人教版高中数学《三角函数》全部教案.pdf

三角函数三角函数第一教时第一教时教材：教材：角的概念的推广目的：目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。过程：过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3“正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。记法：角或可以简记成4由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1 角有正负之分如：如：=210=210 =150150 =660660 2 角可以任意大实例：体操动作：旋转 2 周（3602=720）3 周（3603=1080）3 还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：例如：3030 390390 330330 是第象限角是第象限角300300 6060 是第象是第象限角限角585585 11801180 是第象限角是第象限角 20002000 是第象限角是第象限角等等四、关于终边相同的角1观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同2终边相同的角都可以表示成一个 0到 360的角与k(k Z)个周角的和390=30+360(k 1)330=30360(k 1)30=30+0360(k 0)1470=30+4360(k 4)1770=305360(k 5)3所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合S|k 360,k Z即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和4例一（P5 略）五、小结：1 角的概念的推广用“旋转”定义角角的范围的扩大2“象限角”与“终边相同的角”第二教时第二教时教材：教材：弧度制目的：目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。过程：过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制角度制的定义。二、提出课题：弧度制另一种度量角的单位制它的单位是 rad 读作弧度BCro1radAol=2r2radrA定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad1正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0l（l为弧长，r为半径）r3用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）2角的弧度数的绝对值用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算抓住：360=2rad180=rad 1=180rad 0.01745rad1801rad 57.30 57 18例一把6730化成弧度131解：解：6730 676730rad 67rad1802823例二把rad化成度533解：解：rad 18010855注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”中学数学用表进行；2今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：3 表示 3rad sin表示rad 角的正弦 3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。例三用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合2终边在y轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在x轴上的角的集合S1|k,k Z2终边在y轴上的角的集合S2|k,k Z2k,k Z3终边在坐标轴上的角的集合S3|2第三教时第三教时教材：教材：弧度制（续）目的：目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。过程：过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。口答 教学与测试 P101-102 练习题 15并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲 P101 例二lnr二、由公式：l r比相应的公式l 简单r180弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积例一（课本 P10 例三）利用弧度制证明扇形面积公式S 形弧长，R是圆的半径。证：证：如图：圆心角为 1rad 的扇形面积为：R弧长为l的扇形圆心角为oSl1lR其中l是扇21R22lradRS 比较这与扇形面积公式S扇l11R2lRR 22nR2要简单360例二教学与测试P101 例一直径为 20cm 的圆中，求下列各圆心所对4的弧长1653440解：解：r 10cm：l r 10(cm)3311：165165(rad)rad180121155l 10(cm)126例三如图，已知扇形AOB的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。解：解：设扇形的半径为 r，弧长为l，则有ABor l 6r 212l 扇形的面积S rl 2(cm)212l 2r例四计算sintan1.54解：解：4 45sin4 sin45221.5rad 57.301.5 85.95 8557tan1.5 tan855714.12例五将下列各角化成 0 到2的角加上2k(k Z)的形式19315319解：解：633 24例六求图中公路弯道处弧 AB 的长l（精确到 1m）图中长度单位为：m解：解：60315 4536060R=45345 3.1415 47(m)3三、练习：P116、7 教学与测试P102练习 6四、作业：课本 P11-12练习 8、9、10P12-13习题 4.2514教学与测试P1027、8 及思考题l R 第四教时第四教时教材：教材：任意角的三角函数（定义）目的：目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解 角与=2k+(kZ)的同名三角函数值相等的道理。