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数学物理方程格林函数第1页，本讲稿共17页b.有界空间边界上可能出现感应电荷处静电场是源电荷与感应电荷的电势之和。感应电荷是源电荷的结果。计算变成由计算感应电荷，然后是否能一次解决第2页，本讲稿共17页定解通解边界条件求通解积分定解积分边界条件 （格林函数格林函数法）2.格林公式第一格林公式：区域 T，边界T设 和 在 T 中具有连续二阶导数，在 上有连续一阶导数。由高斯定理感应电荷 是边界边界问题第3页，本讲稿共17页第二格林公式：交换 和 ：与上式相减即法向导数第4页，本讲稿共17页3.边值问题泊松方程边界条件定义在第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题)泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题)泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题第5页，本讲稿共17页4.泊松方程的基本积分公式基本积分公式点源泊松方程单位负电荷在奇异，不能化为面积分。在 T 中挖掉半径 ，在 的小球 。小球边界 。边界条件无法带入积分之中！第6页，本讲稿共17页在 ，。和连续。第7页，本讲稿共17页这样，边界条件进入积分之中！泊松方程的基本积分公式。基本积分公式。解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分，由源项对区域的积分（右第一项），和边值得积分（右第二项）给出。第8页，本讲稿共17页格林函数：将冲量定理法扩展到空间坐标对两端固定的弦问题变成第9页，本讲稿共17页5.边值问题的格林函数格林函数还需知道点源泊松方程度解的边界条件。第一边值问题(狄里希利问题)第三边值问题第一边值问题格林函数第三边值问题格林函数第10页，本讲稿共17页在，在物理上是不合理的。考虑它是偶函数，具有同一个解，可作变换：第11页，本讲稿共17页12.2电像法求格林函数第一边值问题格林函数导体球内有一个点电荷，导体接地。求球内电势。电荷的存在，在导体上感应了电荷。球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示第12页，本讲稿共17页如右图，当导体外 M1 处有电荷 时，镜像电荷将在球内M0 处。现在，问题反过来，在 r0 处有电荷-0，求r1，和镜像电荷。第13页，本讲稿共17页例1球内第一边值问题在球面上第14页，本讲稿共17页第15页，本讲稿共17页例2半空间第一边值问题解按电磁学思维模式，应当引入镜像电荷表示平面（z=0）上的感应电荷。计算格林函数：镜像电荷的作用为使平面（z=0）上的电势为零。显然，这个电荷位于相对于平面（z=0）对称的几何点，且有相反的电量。第16页，本讲稿共17页法线方向与z轴方向相反第17页，本讲稿共17页