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数量方法随机变量第1页，本讲稿共32页第七单元第七单元 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量概述随机变量概述 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量第2页，本讲稿共32页教学重点教学重点1随机变量的概念2离散型与连续型随机变量的数字特征3二项分布、泊松分布、正态分布 第3页，本讲稿共32页教学难点教学难点1分布函数概念的理解2密度函数概念的理解3一般正态分布的概率计算第4页，本讲稿共32页例例 1 在在10件同类产品中，有件同类产品中，有3件次品，现件次品，现任取任取2件，用件，用X表示表示“2件中的次品数件中的次品数”，X的取值有哪些？对应的概率是多少的取值有哪些？对应的概率是多少?例例 2 “测试电子元件寿命测试电子元件寿命”试验，用试验，用Y表示表示 元件寿命元件寿命(小时小时)，Y的取值如何的取值如何?一、随机变量的概念一、随机变量的概念第5页，本讲稿共32页一个变量若满足：一个变量若满足：（1）取值的）取值的随机性随机性。即取到哪一个值事前。即取到哪一个值事前不知道，要由随机试验的结果而定；不知道，要由随机试验的结果而定；（2）取值的）取值的对应性对应性。即取到的每一个值都。即取到的每一个值都 对应于某一随机现象；对应于某一随机现象；（3）概率的）概率的确定性确定性。即它取某一个值或在。即它取某一个值或在 某一区间内取值的概率是确定的。某一区间内取值的概率是确定的。称这样的变量为称这样的变量为随机变量随机变量，通常用大写，通常用大写 字母字母 X、Y、Z表示。表示。第6页，本讲稿共32页例例 1中，中，“两件产品中没有次品两件产品中没有次品”事件事件 可用可用 X=0表示表示 “两件产品中至少一件次品两件产品中至少一件次品”事件事件 可用可用 X1表示表示例例 2中，中，“元件寿命至少元件寿命至少1000小时小时”事件事件 可用可用 Y 1000表示表示 “元件寿命不足元件寿命不足500小时小时”事件事件 可用可用 Y500表示表示为什么要引入随机变量？为什么要引入随机变量？可使随机事件数量化，便于数学处理，可使随机事件数量化，便于数学处理，从而更深入地研究随机现象。从而更深入地研究随机现象。第7页，本讲稿共32页上述两例，随机现象较容易用数量来描述，上述两例，随机现象较容易用数量来描述，但在实际中常遇到一些似乎与数量无关的但在实际中常遇到一些似乎与数量无关的随机现象，如何用随机变量来描述它们？随机现象，如何用随机变量来描述它们？例例3 抛一枚均匀硬币，试验的可能结果两个，抛一枚均匀硬币，试验的可能结果两个，即即“正面向上正面向上”与与“正面向下正面向下”。通常定义随机变量通常定义随机变量 1 正面向上正面向上 P(X=1)=0.5X=且且 0 正面向下正面向下 P(X=0)=0.5第8页，本讲稿共32页例例4 一批产品的合格率为一批产品的合格率为P，随机抽一个检验，随机抽一个检验，可能结果为可能结果为“抽到合格品抽到合格品”与与“抽到废品抽到废品”。通常定义随机变量通常定义随机变量 1 抽到合格品抽到合格品 P(Y=1)=PY=且且 0 抽到废品抽到废品 P(Y=0)=1-P例例 5 一批产品的一、二、三级品率为一批产品的一、二、三级品率为50%、35%、15%，随机抽取一个，可能结果，随机抽取一个，可能结果“抽到一级品抽到一级品”“抽到二级品抽到二级品”、“抽到三级品抽到三级品”。可定义可定义 1 抽到一级品抽到一级品 P(Z=1)=50%Z=2 抽到二级品抽到二级品 且且 P(Z=2)=35%3 抽到三级品抽到三级品 P(Z=3)=15%第9页，本讲稿共32页二、随机变量的种类二、随机变量的种类按随机变量的取值不同，可分为按随机变量的取值不同，可分为离散型随机变量离散型随机变量：随机变量只取有限个或：随机变量只取有限个或 可列个可能值。可列个可能值。连续型随机变量连续型随机变量：在某一个或若干个有限或：在某一个或若干个有限或 无限区间取值的随机变量。