过程：过程：一、提出课题：讲解定义：1设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离r 2比值x y22x2 y2 0（图示见 P13 略）yy叫做的正弦记作：sinrrx比值叫做的余弦记作：cosry比值叫做的正切记作：tanxxryx比值比值xx叫做的余切记作：cotyyrr叫做的正割记作：secxxrr叫做的余割记作：cscyy比值注意突出几个问题：角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明）三角函数是以“比值”为函数值的函数r 0，而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究）定义域：y siny tanRy coty cosR k2y sec(k Z)y csc k(k Z)k(k Z)2 k(k Z)二、例一 已知的终边经过点 P(2,3)，求的六个三角函数值y解：解：x 2,y 3,r 22(3)213sin=ox tan=P(2,-3)sec=3 132 13 cos=131332 cot=231313 csc=23例二求下列各角的六个三角函数值3 0 22解：解：的解答见 P16-17时x 0,y r2sin=1 cos=0 tan不存在 cot=02222 sec不存在 csc=122 当=例三教学与测试P103 例一 求函数y cosxcosxtan x的值域tan x解：解：定义域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上又tanx0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时，x 0,y 0 cosx=|cosx|tanx=|tanx|y=2 ,x 0,y 0|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=2x 0,y 0,x|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=0 0,y 0例四教学与测试P103 例二 已知角的终边经过 P(4,3),求 2sin+cos的值已知角的终边经过 P(4a,3a),(a0)求 2sin+cos的值342解：解：由定义：r 5sin=cos=2sin+cos=555342若a 0r 5a则 sin=cos=2sin+cos=555342若a 0 r 5a则 sin=cos=2sin+cos=555三、小结：定义及有关注意内容四、作业：课本 P19 练习 1P20 习题 4.33教学与测试P1044、5、6、7第五教时第五教时教材：教材：三角函数线目的：目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。过程：过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：2介绍（定义）“单位圆”圆心在原点 O，半径等于单位长度的圆3作图：（课本 P14 图 4-12）此处略设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边也与单位圆交于 P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于 A、B两点过 P(x,y)作 PMx 轴于 M，过点 A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于 T，过点 B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于 S4简单介绍“向量”（带有“方向”的量用正负号表示）“有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。例：有向线段 OM，OP长度分别为x,y当 OM=x 时若x 0OM 看作与 x 轴同向OM 具有正值 x若x 0OM 看作与 x 轴反向OM 具有负值 xyy5sin y MPr1xxcos x OM有向线段r1MP,OM,AT,BS分别称作yMPATtan AT角的正弦线,余弦线,正xOMOA切线,余切线cotxOMBS BSyMPOB四、例一利用三角函数线比较下列各组数的大小：242421sin与sin2 tan与 tan3 cot与353534cot51解：解：S2SB如图可知：PP21Ao24sinsin35T2T1tan24tan3524cot35例二利用单位圆寻找适合下列条件的 0到 360的角cot1 siny312 tan32y30T解：解：1 2P2P1oxoxA21030150 3090或 210270例三求证：若0 12P22时，则 sin1sin2y证明：证明：分别作1,2的正弦线 x 的终边不在 x 轴上P1o M2M1xsin1=M1P1sin2=M2P20 122M1P1M2P2即 sin1sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业：课本 P15练习P20 习题 4.32补充：解不等式：(x0,2)1sinx3sin2x32tanx 1212第七教时第七教时教材：教材：三角函数的值在各象限的符号目的：目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。过程：过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题然后师生共同操作：1第一象限：.x 0,y 0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第二象限：.x 0,y 0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0第第三四象象限限：.x 0,y 0.x 0,y 0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0sin0,cos0,tan0,cot0,sec0,csc0记忆法则：sincsctancot为正全正cossec为正为正2由定义：sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tancot(+2k)=cosec(+2k)=seccsc(+2k)=csc三、例一（P18 例三略）(1)sin 0例二（P18 例四）求证角为第三象限角的充分条件是(2)tan 0证：证：必要性：若是第三象限角，则必有 sin0,tan0充分性：若 两式成立若 sin0则角的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于 y 轴的非正半轴若 tan0，则角的终边可能位于第一或第三象限 都成立角的终边只能位于第三象限角为第三象限角例三（P19 例五略）四、练习：1若三角形的两内角，满足 sincos0，则此三角形必为（B B）A：锐角三角形B：钝角三角形C：直角三角形D：以上三种情况都可能2若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（B B）A：sin+cos0B：tansin0C：coscot0D：cotcsc03已知是第三象限角且cos 0，问是第几象限角？