2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)(共22页).doc

精选优质文档-倾情为你奉上2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）ABCD2（5分）设集合A=x|x1，B=x|2x1，则（）AAB=x|x0BAB=RCAB=x|x0DAB=3（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（）A若xy=0，则x0B若xy0，则x0C若xy0，则y0D若x0，则xy04（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A3B3或9C3或9D9或35（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）ABCD6（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）ABCD7（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（）A15B9C1D98（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法A4B8C12D249（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（）ABCD10（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A2BCD11（5分）在各项都为正数的等比数列an中，若a1=2，且a1a5=64，则数列的前n项和是（）ABCD12（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2x），当x2，0时，若在区间（2，6）内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a0且a1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）AB（1，4）C（1，8）D（8，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13（5分）已知随机变量N（1，2），若P（3）=0.2，则P（1）= 14（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+sin289°= 15（5分）已知正三角形AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x上，则AOB的边长是 16（5分）已知ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则的最小值是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b（）求C；（）若a+b=6，ABC的面积为，求c18（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=PD，APD=90°（）证明：平面PAB平面PCD；（）求二面角APBC的余弦值19（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望附：，其中n=a+b+c+dP（k2k0）0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.82820（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足（）求点P的轨迹方程E；（）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值21（12分）已知f（x）=exax22x，aR（）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；（）若f'（x）ax1恒成立，求a的值；（）在（）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）设过原点O的直线与圆（x4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求点M的轨迹C的极坐标方程；（）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求OAB面积的最大值选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，函数f（x）=|x+a|xb|（）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）1；（）若函数f（x）的最大值为2，求证：2018年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）ABCD【解答】解：=，复数的实部为，虚部为，复数的实部与虚部之积为故选：B2（5分）设集合A=x|x1，B=x|2x1，则（）AAB=x|x0BAB=RCAB=x|x0DAB=【解答】解：集合A=x|x1，B=x|2x1=x|x0，则AB=x|x1；AB=x|x0故选C3（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（）A若xy=0，则x0B若xy0，则x0C若xy0，则y0D若x0，则xy0【解答】解：命题若p则q的逆否命题为：若q，则p，即命题的逆否命题为：若x0，则xy0，故选：D4（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A3B3或9C3或9D9或3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y=（）x8=0时，解得选x=3；当y=2log3x=0，解得x=9综上，有x=3，或者9故选：B5（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意的精度割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）ABCD【解答】解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为R2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin=；则所求的概率为P=故选：B6（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）ABCD【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径r=2，高为2的圆锥的一半，如图，该几何体的体积为：V=故选：A7（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（）A15B9C1D9【解答】解：作出x、y满足约束条件对应的平面区域，由，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，得A（0，1），此时z的最大值为z=+1=1，故选：A8（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法A4B8C12D24【解答】解：根据题意，分2步分析：，先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有 C41=4种选法，对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法故不同的调换方法有4×2=8，故选：B9（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（）ABCD【解答】解：函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=+sin2x+3=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+），令2k2x+2k+，求得kx+，故函数的增区间为k，k+，kZ结合，可得增区间为（0，故选：C10（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A2BCD【解答】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x4）2+y2=4相切，可得：=2，可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c24a2=c2，解得e=故选：B11（5分）在各项都为正数的等比数列an中，若a1=2，且a1a5=64，则数列的前n项和是（）ABCD【解答】解：在各项都为正数的公比设为q的等比数列an中，若a1=2，且a1a5=64，则4q4=64，解得q=2，则an=2n，可得数列，即为，可得=，数列的前n项和是+=1，故选：A12（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2x），当x2，0时，若在区间（2，6）内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a0且a1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）AB（1，4）C（1，8）D（8，+）【解答】解：对于任意的xR，都有f（x2）=f（2+x），f（x+4）=f2+（x+2）=f（x+2