次测量：单次测量：往往出现以下几种情况才采用往往出现以下几种情况才采用（1）测量结果的准确度要求不高，允许可以粗 略地估计误差的大小。（2）在安排实验时，早已作过分析，认为测 量误差仪器误差。（3）受条件的限制（如在动态测量中，无法 对待测量做重复测量）。“四同四同四同四同”:同一观察者、同一仪器、同一观察者、同一仪器、同一观察者、同一仪器、同一观察者、同一仪器、同一方法、同一方法、同一方法、同一方法、同一环境同一环境同一环境同一环境等精度测量:第5页，本讲稿共51页2、间接测量举例举例举例举例:P=F/S P=F/S定义：通过测量与被测量有函数关系的其它 量，才能得到被测量量值的测量。（通过公式计算才能得到的数据）第6页，本讲稿共51页说明说明:1、直接测量与间接测量是相对的。随着科学技 术的发展，测量仪器的改进，原来只能间接 测量的量，现在可以直接测量。2、间接测量是从直接测量通过公式计算得，因此直接测量是间接测量的基础。第7页，本讲稿共51页三、仪器 测量时是以仪器为标准进行比较，由于测量目的不同,对不同的测量,可选用不同精密度的仪器。精密度精密度指仪器的最小读数。指仪器的最小读数。仪器的额定误差:仪=仪器的公差第8页，本讲稿共51页表表表表1-11-1常用仪器的主要技术条件和仪常用仪器的主要技术条件和仪常用仪器的主要技术条件和仪常用仪器的主要技术条件和仪器的最大公差器的最大公差器的最大公差器的最大公差量具（仪器）量程最小分度值出厂公差米尺（竹尺）30-50cm60-100cm1mm1mm1.0mm1.5mm钢 板 尺150mm500mm1000mm1mm1mm1mm1.0mm1.5mm2.0mm钢 卷 尺1m2m1mm1mm0.8mm1.2mm游标卡尺125mm300mm0.02mm0.05mm0.02mm0.05mm螺旋测微器（千分尺）0-25mm0.01mm0.004mm第9页，本讲稿共51页量具（仪器）量程最小分度值出厂公差七级天平（物理天平）500g0.05g0.08g（接近滿量程）0.06g（1/2量程附近）0.04g（1/3量程和以下）三级天平（分析天平）200g0.1mg1.3mg（接近滿量程）1.0mg（1/2量程附近）0.7mg（1/3量程和以下）普通温度计（水银或有机溶剂）0-1000C10C 10C精密温度计（水银）0-1000C0.10C 0.20C电 表AmK%表表表表1-21-2常用仪器的主要技术条件和仪常用仪器的主要技术条件和仪常用仪器的主要技术条件和仪常用仪器的主要技术条件和仪器的最大公差器的最大公差器的最大公差器的最大公差第10页，本讲稿共51页1-2 不确定度的评定不确定度的评定不确定度的评定不确定度的评定一、不确定度的定义与物理意义一、不确定度的定义与物理意义一、不确定度的定义与物理意义一、不确定度的定义与物理意义1、定义：由于由于测量误差测量误差的存在而对测量值不能肯定的程的存在而对测量值不能肯定的程度，度，称为不确定度称为不确定度称为不确定度称为不确定度，它是与测量结果相联系的一个，它是与测量结果相联系的一个参数。参数。测量值测量不确定度（包含真值的概率）用测量的算术平均值来表示第11页，本讲稿共51页2、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性。含义:表示真值在落在之中的概率为p，其范围越窄,则不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。第12页，本讲稿共51页二、不确定度的评定（计算）间接测量量评定直接测量量评定A类评定B类评定用概率统计法计算用概率统计法计算用概率统计法计算用概率统计法计算用其它非统计方法估算用其它非统计方法估算用其它非统计方法估算用其它非统计方法估算合成合成合成合成几何合成几何合成几何合成几何合成算术合成算术合成算术合成算术合成(偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差)(系统误差系统误差系统误差系统误差)第13页，本讲稿共51页1、直接测量量的标准不确定度（1）A类评定（uA）测量列标准偏差-贝塞尔公式：意义意义意义意义:当当当当n n为无穷大时为无穷大时为无穷大时为无穷大时,真值落在真值落在真值落在真值落在的概率为的概率为的概率为的概率为68.3%68.3%第14页，本讲稿共51页根据高斯误差理论,测量列平均值的标准偏差第15页，本讲稿共51页置信概率68.3%当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布v置信度(p)：或称置信概率，表示被测量在给定区间内的可信程度。