22解：解：(2k 1)(2k 1)2(k Z)k限角又cos22 k3(k Z)则是第二或第四象422 0则是第二或第三象限角2必为第二象限角2sin 214已知21，则为第几象限角？sin 21解：解：由21sin202k22k+(k Z)kk+为第一或第三象限角五、小结：符号法则，诱导公式六、作业：课本 P19练习 4,5,6P20-21 习题 4.36-102第八教时第八教时教材：教材：同角三角函数的基本关系目的：目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三角函数式的求值运算。过程：过程：一、复习任意角的三角函数的定义：计算下列各式的值：1.sin290 cos2902.sin230 cos2303.tan45cot2453sin35.46.tan5cot54.366coscos34二、1导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）sin引导猜想：sin2 cos2 1 tantancot 1cos2理论证明：（采用定义）sinyx,cos sin2 cos2 1rrsinyxyry2当 k(k Z)时，tan2cosrrrxxyx3当 k且 k时,tancot 12xy1x2 y2 r2且 sin 3 推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：sec2 tan2 1csc2 cot2 1sin tan这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：coscos cotsintancot 1这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有：cscsin 1seccos 14点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。5注意：1“同角”的概念与角的表达形式无关，sin2 tan如：sin23 cos23 12cos22上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。三、例题：例一、（课本 P25例一）略注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。例二、（课本 P25例二）略注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。例三、（课本 P25例三）略1实际上：sec2 tan2 1即cos2 1 tan211 tan2cos 121 tan 而sin tancos当为第一、四象限角当为第二、三象限角tan1 tan2cos tan21 tan 当为第一、四象限角当为第二、三象限角四、小结：三种关系，八个公式五、作业：P27练习14P2728习题 4414第九教时第九教时教材：教材：同角三角函数的基本关系(2)求值目的：目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧。过程：过程：二、复习同角的三角函数的基本关系：练习：已知cos m(m 0,m 1),求的其他三角函数值。解：若在第一、二象限，则1sec sin 1m2mcsc 11m2tan 1mm2cot m1m2csc 11 m2若在第三、四象限，则1sec sin 1 m2mtan 1 mm2cot m1 m2六、例一、（见 P25例四）化简：1sin2440解：原式1sin2(36080)1sin280cos280 cos80例二、已知sin 2cos，求解：sin 2cossin 4cos及sin2 2sincos的值。5sin 2costan 2sin 4costan 421 5sin 2cos5tan 2126sin2 2sincostan2 2tan4 26sin 2sincos 222415sin cos tan 12强调（指出）技巧：强调（指出）技巧：1 1 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式2 2“化“化 1 1 法”法”例三、已知sin cos 3，求tan cot及sin cos的值。331两边平方，得：sincos 33解：将sin cos tan cot 1 3sincos2533(sin cos)21 2sincos 1sin cos 153例四、已知tan cot 25,12求tan cot,tan2 cot2,tan3 cot3,sin cos解：由题设：tan2 cot2 tan cot 6252,1446257 4 14412tan2 cot2 (tan cot)(tan cot)257175()1212144tan3 cot3 (tan cot)(tan2 cot2 tancot)25337251934825(1)12144121441728sin cos 1 2sincos 1 2127 255(tan cot 例五、已知sin cos 12512)sincos sincos12251(0 )，求tan 及 sin3cos3的值。512解：1 由sincos ,0 ,得：cos 0(,)252497由(sin cos)2,得：sincos 255sin cos 联立：sincos 14sin 55 tan 4733cos 5543912sin3cos3 ()3()3551254 2mm 3,cos,是第四象限角，求例 六、已 知sin m 5m5tan的值。