2021年版【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学高年级组解析.pdf

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初初赛赛试题试题 C（小学高年级组）（小学高年级组） （时间: 2013 年 3 月 23 日） 一、选择题一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 1. 如果mn20122014201420132013（其中 m与n 为互质的自然数） , 那么 m+n 的值是 （ ） . （A）1243 （B）1343 （C）4025 （D）4029 解答：B。 在考试中，选择恰当的方法很重要。这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。 2222315、2231422、2244537、2255648、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细一想，原来第二个可以写成2233426，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大 3！答案一定是20132016，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份 2013 这个数是我们非常熟悉的，2013=31161，是 3 的倍数，那么加 3 不还是 3 的倍数么？可以约分，所以最后的答案是20136712016672所以选 B！ 如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的 2013 也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出） ，那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出 2013.具体过程是这样的： 2013 20132014 (2013 1)20122013 20132014 2013201420122013 20132014 20132013 22013 20132013671,2013 (20142)2016672原式 671 6721343.mn这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了“m与n 为互质的自然数” ，那么就容易把答案写成 D。 2. 甲、 乙、 丙三位同学都把 25 克糖放入 100 克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情: 最终,（ ）得到的糖水最甜. （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙和丙 解答：C。 根据题意和我们所学过的公式，可以分别求出三人得到的糖水的最终浓度！ (1) 甲配得的糖水含糖率：%20%1005025100%205025; (2) 乙配得的糖水含糖率：%7 .25%10050251002025; (3) 丙配得的糖水含糖率：%9 .28%100100251002510025. 所以，丙最甜！其实我们还可以用另一种方法来解答，如果对概念理解的比较清晰的话，我们可以知道，向共同的糖水中加另一种糖水，加的糖水的浓度越大，糖水质量越多就越甜。甲又加入的是浓度为：20%的糖水 50 克 乙又加入的是浓度为 20（20+30）=40%的糖水 50 克 丙又加入的是浓度为 2（2+3）=40%的糖水 100 克 很明显，丙往里面加的糖水更甜，更多，所以最甜的一定是丙。 3. 一只青蛙 8 点从深为 12 米的井底向上爬, 它每向上爬 3 米, 因为井壁打滑, 就会下滑 1米, 下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一. 8 点 17 分时, 青蛙第二次爬至离井口 3 米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A）22 （B）20 （C）17 （D）16 解答：A。 无论上还是下，每一米所用的时间都是一样的，根据题意，每向上爬 3 米会下降 1 米，我们列一个表格。 青蛙实际高度 3 2 5 4 7 6 9 8 9 11 10 12 向上爬 3 0 3 0 3 0 3 0 1 2 0 2 向下滑 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 从上表可以看出，当第二次到达了离井口 3 的地方的时候，青蛙运动了，34+1+14=17米。而当这只青蛙跳出井口的时候共走了 35+2+15=22 米。根据题意 171722=22 分钟。 再加入 50 克含糖率 20%的糖水. 再加入 20 克糖和 30 克水. 