）2=f（x），函数f（x）是一个周期函数，且T=4又当x2，0时，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（2，6）内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）（a1）在区间（2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=loga（x+2），由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即loga81，由此解得：a8，a的范围是（8，+）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.13（5分）已知随机变量N（1，2），若P（3）=0.2，则P（1）=0.8【解答】解：随机变量服从正态分布N（1，2），曲线关于x=1对称，P（3）=0.2，P（1）=P（3），P（1）=1P（3）=10.2=0.8故答案为：0.814（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+sin289°=44.5【解答】解：设S=sin21°+sin22°+sin289°，则S=sin289°+sin288°+sin21°，两式倒序相加，得：2S=（sin21°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+（sin289°+sin21°）=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin289°+coss289°）=89，S=44.5故答案为：44.515（5分）已知正三角形AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x上，则AOB的边长是6【解答】解：由抛物线的对称性可得AOx=30°，直线OA的方程为y=x，联立，解得A（9，3）|AO|=6故答案为：16（5分）已知ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，则的最小值是1【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，斜边BC=2，则A（0，），B（，0），C（，0），设P（x，y），则+=2=（2x，2y），=（x，y），=2x2+2y22y=2x2+2（y）21，当x=0，y=时，则取得最小值1故答案为：1三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17（12分）在ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b（）求C；（）若a+b=6，ABC的面积为，求c【解答】解：（）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB，又sinA=sin（B+C），2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB，2sinBcosC+sinB=0，（sinB0），又C（0，）；（）由面积公式可得，即ab=2，ab=8，c2=a2+b22abcosC=a2+ab+b2=（a+b）2ab=368=28，18（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=PD，APD=90°（）证明：平面PAB平面PCD；（）求二面角APBC的余弦值【解答】（）证明：底面ABCD为正方形，CDAD又平面PAD平面ABCD，CD平面PAD又AP平面PAD，CDAPPDAP，CDPD=D，AP平面PCDAP平面PAB，平面PAB平面PCD；（）解：取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，可得PO底面ABCD，OQAD，以O为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得A（1，0，0），B（1，2，0），C（1，2，0），P（0，0，1），设平面APB的一个法向量为，而，则，即，取x1=1，得；设平面BCP的一个法向量为，而，则，即，取y2=1，得，=，由图知所求二面角为钝角，故二面角APBC的余弦值为19（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望附：，其中n=a+b+c+dP（k2k0）0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828【解答】解：（）根据题意，填写列联表如下；在家其他合计中国223355美国93645合计3169100根据表中数据，计算=，有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，X的可能取值为0，1，2；计算，；X的分布列为：X013P数学期望为：20（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足（）求点P的轨迹方程E；（）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值【解答】（）解：设P（x，y），则N（x，0），又，由M在椭圆上，得，即；（）证明：当l1与x轴重合时，|AB|=6，当l1与x轴垂直时，|CD|=6，当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为y=k（x1）（k0），此时设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），把直线l1与曲线E联立，得（8+9k2）x218k2x+9k272=0，可得=（18k2）24（8+9k2）（9k272）0，把直线l2与曲线E联立，同理可得为定值21（12分）已知f（x）=exax22x，aR（）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；（）若f'（x）ax1恒成立，求a的值；（）在（）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且【解答】解：（）要使参数a对函数值不发生影响，必须保证x=0，此时f（0）=e0a×022×0=1，所以函数的图象恒过点（0，1）（）依题意得：ex2ax2ax1恒成立，exax+1恒成立构造函数g（x）=exax1，则g（x）=exax1恒过（0，0），g'（x）=exa，若a0时，g'（x）0，g（x）在R上递增，exax+1不能恒成立若a0时，g'（x）=0，x=lnax（，lna）时，g'（x）0，函数g（x）=exax1单调递减；x（lna，+）时，g'（x）0，函数g（x）=exax1单调递增，g（x）在x=lna时为极小值点，g（lna）=aalna1，要使ex2ax2ax1恒成立，只需aalna10设h（a）=aalna1，则函数h（a）恒过（1，0），h'（a）=1lna1=lna，a（0，1），h'（a）0，函数h（a）单调递增；a（1，+），h'（a）0，函数h（a）单调递减，h（a）在a=1取得极大值0，要使函数h（a）0成立，只有在a=1时成立证明（）f'（x）=ex2x2，设m（x）=ex2x2，m'（x）=ex2，令m'（x）0，xln2m（x）在（，ln2）单调递减，在（ln2，+）单调递增，m（ln2）=2ln20，f'（x）=m（x）=ex2x2在x=ln2处取得极小值，可得f'（x）一定有2个零点，分别为f（x）的一个极大值点和一个极小值点，设x0为函数f（x）的极小值点，则x0（0，2），f'（x0）=0，=m（2）=e22×22=e260，在区间上存在一个极值点，最小极值点在内函数f（x）的极小值点的横坐标，函数f（x）的极小值，（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）设过原点O的直线与圆（x4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求点M的轨迹C的极坐标方程；（）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求OAB面积的最大值【解答】解：（）设M（，），则P（2，）又点P的轨迹的极坐标方程为=8cos2=8cos，化简，得点M的轨迹C的极坐标方程为：=4cos，kZ（）直线OA的直角坐标方程为点（2，0）到直线的距离为：，OAB面积的最大值选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，函数f（x）=|x+a|xb|（）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）1；（）若函数f（x）的最大值为2，求证：【解答】解：（）当a=1，b=1时，不等式f（x）1为|x+1|x1|1当x1时，因为不等式为x+1x+1=21，所以不等式成立，此时符合；符合要求的不等式的解集为x|x1；当1x1时，因为不等式为x+1+x1=2x1，所以，此时，符合不等式的解集为；当x1时，因为不等式为x1+x1=21不成立，解集为空集；综上所述，不等式f（x）1的解集为（）由绝对值三角不等式可得|x+a|xb|a+b|，a0，b0a+b=2，当且仅当a=b=1时，等号成立另解：（）因为a0，b0，所以a0b，所以函数f（x）=|x+a|xb|=|x（a）|xb|=，所以函数f（x）的图象是左右两条平行于x轴的射线和中间连结成的线段，所以函数的最大值等于a+b，所以a+b=2a+b=2，或者=，当且仅当a=2a，即a=1时，“等号”成立专心-专注-专业