2022-2023学年人教A版必修第一册 1.3 第1课时 并集和交集 学案.docx
1.3集合的基本运算第1课时并集和交集学习目标.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交 集,培养数学运算素养.1 .能使用Venn图或数轴表达集合的并集与交集的运算，培养直观想 象素养.知识赫理自主探究知识探究1 .并集定义:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合, 称为集合A与B的并集,记作AUB.符号语言表示为A U B=x|x£A,或x£B.图形语言表示为思考 1：设集合 A二1, 2, 3, 5, 8), B二3, 4, 5)，那么 A U B二.提示：1,2, 3,4, 5,8.2 .交集定义:一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合, 称为集合A与B的交集,记作AAB.符号语言表示为A n B=x|x£A,且x£B.图形语言表示为 解析:因为集合 A二-1, 0, -2,B=x|x2-x-6=0 = -2, 3，那么 AU B=-l,0, -2, 3.应选 D.3 .A= a, b,c,那么满足A U B二A的集合B有 个,满足A A C=C的集合C有一个.解析：因为A U B=A,所以BcA,所以集合B是集合A的子集,有2二8 (个), 又因为A nC=C,所以C UA,所以集合C是集合A的子集,有23=8 (个). 答案：8 8.集合 A= x 12<x<4, B= x | a<x<5,假设 A G B=x 13<x<4,那么a=,假设A U B=x 2<x<5,贝lj a的取值范围是.答案:3 a|2a<4备用例题例 1(多项选择题)集合 A二(x, y) |y=x-l,B=(x, y) |y=l-x,那么 A AB等于()A. 1,0 B. (1,0)C. (1,0) D. (x, y)吟解析:由;弋得d所以 AGB =(1,0)或(x,y)|；j.应选CD.:例2(多项选择题)满足集合MU a, b, c, d,且M G a, b, c = a, b,那么集 合M等于()A. a, b B. a, b, c)C. a, b, d D. a, b, c, d) 解析：因为集合 Me a, b, c, d,且 M G a, b, c = a, b,所以集合M中一定有元素a, b,不能有元素c,且元素d可能属于集合M,也可能不属于集合M,所以 M二a, b或 M= a, b, d.应选 AC.:例 3(多项选择题)设集合 M=x | (x-a) (x-3)=0, N= x | (x-4) (x-l)=O, 那么以下说法不正确的选项是()A.假设M U N有4个元素，贝lj M A NW 0B.假设MAN",贝lj MUN有4个元素C.假设 MUN =1,3, 4,贝 ijMANWoD.假设 MANWo,贝lj MUN=1, 3,4解析:因为集合 M=x I (x-a) (x-3)二0,所以M=3, a或M二.N=x I (x-4) (xT) =0 = 1,4,在A中,假设MUN有4个元素,那么aql, 3, 4,所以MGN=0,故A错误；在 B 中，假设 MCNW。，贝 Ua£l,4,所以MUN有3个元素，故B错误；在(：中，假设1加1,3,4,那么当a=3时,MAN=0,故C错误;在 D 中，假设 MANWo,那么 a£l,4,所以MUN二1,3, 4,故D正确.应选ABC.例4某班有学生55人,其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人, 还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，那么班级中既爱好体育又爱好音 乐的有 人.解析:设只爱好音乐的人数为x人,两者都爱好的人数为y人,只爱好 体育的人数为z人，作Venn图如图，那么x+y+z=55-4=51, x+y=34, y+z=43, 故 y=(34+43)-51=26.答案：26例5集合A二-4,2a-1,1, B=a-5, 1-a, 9,是否存在实数a,使得集合AU B中的元素个数为4个?假设存在,求出所有的实数a;假设不 存在，说明理由.解：由题意AUB中的元素有4个,说明集合A与B有2个元素相同，假设a-5=-4,解得a=l, A=-4, 1, 1,不符合元素的互异性；假设a-5=2a-l,解得a=-4, A= -4, -9, 16, B= -9, 5, 9, AUB元素有5个, 不合题意；假设a-5=a2,无解,不合题意；假设a二-4,解得 a=5, A=-4, 9, 25, B=0, -4, 9,符合题意；假设 l-a=2a-l,解得 a=|, A= -4,乡,B二4,19,不合题意;假设l-a=a2,无解,不合题意；假设 9=2a-l,解得 a=5, A=-4, 9, 25, B=0, -4, 9,符合题意；假设a2=9,解得a二±3,检验得不合题意.