解：sin2+cos2=1(化简，整理得：m(m 8)0当 m=0 时，sin 4 2m2m 32)()1m 5m 5m1 0,m2 843,cos ，(与是第四象限角不合）5512512当 m=8 时，sin ,cos，tan 13135七、小结：几个技巧八、作业：课课练P12例题推荐1、2、3P13课时练习6、7、8、9、10P14例题推荐1精编P3514第十教时第十教时教材：教材：同角三角函数的基本关系(3)证明教学与测试第 50 课目的：目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。过程：过程：三、复习同角的三角函数的基本关系：例：（练习、教学与测试P25 例一）5已知sin cos ，求sincos的值。425259解：即：sincos (sin cos)212sincos 161632九、提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）例一、（见 P25例四）化简：1sin2440解：原式1sin2(36080)1sin280cos280 cos80例二、已知是第三象限角，化简例二）解：原式 1sin1sin（教学与测试1sin1sin(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)(1 sin)21sin2(1sin)21sin21 sin1sin|cos|cos|是第三象限角，cos 0原式 1sin1sin 2tan（注意象限、符号）coscos例三、求证：证一：左边 cos1sin（课本 P26例 5）1sincoscos(1sin)cos(1sin)cos(1sin)22(1sin)(1sin)1sin cos 系）证1sin 右边等式成立（利用平方关cos二且1sin 0,cos 0：(1sin)(1 sin)1sin2 cos2证cos1sin（利用比例关系）1sincos三：cos1sincos2(1sin)(1sin)cos2(1sin2)1sincos(1sin)cos(1sin)coscos1sincos2 cos2（作差）01sincos(1sin)cos例三、已知方程2x2(3 1)x m 0的两根分别是sin，cos，求sincos（教学与测试 例三）的值。1cot1 tansin2cos2sin2cos2 sin cos解：原式 sincoscossinsincos由韦达定理知：原式 3 1（化弦法）2例四、已知asec ctan d,bsec d tan c,求证：a2b2 c2 d2 asec ctan d(1)证：由题设：bsec d tan c(2)(1)2(2)2：(a2 b2)sec2 (c2 d2)tan2 c2 d2(a2 b2)sec2 (c2 d2)sec2a2 b2 c2 d2x sincos(1)例五、消去式子中的：y tancot(2)解：由(1)：x1 2sincos2x21sincos(3)2由(2)：y sincos1cossinsincossincos 1y(4)将(3)代入(4)：y 2（平方消去法）x21例六、（备用）已知sin 2sin,tan 3tan,求cos2解：由题设：sin2 4sin2tan2 9tan222/：9cos 4cos+：sin2 9cos2 41cos2 9cos2 4cos2 38十、小结：几种技巧十一、作业：课本 P27练习5，6，P28习题 4.48，9教学与测试P1064，5，6，7，8，思考题第十一教时第十一教时教材：教材：诱导公式（1）360 k+,180 ,180+,360 ,目的：目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。过程：过程：一、诱导公式的含义：任意角的三角函数0到 360角的三角函数锐角三角函数二、诱导公式sin(360k+)=sin,cos(360k+)=1公式 1：（复习）.cosk+)=tg,cot(360k+)tan(360=ctg.2对于任一 0到 360的角，有四种可能（其中为不大于 90的非负角）当 0，90)为第一象限角180）为第二象限角180 当 90，（以下设为任意角）270）为第三象限角180 当 180，360当 270，360）为第四象限角3公式 2：y设的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则 180+终边与单位圆交于P(x,y)点 P(-x,-y)oxsin(180+)=sin,cos(180+)=cos.tan(180+)=tg,cot(180+P(-x,-y)=ctg.sec(180+)=sec,csc(180+)=csc4公式 3：y如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：P(x,y)Msin()=sin,xcos()=coso.P(x,-y=)tan()tan,cot()=cot.sec()=sec,csc()=csc5公式 4：sin(180)=sin180+()=sin()=sin,cos(180)=cos180+()=cos()=cos,同理可得：sin(180)=sin,cos(180)=cos.tan(180)=tan,cot(180)=cot.sec(180)=sec,csc(180)=csc6公式 5：sin(360)=sin,cos(360)=cos.tan(360)=tan,cot(360)=cot.sec(360)=sec,csc(360)=csc三、小结：360 k+,180 ,180+,360 ,的三角函数值等于的同名三角函数值再加上一个把 看成锐角时原函数值的符号四、例题：P2930例一、例二、例三P3132例四、例五、例六略五、作业：P30练习P32练习P33习题 4.5第十二教时第十二教时教材：教材：诱导公式（2）90 k ,270 ,目的：目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。过程：过程：三、复习诱导公式一至五：1sin(180)cos(720)tan(540)练习：1 已知sin(3),求3cot(180)sin(180)tan(900 )1解：sin(3 )sin()sin,sin 3原式 1 sin 3 cot(180)sintan(180 )sincostan2已知cos()635,求cos()的值。