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数据的处理最小二乘法第1页，本讲稿共26页误误 差差系统误差：由一些固定的原因所产生，其大小、正负有重现性，系统误差：由一些固定的原因所产生，其大小、正负有重现性，也叫可测误差。也叫可测误差。方法误差方法误差：分析方法本身所造成的误差。分析方法本身所造成的误差。随机误差随机误差：由偶然因素引起的误差，所以又称偶然误差。如，由偶然因素引起的误差，所以又称偶然误差。如，同一坩埚称重同一坩埚称重(同一天平，砝码同一天平，砝码)，得到以下克数：，得到以下克数：29.3465，29.3463，29.3464，29.3466过失误差过失误差：由操作人员的主观原因、由操作人员的主观原因、操作不当操作不当造成的误差。造成的误差。第2页，本讲稿共26页系统误差的性质可归纳为如下三点：系统误差的性质可归纳为如下三点：重现性重现性单向性单向性数值基本恒定数值基本恒定系统误差可以校正。系统误差可以校正。可用一定的方法消除。可用一定的方法消除。第3页，本讲稿共26页偶然误差的性质：偶然误差的性质：误差的大小、正负都是不固定的。误差的大小、正负都是不固定的。偶然误差偶然误差不可测误差。不可测误差。在在消除系统误差消除系统误差后，在同样条件下多次测定，可发后，在同样条件下多次测定，可发现偶然误差服从现偶然误差服从统计规律统计规律。第4页，本讲稿共26页偶然误差（随机误差）原因偶然误差（随机误差）原因：由难以控制、无法避免的因素（环境的温度，湿度，由难以控制、无法避免的因素（环境的温度，湿度，气压的微小波动，仪器性能的微小变化）所引起的。气压的微小波动，仪器性能的微小变化）所引起的。故又称不可测误差。故又称不可测误差。第5页，本讲稿共26页误差的产生和消除误差的产生和消除方法误差：（比较严重的）原因：方法误差：（比较严重的）原因：分析与操作方法本身分析与操作方法本身造成的。造成的。例：重量分析中的沉淀的溶解或吸附杂质。例：重量分析中的沉淀的溶解或吸附杂质。仪器的操作不当等。仪器的操作不当等。第6页，本讲稿共26页消除方法：消除方法：作作对照试验对照试验，用已知的标准，用已知的标准试样进行多次测定。试样进行多次测定。通过通过校正系数校正系数校正试样的分析结果。校正试样的分析结果。第7页，本讲稿共26页系统误差系统误差 可校正可校正偶然误差偶然误差 可控制可控制过失误差过失误差 可避免可避免第8页，本讲稿共26页 实验必然要采集大量数据，实验人员需要对实验数据进行记录、整理、计算与分析，从而寻找出测量对象的内在规律，正确地给出实验结果。所以说，实验数据处理是实验工作不可缺少的一部分。下面介绍实验数据处理常用的四种方法。第9页，本讲稿共26页1、列表法、列表法 列列表表法法没没有有统统一一的的格格式式，但但在在设设计计表表格格时时要要求求能能充充分分反反映映上上述述优优点点，初初学学者要注意以下各点：者要注意以下各点：(1)各栏目都要注明名称和单位。各栏目都要注明名称和单位。(2)栏栏目目的的顺顺序序应应充充分分注注意意数数据据间间的的联联系系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理。和计算顺序，力求简明、齐全、有条理。(3)反映测量值函数关系的数据表格，应反映测量值函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排按自变量由小到大或由大到小的顺序排列。列。第10页，本讲稿共26页2、图解法、图解法 （1）作图必须用坐标纸）作图必须用坐标纸：当决定了作图的参量以后，根据情况选择用直角坐标纸(即毫米方格纸)，对数坐标纸，半对数坐标纸或其它坐标纸。（2）坐标比例的选取与标度）坐标比例的选取与标度：作图时通常以自变量作横坐标（x轴），以因变量作纵坐标(y轴)，并标明坐标轴所代表的物理量(或相应的符号)和单位。坐标比例的选取，原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的。坐标比例选得不适当时，若过小会损害数据的准确度；若过大会夸大数据的准确度，并且使实验点过于分散，对确定图线的位置造成困难。第11页，本讲稿共26页 （3）数据点的标出）数据点的标出：实验数据点用“+”符号标出，符号的交点正是数据点的位置。同一张图上如有几条实验曲线，各条曲线的数据点可用不同的符号(如，等)标出，以示区别。（4）曲线的描绘）曲线的描绘：由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明直尺或三角板、曲线板等连接。要尽可能使所描绘的曲线通过较多的测量点。第12页，本讲稿共26页 （5）注解和说明）注解和说明：在图纸上要写明图图线线的的名名称称、作作图图者者姓姓名名、日期以及必要的简单说明(如实验条件：温度、压力等)。直线图解法直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。其步骤如下：选点 求斜率 求截距 第13页，本讲稿共26页1.标明坐标轴：标明坐标轴：用粗实线画坐标轴，用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位轴的名称或符号、单位,再再按顺序标出坐标轴整分格按顺序标出坐标轴整分格上的量值。上的量值。P(KN)f(mm)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.003.连成图线：连成图线：用直尺、曲线板等把用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线过每个实验点，应使图线线正穿过实验点时可以在线正穿过实验点时可以在两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图点处断开。点处断开。2.标实验点标实验点：实验点可用实验点可用“”、“”、“”等符号标等符号标出（同一坐标系下不同曲出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号线用不同的符号）。）