再加入 100 克糖与水的比是2:3 的糖水. 4. 已知正整数 A 分解质因数可以写成532A, 其中、 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A的三分之一是完全立方数, A的五分之一是某个自然数的五次方, 那么 的最小值是（ ）. （A）10 （B）17 （C）23 （D）31 解答：D。 根据“A 的二分之一是完全平方数”可以知道， （-1） 、都是 2 的倍数。 根据“A 的三分之一是完全立方数”可以知道，、 （-1） 、都是 3 的倍数。 根据“A 的五分之一是某个自然数的五次方”可以知道，、 （-1）都是 5 的倍数。 同时满足三个条件的的最小值恰好是3,5=15；的最小值恰好是2,5=10；的最小值恰好是2,3=6。所以， 的最小值是 15+10+6=31。 5. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形. （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 解答：C。 可以把所有的情况都画出来然后通过比较找出三角形最多的图形， 再仔细的数一下，发现有 11 个，所有的图如下： 还有一种办法， 如果没有三角形内部的两条线捣乱的话， 那么这个题就简单多了，我们从简单的情况入手！当没有三角形内部的两条线时， 这两个三角形在移动的过程中， 最多可以有8 个三角形（如图 1） ，在这种情况下再按照题中条件，再添两条线，在不与已有边重合的情况下，至少多 2 个三角形（如图 2） ，而最多只能多 3 个（如图 3） 。 6. 从 111 这 11 个整数中任意取出 6 个数, 则下列结论正确的有（ ）个. 其中必有两个数互质; 其中必有一个数是其中另一个数的倍数; 其中必有一个数的 2 倍是其中另一个数的倍数. （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 解答：B。 对于“任意必有”这样的语句，应该考虑到“抽屉原理” 。如果需要证明结论正确的话，那就要构造抽屉，而抽屉的个数，应该是小于 6 的！看题： 第一句说必有两个数互质，如果这是正确的话，那么就要构造出小于 6 的抽屉，且每一组抽屉中的数一定是两两互质的，而很容易想到，每相邻的两个数都是互质的，所以可以这样构造（1,2,3） （4,5） （6,7） （8,9） （10,11）其实构造的方法不是唯一的，还有很多构造方法如： 【 （1,3,4） （2,9） （8，11） （5，6） （7,10） 】 ； 第二句很容易举出反例， （6、7、8、9、10、11）最大的六个数就没有倍数关系，同样的还有： （4、5、6、7、9、11） ； 第三句，根据第二句话的反例，可以看出，第三句话是成立的，那么就要严谨的证明一下，还是要构造抽屉，按照什么构造呢，可以按照 1 到 11 中的 5 个质因数来构造 5 个抽屉，1 放在哪个抽屉里都可以,（1,2,4,8） （3,6,9） （5,10） （7） （11）这五个抽屉中，要任意取6 个数，必有两个数在同一个抽屉中，就必满足其中一个数的 2 倍是另一个数的倍数。 所以有两句是正确的，最后的答案是 B。 二、填空题二、填空题 (每小题 10 分, 满分 40 分) 7. 有四个人去书店买书, 每人买了 4 本不同的书, 且每两个人恰有 2 本书相同, 那么这 4个人至少买了_种书. 解答：7。 从简单的情况思考，若只有两个人，那么为了符合题意，一定有 6 本不同的书，我们可以给这 6 本数编号为 1、2、3、4、5、6，那么设甲买的是 1、2、3、4，乙买的是 1、2、5、6.这时候又来了第三个人，我们称呼他为丙，这是丙为了符合题意，他可以选择不买其他的书，他买编号为 3、4、5、6 也符合题意，这时要注意的是，当三个人，只买 6 本书的时候，当甲、乙买的书确定之后，丙购买的编号是唯一的，就是丙不能买甲、乙都买的书，如果他买了一本甲乙都买的书，那么他就必须再买一本他自己“独有”的书！列一个表格让我刚才说的更清晰： 1 2 3 4 5 6 甲 乙 丙 把 3 个人的情况弄明白之后，看四个人的，这时丁来了，站在刚才丙的角度思考，他至少要有一本“独有”的书了，所以 4 个人的时候至少是 7 本，可以给出构造如下： 1 2 3 4 5 6 7 甲 乙 丙 丁 即甲买的书编号为（1, 2, 3, 4）, 那么乙买的书的编号为（1, 2, 5, 6）, 为使种数最少, 丙买的书的编号为（3, 4, 5, 6）, 此时丁可以买（1, 3, 5, 7）. 8. 每天, 小明上学都要经过一段平路 AB、 一段上坡路 BC 和一段下坡路 CD （如右图） . 已知 AB:BC:CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为 3:2:4. 如果小明上学与放学回家所用的时间比是nm(其中 m 与 n 是互质的自然数)，那么 m+n的值是 . 