在等精度条件下对同一测量量的A类不确定度可用算术平均值的标准偏差来衡量。第16页，本讲稿共51页因此为达到同样的置信水平，应把测量偏差范因此为达到同样的置信水平，应把测量偏差范围扩大，乘上一个围扩大，乘上一个t因子，即：因子，即：但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布，而是遵循分布，而是遵循t t分布。分布。第17页，本讲稿共51页三种概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1)2345670.681.321.321.201.201.141.141.111.111.091.091.081.080.954.304.303.183.182.782.782.572.572.462.462.372.370.999.939.935.845.844.604.604.034.033.713.713.503.50vtp8914190.681.071.071.061.061.041.041.031.031 10.952.312.312.262.262.152.152.092.091.961.960.993.363.363.253.252.982.982.862.862.582.58vtp第18页，本讲稿共51页直接测量量不确定度A类评定为：对于不同的置信概率对于不同的置信概率对于不同的置信概率对于不同的置信概率P P，具有不同的，具有不同的，具有不同的，具有不同的A A类不确定度类不确定度类不确定度类不确定度记住该记住该记住该记住该公式公式公式公式!第19页，本讲稿共51页（2）B类评定（uB）1）不确定度是正态分布或近似高斯分布当在-uB，uB内的置信概率为68.3%当在-uB，uB内的置信概率为99.7%2）测量值在a-，a+的概率为1，在此范围外为 0，且测量值在a-，a+范围内均匀分布当在-uB，uB内的置信概率为58%第20页，本讲稿共51页3）测量值在a-，a+的中点处出现概率最大，并 呈三角形分布当在-uB，uB内的置信概率为74%一般，在正态分布下，测量值的一般，在正态分布下，测量值的一般，在正态分布下，测量值的一般，在正态分布下，测量值的B B类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：记住该记住该记住该记住该公式公式公式公式!第21页，本讲稿共51页置信概率p与置信因子kp的关系表p0.5000.6830.9000.9500.9550.9900.997kp0.67511.651.9622.583仪器名称米尺游标卡尺千分尺物理天平秒表误差分布正态分布均匀分布正态分布正态分布正态分布C3333误差分布与置信系数C的关系第22页，本讲稿共51页（3）不确定度的合成）不确定度的合成总不确定度总不确定度u测量值可写为:特例特例1 1）对于偶然误差为主的测量情况）对于偶然误差为主的测量情况）对于偶然误差为主的测量情况）对于偶然误差为主的测量情况略去B类不确定度2 2）对于系统误差为主的测量情况）对于系统误差为主的测量情况）对于系统误差为主的测量情况）对于系统误差为主的测量情况略去A类不确定度合成时置合成时置信概率要信概率要相同相同第23页，本讲稿共51页（4）不确定度的展伸1 1、定义：、定义：、定义：、定义：扩大置信度（概率）的不确定度测量称为展伸不确定度2 2、数学表达式、数学表达式、数学表达式、数学表达式如：如：如：如：（p=68.3%）（p=95%）（p=99%）第24页，本讲稿共51页（5）直接测量结果不确定度书写表示注意事项v不确定度、测量值单位应保持一致。