。第14页，本讲稿共26页4.标出图线特征：标出图线特征：在图上空白位置标明在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻线可给出被测电阻R大小：大小：从从所绘所绘直线直线上读取两点上读取两点 A、B 的坐标就可求出的坐标就可求出 R 值。值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线5.标出图名：标出图名：在图线下方或空白位在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些置写出图线的名称及某些必要的说明。必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：至此一张图才算完成至此一张图才算完成第15页，本讲稿共26页不当图例展示不当图例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图图图1曲线太粗，曲线太粗，不均匀，不不均匀，不光滑光滑。应该用应该用直尺、曲线板直尺、曲线板等工具把实验等工具把实验点连成光滑、点连成光滑、均匀的细实线。均匀的细实线。第16页，本讲稿共26页n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图改正为改正为：第17页，本讲稿共26页图图2I(mA)U(V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取不横轴坐标分度选取不当。当。横轴以横轴以3 cm 代表代表1 V，使作图和读图都很困难。实使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便既满足有效数字的要求又便于作图和读图，于作图和读图，一般以一般以1 mm 代表的量值是代表的量值是10的的整数次幂或是其整数次幂或是其2倍或倍或5倍。倍。第18页，本讲稿共26页I(mA)U(V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线改正为：改正为：第19页，本讲稿共26页定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用图纸使用不当不当。实。实际作图时，际作图时，坐标原点的坐标原点的读数可以不读数可以不从零开始从零开始。第20页，本讲稿共26页定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正为：改正为：第21页，本讲稿共26页3、逐差法、逐差法 当自变量与因变量之间成线性关系，自变量按等间隔变化，且自变量的误差远小于因变量的误差时，可使用逐差法计算因变量变化的平均值。它既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后两组，将对应项分别相减，然后再求平均值。第22页，本讲稿共26页4、最小二乘法（线性回归）、最小二乘法（线性回归）作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但在图线的绘制上往往带有较大的任意性，所得的结果也常常因人而异，而且很难对它作进一步的误差分析，为了克服这些缺点，在数理统计中研究了直线拟合问题(或称一元线性回归问题)，常用一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线型的函数可以通过适当的数学变换而改写成直线方程，这一方法也适用于某些曲线型的规律。第23页，本讲稿共26页在很多物理实验中，在很多物理实验中，x和和y这两个物理量这两个物理量中总有一个物理量的测量精度要比另一个中总有一个物理量的测量精度要比另一个高很多，其测量误差可以忽略。通常把它高很多，其测量误差可以忽略。通常把它作为自变量作为自变量x，其测量值，其测量值xi可以看作是准确可以看作是准确值。对应于某个值。对应于某个xi值，另一个值，另一个y的测量值的测量值yi是是随机变量。设随机变量。设x和和y的函数关系由理论公式的函数关系由理论公式 y=(x;c1,c2,cm)给出，其中给出，其中c1,c2,cm是需要通过拟合确定是需要通过拟合确定的参数。的参数。4、数据的直线拟合数据的直线拟合(最小二乘法最小二乘法)第24页，本讲稿共26页4、数据的直线拟合数据的直线拟合(最小二乘法最小二乘法)用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。用最小二乘法进行直线拟合优于作图法。最小二乘法的理论基础、最佳经验公式最小二乘法的理论基础、最佳经验公式 y=a+bx 中中a、b的求解的求解:通过实验，等精度地测得一组实验数据（通过实验，等精度地测得一组实验数据（xi，yi，i=1，2n），），设设此此两两物物理理量量 x、y 满满足足线线性性关关系系，且且假假定定实实验验误误差差主主要要出出现现在在yi上上，设设拟拟合合直直线线公公式式为为 y=f(x)=a+bx，当当所所测测各各yi值值与与拟拟合合直直线线上上各各估估计计值值 f(xi)=a+bxi 之之间偏差的平方和最小间偏差的平方和最小，即，即 时，所得拟合公式即为时，所得拟合公式即为最佳经验公式最佳经验公式。据此有据此有解得解得第25页，本讲稿共26页补充：补充：数据的直线拟合数据的直线拟合(最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法)相关系数相关系数r：最小二乘法处理数据除给出最小二乘法处理数据除给出 a、b 外，还应给出相关系数外，还应给出相关系数 r，r 定义为定义为 r 表表示示两两变变量量之之间间的的函函数数关关系系与与线线性性的的符符合合程程度度，r-1，1。|r|1，x、y 间线性关系好，间线性关系好，|r|0，x、y 间无线性关系，拟合无意义。间无线性关系，拟合无意义。物理实验中一般要求物理实验中一般要求 r 绝对值达到绝对值达到0.999以上以上(3个个9以上以上)。其中其中第26页，本讲稿共26页