解答：35。 简单的赋值法可以计算出结果，设 AB 是 100 米，那么 BC 的路程就是 200 米，CD 的路程就是 100 米；设小明平路的速度是 3 米/秒，那么他上坡路、下坡路上的速度就分别是 2米/秒、4 米/秒.根据赋值来计算， 小明上学的时间是：1002001004753243 小明放学回家的时间是：1002001004003423 所以时间比为475 40019:3316！ 如果觉得赋值法不够严谨的话，那么可以设sAB , 则sBC2, sCD ; 设 av3平, 则 av2上, av4下. 可以计算这些算式得： asasasasast12191231244223上学, asasasasast1216126642423放学, 所以 1916上学放学tntm，m+n=35。 9. 黑板上有 11 个 1, 22 个 2, 33 个 3, 44 个 4. 做以下操作: 每次擦掉 3 个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写 2 个. 例如: 某次操作擦掉 1 个 1, 1 个 2, 1 个 3, 那就再写上2 个 4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下 3 个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是 . 解答：12。 仔细阅读题中所说的操作，会发现无论如何操作，任意两种数的个数的差只有不变，加3 和减 3 三种情况！ （比如说 1 和 2 的个数，无论怎样操作，对于这两个数的个数只有 3 类情况，要么同时减少一个；要么 1 的个数加 2 个，2 的个数少一个；要么 1 的个数少 1 个，2 的个数加 2 个） 。那么继续，看 1 的个数和 2 的个数，用 2 的个数减去 1 的个数，他们的差是 22-11=11，11 除以 3 的余数是 2，那就是说当数字 2 的个数比 1 的个数多时，他们的差一定是除以 3 余 2 的； 但如果数字 1 的个数比 2 多的话， 那么这个差除以 3 的余数一定是 1，（可以试着操作几次，让 1 的个数多与 2 的个数） 。这样都算下来比较麻烦，观察一些特殊的，不用分类讨论的，可以发现 1 的个数和 4 的个数，它们的差是 33，正好是 3 的倍数，也就是说，操作到最后，剩下的 1 的个数和 4 的个数要么一样多，要么个数差 3。再根据题意，最后只剩下 3 个数，如果 1 的个数为 3，那么 2 的个数必然为 2，不合题意。如果的个数为 3，而 1 和 2 不可能都为 0 个，所以操作到最后时 1 的个数和 4 的个数都只能为 0，而2 的个数一定是 2，那么 3 的个数就是 1，所以剩下的三个数是 2 个 2 和 1 个 3，他们乘积是12. 这个题， 说了好多， 其实就是考察模 3 同余的问题。 同余是数论问题中比较难的一部分，而华杯中的数论问题是不可缺少的，看完答案的同学，如果你可以走进决赛，那就一定要在数论中再下一番功夫， 功夫的重点在用代数式的形式解决数论问题， 还有就是同余的应用等。 10. 如右图, 正方形 ABCD 被分成了面积相同的 8 个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形 ABCD 面积是 . 解答：64。 题中只给出了一个具体数据 DG=5，要求出正方形的面积，我们可以用一个未知数 x 作为过渡，找到 DG 和正方形边长的关系，关系有了，就可以求出边长，进而求出面积。设边长是 8x。 SSADHBCI所以 BI=AH， 若整个正方形的面积是 8 份的话， ADH的面积是 1 份，AH 是 AB 的14，即 AH=BI=2x，HI=4x，如果连接 CH，那么CHI 的面积是CBI 的 2 倍，就是 2 份，而FHI 的面积是 1 份，所以 CF=FI，进行不下去了，要向 DG 靠拢，所以做条辅助线：延长 FG交 DH 于 N, DA 于 M （如右图） 根据燕尾模型， DN=NH， 在梯形 CDHI中，CF=FI,DN=NH，所以 FN 与 CD、HI 平行（平行线分线段成比例） ，所以 DM=MA 平行后，FG 与 HI 之间的距离相等，而SSGFHIHF所以 FG=HI=4x 又因为三角形 FDG 的面积是三角形 DGN 面积的 2 倍, 所以 GN=2x 根据对称性可知, NM = (8x6x)2 = x, 所以 GM = 3x. 在直角三角形 GDM 中, DG = 5x. 又因为 DG = 5 所以 x = 1. 最终, 正方形的面积为 88 = 64. 最后一题的难度比较大，考察了很多图形类的知识，里面有很多 5 年级学过的几何模型。还用到了平行线分线段的比例关系。作为高年级的试题，与比相关的试题是必不可少的，本次初赛中，已经有 3 道题涉及到了比，而且难度各不相同，相比较，初赛的行程题简单了一些，那么在复赛中，同学们要小心了，强烈建议多复习一些与比例相关的行程问题！