综上,符合题意的是a=5.思考 2 :集合 A二1, 2, 3, 4,集合 B= 3, 4, 5, 6，那么 A n B=提示：3, 4.3.并集、交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质AUB 三 BUAAAB 三 BGAAUA=AA nA二 AA U 0=AAPI 0=0AUBoA U B=BAUBoA n B=A思考3:集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,A U B, A n B的元素个数分别为s与t, m+n, s, t的大小关系是什么？提示：m+n2s2t.师生互动合作探究探究点一并集的运算例 1 (1)假设集合 A=x | x2=l ,B=x| x2-3x+2=0,那么集合 A U B 等于()A. 1 B. 1,2C. -1, 1,2 D. -1, 1,-2) 集合 A=x 12Wx<4, B= x | 3x-728-2x，那么 AUB 等于()A. x|3Wx4B. x|x>2C. x|2Wx<4D. x|2WxW3解析：(1)集合A二析1, 1,集合B=1, 2,那么集合AUB=-1, 1, 2.应选C.解不等式3x-7三8-2x,可得x三3,因此集合B二x|xN3.又集合 A= x 12Wx<4,如图，由图可得 A U B=x | x22.应选 B.11A 01234%Q方法总结两个集合的并集仍是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的， 它们的公共元素在并集中只能出现一次.求集合的并集时,假设集合不 是最简形式,需要先化简集合,而对于表示不等式解集的集合的运算, 可借助数轴解题.针对训练 1:(1)集合 A= 0, 2, 4 ,B=x|-l<x<2, x £ Z,那么 A U B 等 于()A. 0 B. 2, 4C. 0, 1,2,4 D. -1,0, 1,2,4)(2)集合 A=(x | -2Wx<4, B=x | -5xW3，贝)A U B 等于()A. x|-2WxW3 B. x|-5xW2C. x|-5<x<4 D. x|3Wx<4解析：(1)因为集合 A二(0, 2, 4 ,B=x|-Kx<2, x £ Z二0, 1,所以人1二0,1,2,4.应选C.因为 A=x | -2Wx<4, B= x | -5<xW3,所以 A U B=x | -5<x<4.应选 C.探究点二交集的运算例 2 (l)A=xeN|l<x<10,B=xeR|x2+x-6=0，那么图中阴影表示 的集合为(A. 2 B. 3C. -3, 2 D. -2, 3 (2)设集合 A =x | -1 Wx W2 ,B=x| OWx W4，那么 A G B 等于()A. x|0WxW2 B. x|lWxW2C. x|0WxW4 D. x|lWxW4解析： A=1,2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9, 10,B=-3, 2,又题图中阴影表示的集合是AGB,所以为.应选A.在数轴上表示出集合A与B,如下图，由交集的定义知,AnB=x 10WxW2.应选 A.D，I-2 -1 0 1 2 3 4xQ方法总结用列举法表示的数集在求交集时,可直接通过观察写出两个集合的所 有公共元素;用描述法表示的数集在求交集时,如果集合是无限集,且 直接观察不出或不易得出运算结果，那么应把两个集合在数轴上表示出 来,根据交集的定义写出结果.针对训练 2: (1)设集合 A= -2,-1, 0, 1 ,B=x|-2<x<2，那么 A n B 等于()A. -2,-1,0, 1 B. -1,0, 1C. 0, 1 D. 0, 1,2(2)假设集合 A=x|-l<x<5, B=x|xWl 或 x24,那么 AUB=, AAB=.解析：(D因为集合A=-2,-1,0,1),B=x|-2<x<2,所以 AGB=-1,0, 1.应选 B.借助数轴可知，-O -114 5%AUB=R, AAB=x|-l<xl ng4x<5.答案：(1)B (2)R x|-lxWl 或 4Wx5探究点三根据集合的交、并运算求参数类型一直接根据集合的交、并运算求参数例3集合A二x | xW2, B= x | x>a,分别在以下条件下,求实数 a的取值范围.