无限区间取值的随机变量。第10页，本讲稿共32页 设离散型随机变量设离散型随机变量X所有可能取值为所有可能取值为 x1，x2，xn，其相应的概率分别为，其相应的概率分别为 p1，p2，pn 记作记作 P(X=xi)=pi，（i=1，2，n）称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的概率分布，的概率分布，简称分布。简称分布。也可表示为：也可表示为：p1 p2 Pi x1 x2 X一、离散型随机变量的分布一、离散型随机变量的分布第11页，本讲稿共32页概率分布的性质概率分布的性质 1）0pi1 i=1，2，2）pi=1例例 写出上一节例写出上一节例1、3、4、5的概率分布的概率分布第12页，本讲稿共32页二、离散型随机变量的数学期望二、离散型随机变量的数学期望 离散型变量离散型变量X的取值为的取值为x1,x2xi 相应的概率为相应的概率为p1,p2pi,xi与与pi的乘积的乘积 之和为之和为X的数学期望，简称期望或均值。的数学期望，简称期望或均值。记作记作 E(x)或或 E(x)=xi pi例例 （教材（教材P149例例3、4）第13页，本讲稿共32页数学期望是对随机变量集中趋势的度量，数学期望是对随机变量集中趋势的度量，对其离散程度的度量用方差。对其离散程度的度量用方差。离散型变量离散型变量X离差的平方的数学期望离差的平方的数学期望 称为称为X的方差。记作的方差。记作 D(X)或或 方差的算术平方根为均方差或标准差，方差的算术平方根为均方差或标准差，用用 表示。表示。例例 （教材（教材P151 例例6、7）三、离散型随机变量的方差三、离散型随机变量的方差第14页，本讲稿共32页四、常见的离散型随机变量四、常见的离散型随机变量一个试验如果结果只有两个，都可以一个试验如果结果只有两个，都可以用用两点分布来描述。两点分布来描述。（一）（一）两点分布两点分布 1、定义、定义 随机变量随机变量X只可能取只可能取0，1两个值，两个值，概率分布为：概率分布为：P(X=1)=p，P(X=0)=1p (0p1)或或 （k=0,1 0p1）称称X服从两点分布。记为服从两点分布。记为 XB(1，p)第15页，本讲稿共32页2、两点分布的数学期望与方差、两点分布的数学期望与方差 E(X)=p D(X)=(1 p)p例例（教材（教材P152 例例8）第16页，本讲稿共32页某射手射击一次，观察他中靶与脱靶；某射手射击一次，观察他中靶与脱靶；抛硬币一次，观察其正面朝上、朝下；抛硬币一次，观察其正面朝上、朝下；从一批产品中取一件，观察其正品、废品从一批产品中取一件，观察其正品、废品;以上试验都可用以上试验都可用两点分布两点分布来描述。来描述。某射手射击多次；某射手射击多次；连续抛硬币多次；连续抛硬币多次；从一批产品中取从一批产品中取n件产品；件产品；这些试验还能用两点分布描述吗？这些试验还能用两点分布描述吗？随机试验只有两个可能结果随机试验只有两个可能结果A 或或 ，且且 P(A)=p，P()=1p=q 这种试验称为这种试验称为Bernoulli试验；试验；试验试验独立重复独立重复n次次，称，称n重重Bernoulli试验试验。第17页，本讲稿共32页（二）（二）二项分布二项分布 令令X为为n重重Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的发生的 次数，次数，X的所有可能取值为的所有可能取值为0、1、2n X 取值取值 k 的概率为的概率为 (K=0、1、2 n)其中其中 P(A)=p，P()=1p=q 0p0)的泊松分布。的泊松分布。记作记作 XP()。泊松分布用来描述指定时间内某一事件泊松分布用来描述指定时间内某一事件发生次数的分布。发生次数的分布。如：如：某市早晚高峰期内通过某路口的车辆数分布；某市早晚高峰期内通过某路口的车辆数分布；某市除夕日被爆竹炸伤人数的分布；某市除夕日被爆竹炸伤人数的分布；某景点十一黄金周接到游客投诉电话次数分布。某景点十一黄金周接到游客投诉电话次数分布。