v测量不确定度用一位或二位数表示均可。如果测量不确定度用一位或二位数表示均可。如果作为间接测量的一个中间结果（中间过程）不确作为间接测量的一个中间结果（中间过程）不确定度最好用二位。（首位逢一、二用二位），对定度最好用二位。（首位逢一、二用二位），对不保留数字一律不保留数字一律“只进不舍只进不舍”，如，如ux=0.32，取，取0.4。v测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对保测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对保留数字末位采用留数字末位采用“4舍舍6入，入，5凑偶凑偶”规则。规则。!第25页，本讲稿共51页举例举例:测量结果平均值为测量结果平均值为测量结果平均值为测量结果平均值为2.1445cm，其标准不确定，其标准不确定度计算为度计算为 0.0124cm，则测量结果为则测量结果为2.1440.01313cm测量结果平均值为测量结果平均值为测量结果平均值为测量结果平均值为2.142.143 35cm,5cm,则测量结果为则测量结果为则测量结果为则测量结果为2.142.144 40.013cm0.013cm测量结果平均值为测量结果平均值为2.14451cm,则测量结果为则测量结果为2.142.1450.013cm第26页，本讲稿共51页（6）不确定度的其它表示相对不确定度：没有单位，用百分数表示，它更能反映测量的准确程度。位数用1-2位0-10%取取1位，首位位，首位“1”或或“2”取二取二位位10%-100%取2位定义：表示不确定度ux在整个测量值 中所占百分比，用符号“E”来表示第27页，本讲稿共51页2、间接测量量不确定度的评定 表示间接测量量与直接测量量之间不确定关系的关系式称为不确定度传递公式1）算术合成对于间接测量值对于间接测量值对于间接测量值对于间接测量值当当当当x x1 1、x x2 2、x x3 3xxn n有微小变化有微小变化有微小变化有微小变化dxdx1 1、dxdx2 2、dxdx3 3dxdxn n时会引时会引时会引时会引起间接测量量起间接测量量起间接测量量起间接测量量N N的微小变化的微小变化的微小变化的微小变化dNdN所以对所以对所以对所以对N N取全微分取全微分取全微分取全微分第28页，本讲稿共51页绝对不确定度相对不确定度说明算术合成的不确定度传递公式简单但得到的是可能的最大偏差第29页，本讲稿共51页2）几何合成用标准误差代替直接测量量的偏差取方和根所以取对所以取对所以取对所以取对N N取全微分取全微分取全微分取全微分第30页，本讲稿共51页如果该量含有如果该量含有A A类类类类和和B B类类类类不确定度不确定度,则合成后的总不确定度为则合成后的总不确定度为则合成后的总不确定度为则合成后的总不确定度为:相对不确定度为相对不确定度为相对不确定度为相对不确定度为:第31页，本讲稿共51页求不确定度传递公式的一般步骤：求不确定度传递公式的一般步骤：求不确定度传递公式的一般步骤：求不确定度传递公式的一般步骤：1）对函数求全微分（乘除时可先对函数取对数，再求全微分）2）合并同一变量的系数3）将微分号改为不确定度符号，求各项的平方和再开方（几何合成）或求各项的绝对值（算术合成）计算公式见书中表格计算公式见书中表格计算公式见书中表格计算公式见书中表格!第32页，本讲稿共51页3、不确定度计算实例1）直接测量量的不确定度例题:用量程025mm，最小分度值为0.01mm，最大允差为0.004mm的螺旋测量微器测量钢丝的直径10次，数据如下：d(mm):2.006,2.008,2.002,2.001,1.998,2.010,1.993,1.995,1.990,1.997，求直径的标准偏差，并完整表示不确定度测量结果。