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函数可积性2022/10/221第1页，本讲稿共26页第五讲第五讲 函数可积性函数可积性 一、定积分的概念一、定积分的概念二、可积性条件与可积类二、可积性条件与可积类2022/10/222第2页，本讲稿共26页一、定积分的概念一、定积分的概念黎曼积分定义：黎曼积分定义：2022/10/223第3页，本讲稿共26页记作记作:积分上限积分上限积分下限积分下限称为称为积分区间积分区间定积分是定积分是:积分和式的极限积分和式的极限2022/10/224第4页，本讲稿共26页 例如例如 曲边梯形的面积曲边梯形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程2022/10/225第5页，本讲稿共26页证证2022/10/226第6页，本讲稿共26页解解问问：这这个个做做法法对对不不对对？关关键键：定定积积分分的的存存在在性性2022/10/227第7页，本讲稿共26页 定积分作为黎曼和式的极限，其定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想计算这个和式构造十分复杂，因此想计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可的极限来研究定积分，实际上是不可行的行的.另一途径是先研究其存在性，另一途径是先研究其存在性，首先是简化和式结构，把首先是简化和式结构，把“两个任意两个任意”(任分任取任分任取)简化为简化为“一个任意一个任意”(任分任分)这就是达布上和与下和的来由。这就是达布上和与下和的来由。三、可积性条件与可积类三、可积性条件与可积类2022/10/228第8页，本讲稿共26页1.达布上和与达布下和达布上和与达布下和(一一)可积条件可积条件2022/10/229第9页，本讲稿共26页定义：定义：（达布上和与下和）（达布上和与下和）达布上和达布上和（大和）（大和）达布下和达布下和（小和）（小和）注意注意1 1 上和、下和是被划分唯一确定的上和、下和是被划分唯一确定的 这是上和、下和与积分和的主要区别这是上和、下和与积分和的主要区别2022/10/2210第10页，本讲稿共26页注意注意2 对同一个分法，上和与下和的关系是对同一个分法，上和与下和的关系是:2.2.达布上和、下和的性质达布上和、下和的性质性质性质1：2022/10/2211第11页，本讲稿共26页证证因此因此即即2022/10/2212第12页，本讲稿共26页性质性质2：（分点增多时，（分点增多时，小和不减，大和不增小和不减，大和不增）其中其中2022/10/2213第13页，本讲稿共26页证证只须证明增加一个新分点时，性质成立只须证明增加一个新分点时，性质成立2022/10/2214第14页，本讲稿共26页2022/10/2215第15页，本讲稿共26页性质性质3：（下和总不超过上和）（下和总不超过上和）证证根据性质根据性质2，有，有又对划分又对划分 有有2022/10/2216第16页，本讲稿共26页性质性质3说明说明:全体上和所构成的数集与全体下全体上和所构成的数集与全体下 和所构成的数集，都是有界集。和所构成的数集，都是有界集。任何一个任何一个下和下和都是全体都是全体上和上和所构成的数集的一个所构成的数集的一个下界下界；任何一个；任何一个上和上和都是全体都是全体下和下和所构成的数集的所构成的数集的一个一个上界上界。下积分下积分上积分上积分性质性质4：（下积分不超过上积分）（下积分不超过上积分）2022/10/2217第17页，本讲稿共26页性质性质5：（达布定理）（达布定理）对于上、下积分，有对于上、下积分，有 证证192022/10/2218第18页，本讲稿共26页根据性质根据性质2，2022/10/2219第19页，本讲稿共26页（三）（三）可积性条件可积性条件定理定理1：证证必要性必要性2022/10/2220第20页，本讲稿共26页2022/10/2221第21页，本讲稿共26页再证充分性再证充分性存在，且存在，且2022/10/2222第22页，本讲稿共26页定理定理3：证明思路：反证法。假设证明思路：反证法。假设f(x)在在a,b上无界，上无界，则至少在一个子区间上无界，所以黎曼则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾和式无界，与和式极限存在相矛盾.定理定理2：其中其中振幅2022/10/2223第23页，本讲稿共26页二、可积函数类二、可积函数类定理定理1：定理定理3：定理定理2：2022/10/2224第24页，本讲稿共26页定理定理 1 的证明的证明:2022/10/2225第25页，本讲稿共26页定理定理 3 的证明的证明:2022/10/2226第26页，本讲稿共26页