第20页，本讲稿共32页2、泊松分布的数学期望与方差、泊松分布的数学期望与方差 E(X)=D(X)=例例 （教材（教材P153 例例10）第21页，本讲稿共32页一、概率密度函数一、概率密度函数 X为连续型随机变量，为连续型随机变量，x为任一实数，为任一实数，若函数若函数 (x)表示变量表示变量X的分布情况，的分布情况，即即X取值的规律，称取值的规律，称 (x)为概率密度为概率密度 函数，或称概率分布。函数，或称概率分布。性质性质 对任意实数对任意实数x，(x)0 对于任意对于任意x1x2，X在其区间（在其区间（x1，x2）的概率的概率P(x1Xx2)是函数是函数 (x)的曲线的曲线 下从下从x1到到x2的面积；的面积；(x)曲线与曲线与x轴构成的面积为轴构成的面积为1，即，即 P(X)=1。第22页，本讲稿共32页二、常见的连续型随机变量二、常见的连续型随机变量 （一）（一）均匀分布（一致分布）均匀分布（一致分布）若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为 0 其他其他 则称则称X服从服从 a，b 上的均匀分布上的均匀分布 记作记作 XU a，b 第23页，本讲稿共32页如果如果X在在a，b上服从均匀分布，则对上服从均匀分布，则对任意满足任意满足 的的a，b有有X 取值于取值于a，b中任一小区间的概率与中任一小区间的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间该小区间的长度成正比，而与该小区间的具体位置无关。的具体位置无关。例例 （教材（教材P158 例例3）第24页，本讲稿共32页 均匀分布的数学期望与方差均匀分布的数学期望与方差 在区间在区间a，b上均匀分布变量上均匀分布变量X的数学的数学 期望和方差为：期望和方差为：第25页，本讲稿共32页（二）（二）正态分布正态分布 1、正态分布正态分布 若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为 、是参数是参数（0）则称则称X服从参数为服从参数为和和 的正态分布的正态分布,记作记作 XN(，)式中的式中的是正态随机变量是正态随机变量X的均值的均值,即即E(X)=式中的式中的 是正态随机变量是正态随机变量X的方差的方差,即即D(X)=第26页，本讲稿共32页关于密度函数的图形关于密度函数的图形1)图图形是关于形是关于 x=对对称的称的钟钟形曲形曲线线，且峰且峰值值在在 x=处取得。处取得。2)方差方差 越小，曲线峰值越大，曲线越小，曲线峰值越大，曲线 越狭长；方差越大，曲线越平坦。越狭长；方差越大，曲线越平坦。3)当当x时，时，0，即，即 以以x轴轴 为渐近线。为渐近线。第27页，本讲稿共32页2、标准正态分布、标准正态分布 若正态分布若正态分布 N(，)中的参数中的参数 =0，=1时，其分布时，其分布 N(0，1)称为标准正态分布。称为标准正态分布。用用 表示标准正态分布的密度函数表示标准正态分布的密度函数 标准正态分布密度函数图形关于纵轴对称标准正态分布密度函数图形关于纵轴对称第28页，本讲稿共32页标准正态分布的概率可通过查表求得标准正态分布的概率可通过查表求得表中能查得的概率为表中能查得的概率为 即即 如何求如何求第29页，本讲稿共32页3、一般正态分布转换为标准正态分布、一般正态分布转换为标准正态分布 即服从一般正态分布的变量通过上述即服从一般正态分布的变量通过上述 转换可以变换成为标准正态分布。转换可以变换成为标准正态分布。第30页，本讲稿共32页例例 （教材（教材P161 例例5）例例 （教材（教材P161 例例6）例例 （教材（教材P161 例例7）第31页，本讲稿共32页 X为为n重重Bernoulli试验中事件试验中事件A发生发生 的次数，的次数，p为事件为事件A发生的概率。当发生的概率。当 n足够大且足够大且p不很靠近不很靠近0、1时，可用时，可用 正态分布近似描述这个二项分布。正态分布近似描述这个二项分布。Y为正态分布变量为正态分布变量,其均值和标准差其均值和标准差 与二项分布变量与二项分布变量X相同。即相同。即4、用正态分布逼近二项分布、用正态分布逼近二项分布例例 抛一枚硬币抛一枚硬币100次，正面向上在次，正面向上在45次次 与与55次间的概率为多少。次间的概率为多少。第32页，本讲稿共32页