解：平均值标准偏差0.001970.00197第33页，本讲稿共51页因测量次数为10次，查表得t0.68=1.06，螺旋测量微器的误差为正态分布，C=3，所以总不确定度结果的不确定度表示结果的相对不确定度表示mmmm0.0026080.002608概率为概率为概率为概率为68.3%68.3%第34页，本讲稿共51页2)间接测量量的不确定度评定间接测量量的不确定度评定见书中例见书中例8 (P15)步骤步骤:1)算平均值算平均值2)算直接测量量算直接测量量d的不确定度的不确定度3)算直接测量量算直接测量量h的不确定度的不确定度4)算直接测量量算直接测量量m的不确定度的不确定度5)总不确定度几何合成总不确定度几何合成第35页，本讲稿共51页解题步骤解题步骤:间接测量量直接测量量3)3)用公式用公式用公式用公式2)2)采用几何合成或算术合成方法合成采用几何合成或算术合成方法合成采用几何合成或算术合成方法合成采用几何合成或算术合成方法合成1)1)求平均值求平均值求平均值求平均值,用公式用公式用公式用公式 2)2)用公式用公式用公式用公式求求求求B B类标准偏差类标准偏差类标准偏差类标准偏差求求求求A A类标准偏差类标准偏差类标准偏差类标准偏差1)1)用直接测量量评定方法用直接测量量评定方法用直接测量量评定方法用直接测量量评定方法,评定各个量的总不确定度评定各个量的总不确定度评定各个量的总不确定度评定各个量的总不确定度仪仪仪仪第36页，本讲稿共51页1-3 有效数字及其表示有效数字及其表示一、有效数字定义：测量数据中所有可靠数字加上一位可疑数字统称为有效数字。特点：特点：有效数字的最后一位为可疑数字，是不准确的，是误差所在的位。它在一定程度上反映客观实际，因此它是有效的。在读数时一般为估读，估读那一位为可疑数字。估读位前的几位数字都为可靠数字。第37页，本讲稿共51页有效数字的认定有效数字的认定有效数字的认定有效数字的认定1）在测量数据中）在测量数据中1、2、9九个数字，每个数九个数字，每个数字都为有效数字字都为有效数字2）“0”是特殊数字，其认定应注意以下几种情况是特殊数字，其认定应注意以下几种情况v数字间的“0”为有效数字v数字后的“0”为有效数字v数字前的“0”不是有效数字，它只表示数量级的大小在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是“0”也一样也一样注意：注意：第38页，本讲稿共51页总结总结1、有效数字的位数计算，从第一位不是、有效数字的位数计算，从第一位不是“0”的数字至最后一位的数字至最后一位2、在十进制单位中，有效数字的位数与十进制单位的变化无关例如：某长为1.34cm，有效数字为3位1.34cm=13.4mm=0.0134m（只是单位在变）第39页，本讲稿共51页二、科学记数法标准式二、科学记数法标准式二、科学记数法标准式二、科学记数法标准式为计算的方便，对较大或较小的数值，常用为计算的方便，对较大或较小的数值，常用1010nn的形式来书写（的形式来书写（n n为正整数），为正整数），通常在小通常在小通常在小通常在小数点前面只写一位数字数点前面只写一位数字数点前面只写一位数字数点前面只写一位数字。如：如：3210001000m1000m采用科学记数为（采用科学记数为（3.210.013.210.01）10105 5m m0.00015600.0000001m0.00015600.0000001m（1.561.560 00.0010.001）10 10-4-4m m三、三、三、三、意义意义 有效数字的位数多少，在一定程度上反映测有效数字的位数多少，在一定程度上反映测有效数字的位数多少，在一定程度上反映测有效数字的位数多少，在一定程度上反映测 量量量量 