(1) A AB=0; AUB二R;(3) leAAB.解：(1)如图(1)所示，只有a22时,AGB=0,所以实数a的取值范围是 a| a2.要使AUB二R,如图所示,只有aW2,所以实数a的取值范围是a | aW2.(3)因为 1&AAB, 1£A,所以1£B,如图所示，只有a<l,所以实数a的取值范围是a|a<l.1 d0 2a(1)(2) 1 a 12Q方法总结含参数的连续数集的交集、并集运算,应借助数轴的直观性求解,求解此类问题时,要注意参数端点值的取舍.针对训练 3: (1)集合 A=x|-2WxW3, B=x| 2aWxWa+2, a£R,假设APB=x|2WxW3,求实数a的值；(2) A=x | a_4<x<a+4, B= x | x<-l 或 x>5，假设 A U B=R,求实数 a 的取值范围.解：(1)由题意33解得a=l.由题意-r解得Ka<3.la + 4 > 5,类型二转化为集合的包含关系求参数:例 4集合A二x|0WxW4,集合B=x|m+l合xWl-m,且 AUB二A,求实数m的取值范围.解：因为AUB=A,所以BUA.因为 A=x10WxW4 Wo, 所以B二0或BW。.当 B=0时，有解得 m>0.当BW。时,用数轴表示集合A和B,如下图， _, 1 5 1 4 ' r 0 m+11-m4 ”因为BUA,+ 1 < 1-m,所以1 0 < m + 1,（1-m < 4,解得-1 WmWO,检验知m=-l, m=0符合题意.综上所得,m>0或TWmWO,即实数m的取值范围是m|niNT.Q方法总结在利用集合的交集、并集性质解题时,假设条件中出现AAB二A或AUB二B, 应转化为ACB,然后用集合间的关系解决问题,并注意A二。的情况,切 不可漏掉.针对训练 4: （1）（多项选择题）设 A=x|x2-x-2=0, B=x I ax-l=O, A Cl B=B, 那么实数a的值可以为（）1A. -B. 0 C,-1 D,- 22（2）集合 A二x |-2斐合 15, B= x | m-6x<2m-l, m£R,假设 A U B=A, 那么实数m的取值范围是.解析：（1）因为 A= x|x2-x-2=0 = -1, 2,当 a二0 时,B=0,满足 AAB=B,当 aWO 时,B=x|ax-l=O = -, A A B=B,所以 BUA, 所以B=-1或B二,所以工二-1,或工二2, aa解得a=-l或a=1, 乙所以实数a的值可以为应选ABC.由A U B=A得BcA,当 B二o 时，有贝!J mW-5;m > -5,m-6 > -2,解得 4<mW8,2m-l < 15,综上所述，实数m的取值范围是m|mW-5或4<mW8.答案： ABC (2) m|mW-5 或 4<mW8砂学海贝集合运算的综合运用典例探究：(多项选择题)设集合 A= x | x2- (a+2) x+2a=0, B=x | x2-5x+4=0,集合A U B中所有元素之和为7,那么实数a的值为()A. 0 B. 1 或 2 c. 3 D. 4解析：解方程 x2- (a+2) x+2a=0,得 x=2 或 x=a,那么 A= 2, a或 A= 2,解方程x-5x+4=0,得 x=l 或 x=4,那么 B=1, 4.当 a二0 时,A=0, 2, B=1, 4, A U B= 0, 1,2,4,其元素之和为0+l+2+4=7.当 a=l 时，A=1, 2, B=1, 4, A U B=1, 2, 4,其元素之和为 l+2+4=7.当 a二2 时,A=2, B= 口, 4, A U B=1, 2, 4）,其元素之和为 1+2+4=7.当 a=4 时,A=2,4,B=1,4,AUB=1, 2, 4）,其元素之和为1+2+4 = 7,那么实数a的取值集合为0, 1, 2, 4.应选ABD.应用探究：（多项选择题）集合A=1, 2, 3, 4, 5, B二3, 5,假设集合S满足ScA,SUB=A,那么满足条件的集合S可以是（）A. 1,2 B. 1,2,4C. 1,2, 3,4 D. 1,2, 4,5）解析：因为集合 A=1, 2, 3, 4, 5, B= 3, 5,集合S满足SUA,SUB二A,所以集合S应满足1, 2, 4 CSCA,所以 S 可以为1,2, 4, 1,2, 3, 4, 1,2,4, 5.应选BCD.当堂一测集合 A=x|xl,B=-1,0, 1,2,那么 AGB 等于（A ）A. 2 B. 1,2C. 0, 1,2 D. x|x2T解析：因为 A=x | x>l, B=-1, 0, 1, 2,所以 A A B=2.应选 A.2.设集合 A=-l,0,-2,B=lx?-x-6=0,那么 AUB 等于（D ）A. -2 B. -2, 3C. -1,0,-2 D. -1,0,-2, 3
