2016中考数学专题复习——一线三角三等角型(共8页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上 “一线三等角”基本图形解决问题三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果。在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等。所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意。本文将重点对这一基本图形进行探讨。通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力。一、知识梳理：（1）四边形ABCD是矩形，三角板的直角顶点M在BC边上运动，直角边分别与射线BA、射线CD交于E、F，在运动过程中，EBMMCF. （2）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,ADE=B,那么一定存在的相似三角形有ABDDEC.如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,DEF=B,那么一定存在的相似三角形有DBEECF.（图1） （图2）二、【例题解析】【例1】(2014四川自贡）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点解决问题：（1）如图1，A=B=DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系【练习】1、 已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2=，点P是AB上的一个动点，且和点A,B 不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于点E,设,PA=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围 .2、如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点（不与BC重合）.连接DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CE=x,BF=y,(1)求y关于x的函数关系式（2）若m=8，求x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【例2】等边ABC边长为6，P为BC边上一点，MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1 图2 图3分析过程：（1）EPF为等边三角形. （2）设BP=x，则CP6x.由题意可 BEP的面积为. CFP的面积为.ABC的面积为.设四边形AEPF的面积为y. =.自变量x的取值范围为3x6. （3）可证EBPPCF. .设BP=x，则 . 解得 . PE的长为4或. 【练习】.如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APM=B；（1）求证：ABPPCM；（2）设BP=x，CM=y求 y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围（3）当APM为等腰三角形时，求PB的长ABPCM（4) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由【例3】在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ 【练习】在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证：(2)、当，求的值 【例4】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3，0)，B(1.0)，C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；(3)设抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由答案：(1)y=x2+2x3；(2)S有最大值，点P的坐标为（，）；(3)M的坐标为（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）.课后作业：ABCDEF1. 已知：如图，在ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上又点F在边AC上，且(1) 求证：FCEEBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由CPEABD2. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。CPEABF3. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，记PE=，PF=（1）分别求、关于x的函数关系式（2）PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。CPEABF4. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，PEF的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）若PEF为等腰三角形，求PC的长。5. 已知在等腰三角形中，是的中点， 是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.（1）求证：；（2）设.用含的代数式表示；求关于的函数解析式，并写出的定义域.6. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）CDABP答案：1. 解：（1）AB=ACB=CBED+DEF=C+EFC=90°又BED=EFCFCEEBD（2）BD=x，BE=，FCEEBD若BD不存在2. 解：（1）AB=ACB=CCPEABDHDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC =BDP ABDDCE（2）DPE=B90°若PDE=90°，在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosDPE=CPEABDHPC=4 若PED=90°在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosPED=PC=4 （舍去）CPEABFH综上所述，BD的长为3. 解：（1）、 （2）FPE=B90°若PFE=90°，在RtABH和RtPFE中CPEABFH cosABH=cosFPE=若PEF=90°，在RtABH和RtPFE中 cosABH=cosFPE=4. 解：（1）PEBEPCCPEABFGHM（2）PC=x， 即（3）当PE=PF时，EPCPEB，PC=BE=x，当PE=EF时，cosEPH=cosB，当FE=PF时， cosFPM=cosB，综上所述，PC的长分别为、5. 解：（1）,又, （2），是的中点，又 当点在线段的延长线上时， 当点在线段上时，过点作DGAB,交于点 ， 当点在线段的延长线上时，当点在线段上时， 专心-专注-专业