结果的准确度结果的准确度结果的准确度结果的准确度有效数字位数越多相对误差越小，准确度越大有效数字位数越少相对误差越大，准确度越小第40页，本讲稿共51页四、具有不同有效位数数据之间的计算四、具有不同有效位数数据之间的计算四、具有不同有效位数数据之间的计算四、具有不同有效位数数据之间的计算v加减法则加减法则：加减运算所得结果的最后一位，保加减运算所得结果的最后一位，保留到所有参加运算的数中末位数留到所有参加运算的数中末位数数量级数量级数量级数量级最大的最大的那一位为止那一位为止例：71.32-0.8+6.3+271=347.82分析：分析：分析：分析：末位数数量级最大的是第四项，它在小末位数数量级最大的是第四项，它在小末位数数量级最大的是第四项，它在小末位数数量级最大的是第四项，它在小数点前一位，因此正确表示为数点前一位，因此正确表示为数点前一位，因此正确表示为数点前一位，因此正确表示为71.32-0.8+6.3+271=348（四舍五入）第41页，本讲稿共51页v乘除法则乘除法则乘除法则乘除法则：积和商的位数与参与运算诸项中：积和商的位数与参与运算诸项中有有效数字位数最少效数字位数最少的那一项相同的那一项相同特殊情况：位数最少的数字，首位是特殊情况：位数最少的数字，首位是特殊情况：位数最少的数字，首位是特殊情况：位数最少的数字，首位是“8 8”或或或或“9 9”时，其积或商有效数字位数可多取一位时，其积或商有效数字位数可多取一位时，其积或商有效数字位数可多取一位时，其积或商有效数字位数可多取一位例：例：例：例：第42页，本讲稿共51页v综合运算：综合运算：根据计算原则，从左到右，先根据计算原则，从左到右，先“加、加、减减”后后“乘、除乘、除”进行，加、减按加、减运算进行，加、减按加、减运算原则，乘除按乘除运算原则原则，乘除按乘除运算原则例：说明：说明：1 1）先算分母（加减）先算分母（加减）先算分母（加减）先算分母（加减）2 2）再算除法，保）再算除法，保）再算除法，保）再算除法，保留一位有效数字，留一位有效数字，留一位有效数字，留一位有效数字，结果用科学记数法。结果用科学记数法。结果用科学记数法。结果用科学记数法。3 3）在求和两项中相）在求和两项中相）在求和两项中相）在求和两项中相比，比，比，比，21.86321.863太小可太小可太小可太小可略去，结果保留到略去，结果保留到略去，结果保留到略去，结果保留到整数。整数。整数。整数。第43页，本讲稿共51页v平均值原则：计算重复测量4次以上的数据平均值时，有效数字多取一位v无理数运算原则：无理数运算原则：取无理数的位数比参与运算取无理数的位数比参与运算中有效数字位数最少的那一位中有效数字位数最少的那一位多一位多一位多一位多一位（其中，（其中，常数常数不参与有效数字的运算）不参与有效数字的运算）结果取三位有效数字第44页，本讲稿共51页v乘方、开方原则：乘方、开方运算中，最后结果的有效数字位数与自变量的有效数字位数相同v对数运算原则：自然对数的有效数字的位数与真数有效数字的位数相同v函数运算原则：见P24第45页，本讲稿共51页四、数值的修约规则四、数值的修约规则四、数值的修约规则四、数值的修约规则尾数的舍入法则尾数的舍入法则尾数的舍入法则尾数的舍入法则通常通常“小于小于5则舍则舍”，“大于大于5则入则入”，“等于等于5则凑偶则凑偶”即前一位为偶数则不进即前一位为偶数则不进例：2.51取一位有效数字，因为5后有一位1，满足大于5法则，则进。第46页，本讲稿共51页实验报告基本要求实验报告基本要求报告内容实验前题目一、实验目的二、实验仪器三、实验原理四、实验内容与步骤五、实验数据记录与处理（含原理数据记录表格，老师签字）实验后六、结果与讨论七、注意事项第47页，本讲稿共51页报告要求报告要求1.报告纸报告纸:正规纸张正规纸张!(报告手写报告手写)2.画图画图:作图纸作图纸,计算机打印计算机打印!详见教材详见教材!第48页，本讲稿共51页本次作业第2题1、3第3题3、4第5题1、3、5第6题第7题第10题2、3第11题第49页，本讲稿共51页分组说明分组说明:1.1.分成分成分成分成1212组组组组,编号分别为编号分别为编号分别为编号分别为:A B C D KL:A B C D KL。2.2.每组人数相差不每组人数相差不每组人数相差不每组人数相差不 超过超过超过超过1 1个。个。个。个。3.3.分组情况表分组情况表分组情况表分组情况表(组编号组编号组编号组编号,学号学号学号学号,姓名姓名姓名姓名)用用用用excelexcel排版好排版好排版好排版好,于于于于下周前发到我信箱。下周前发到我信箱。下周前发到我信箱。下周前发到我信箱。Email:Email:第50页，本讲稿共51页The end!第51页，本讲稿共51页