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数值分析三次样条插值第1页，本讲稿共18页华长生制作2高次插值出现龙格现象高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值（牛顿插值）插值）Hermite插值插值分段分段插值插值但分段线性插值在节点处不一定光滑但分段线性插值在节点处不一定光滑分段分段Hermite插值插值但但导数值导数值不容易提取（找到）不容易提取（找到）三次样条插值（先由三次样条插值（先由函数值函数值确定确定导数值导数值，再由，再由分段分段Hermite插值解决问题插值解决问题）举例：举例：1 1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2 2 木样条的来源。木样条的来源。背景背景第2页，本讲稿共18页华长生制作3什么是样条:样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数一、三次样条插值函数定义1.第3页，本讲稿共18页华长生制作4-(1)第4页，本讲稿共18页华长生制作5二、三次样条插值多项式-(2)第5页，本讲稿共18页华长生制作6-(3)-(4)第6页，本讲稿共18页华长生制作7少两个条件并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:第一类(转角)边界条件:第二类(弯矩)边界条件第三类(周期)边界条件-(5)-(6)-(7)第7页，本讲稿共18页华长生制作8加上任何一类边界条件(至少两个)后一般使用第一、二类边界条件,即-(8)或常用第二类边界条件第8页，本讲稿共18页华长生制作92、三弯矩构造法三弯矩构造法三次样条插值函数三次样条插值函数 可以有多种表达式，有时用二阶导数值可以有多种表达式，有时用二阶导数值 表示时，使用更方便。表示时，使用更方便。在力学上解释在力学上解释为细梁在为细梁在 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用用 表示表示 的算法为的算法为三弯矩算法三弯矩算法。对对 积分两次积分两次,并利用插值条件定出积分常数并利用插值条件定出积分常数,可以得到可以得到 由于由于 在区间在区间 上是三次多项式，故上是三次多项式，故 在在 上是线性函数，可表示为上是线性函数，可表示为其中其中第9页，本讲稿共18页华长生制作10 这是三次样条插值函数的表达式，当求出这是三次样条插值函数的表达式，当求出 后后,就由上式完全确定就由上式完全确定.对对 求导得求导得由此可得由此可得当当 时时,的表达式可得的表达式可得,因此有因此有 利用条件利用条件 得得第10页，本讲稿共18页华长生制作11其中其中 上述方程组是关于方程组是关于 的方程组的方程组,有有 个未知数个未知数,但只有但只有 个方程个方程.可由前可由前面给出的任一种边界条件补充两个方程。面给出的任一种边界条件补充两个方程。对于转角边界条件，可以导出两个方程对于转角边界条件，可以导出两个方程第11页，本讲稿共18页华长生制作12这样可解出这样可解出 ，从而得，从而得 的表达式的表达式,若令若令 则方程组可以写成矩阵形式则方程组可以写成矩阵形式对于弯矩边界条件对于弯矩边界条件,直接得直接得然后再求解矩阵方程。然后再求解矩阵方程。第12页，本讲稿共18页华长生制作13对于周期性边界条件，有对于周期性边界条件，有可解出可解出 ，方程组的矩阵形式为，方程组的矩阵形式为其中其中第13页，本讲稿共18页华长生制作14例1.对于给定的节点及函数值解:第14页，本讲稿共18页华长生制作15得方程组第15页，本讲稿共18页华长生制作16第16页，本讲稿共18页华长生制作17定理.设 在a,b上连续，s(x)为满足转角边界条件（或弯矩边界条件）的三次样条插值函数，则对任意 有 最后给出样条插值函数的收敛性分析第17页，本讲稿共18页华长生制作18第18页，本讲稿共18页