36解：cos(553)cos ()cos()6663四、诱导公式1公式 6：（复习）sin(90)=cos,cos(90)=sin.tan(90)=cot,cot(90)=tan.2公式 7：ysec(90)=csc,csc(90)=如图，可证：则P(x,y)sin(90+)=MP=OM=cosMMxcos(90o+)=OM=PM=MP=sinsin(90+)=cos,cos(90+)=sin.Ptan(90+=从而：cot(90+)=)cot,tan.sec(90+)=csc,csc(90+)=或证：sin(90+)=sin180(90)=sin(90)=coscos(90+)=cos180(90)=sin(90)=cos3公式 8：sin(270)=sin180+(90)=sin(90)=cossin(270)=cos,cos(270)=sin.（其余类似可tan(270)=cot,cot(270)=tan.得，sec(270)=csc,csc(270)=sec学生自己完成）sin(270+)=cos,cos(270+)=sin.tan(270+)=cot,cot(270+)=tan.sec(270+)=csc,csc(270+)=sec4公式 9：（学生证明）三、小结：90,270 的三角函数值等于的余函数的值，前面再加上一个把看成锐角时原函数值的符号3sin()cos()sin(4k )sin()222六、例一、求证：tan(2k )cot(k )cos(5 )cos()2cos sinsincos证：左边 tan cotcos sinsincossincos右边 左边=右边 cos sincos sin等式成立例二、求cos2()cos2()的值。解：原式 cos2()cos2()sin2()cos2()124444441例三、已知sin，sin()1,求sin(2)3解：sin()1 2k(k Z)2从而1sin(2)sin2(2k)sin(4k)sin 23例四、若 f(cosx)cos17x,求 f(sin x)解：f(sin x)fcos(90 x)cos17(90 x)cos(43609017x)cos(9017)sin17x七、作业：1.已知 f(sin x)sin(4n 1)x,(nZ,xR)求 f(cosx)2.设f()2cos3 sin2(360)sin(90)32 2cos2(180)cos(),求f()3课课练P1617课时 9例题推荐13练习610第十三教时第十三教时教材：教材：诱导公式(3)综合练习目的：目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。过程：过程：四、复习：诱导公式十二、例一、（教学与测试例一）计算：sin315sin(480)+cos(330)解：原式=sin(36045)+sin(360+120)+cos(360+30)=sin45+sin60+cos30=3 22小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“”公式化为正角的三角函数2用“2k+”公式化为0，2角的三角函数3用“”或“2 ”公式化为锐角的三角函数35，求cos()的值。例二、已知cos()（教学与测试例三）636解：cos(553)cos()cos()6663小结：此类角变换应熟悉例三、求证：cos(k)cos(k)1,k Zsin(k 1)cos(k 1)证：若 k 是偶数，即 k=2 n(nZ)则：左边 cos(2n)cos(2n)sincos 1sin2n()cos2n()sin(cos)若 k 是奇数，即 k=2 n+1(nZ)则：左边 cos2n()cos2n()sin(cos)1sin2(n 1)cos2(n 1)sincos原式成立小结：注意讨论例四、已知方程 sin(3)=2cos(4)，求sin()5cos(2)的32sin()sin()2值。（精编 38 例五）解：sin(3)=2cos(4)sin(3 )=2cos(4 )sin()=2cos()sin=2cos且 cos 0sin 5cos 2cos 5cos3cos3 原式 2cos sin 2cos 2cos 4cos4例五、已知tan()a2,|cos()|cos,求（精编P40例八）解：由题设：tan a2 0,|cos|cos,即cos 0由此：当 a 0 时，tan 0,cos 0,为第二象限角，1的值。cos()1 sec 1 tan2 1 a4cos当 a=0 时，tan=0,=k,cos=1，cos 0cos=1,1原式 11 a4(a 0)cos原式 综上所述：11 a2cos()例六、若关于 x 的方程 2cos2(+x)sinx+a=0 有实根，求实数 a 的取值范围。解：原方程变形为：2cos2x sinx+a=0即 2 2sin2x sinx+a=0117a 2sin2x sin x 2 2(sin x)248 1sinx1117amax1当sin x 时，amin；当sin x 1时，4817a 的取值范围是,18十三、作业：教学与测试P10858，思考题课课练P464723，25，26第十三教时第十三教时教材：教材：单元复习目的：目的：复习整节内容，使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的内容打下基础。过程：过程：五、复习：梳理整节内容：两角的概念的扩同角的三角函数关套预基备概弧度制本公念诱导公式式任意角三角函十四、处理教学与测试P109第 52 课略1“基础训练题”142例题133口答练习题1，2十五、处理课课练P20第 11 课1“例题推荐”13注意采用讲练结合2口答“课时练习”14十六、备用例题：精编P4041例九，例十一a)已知 sin()cos(+)=2(0)，求 sin(+)+cos(2 )4的值解：sin()cos(+)=22即：sin +cos =44又0231，00,cos0424令 a=sin(+)+cos(2 )=sin+cos则 a0由得：2sincos=307a 1 2sincos 48b)已知 2sin()cos(+)=1(0)，求 cos(2 )+sin(+)的值解：将已知条件化简得：2sin +cos =1设 cos(2 )+sin(+)=a,则 a=cos sin 11联立得：sin(1 a),cos(1 2a)3311sin2+cos2=1(1 2a a2)(1 4a 4a2)1995a2+2a 7=0,7解之得：a1=,a2=1(舍去)(否则 sin=0,与 00可能在一、二象限，在一、四象限134554 123563cos()=5 135 13651345，sin=513解：解：sin=0，cos=若、均在第一象限，则 cos=，sin=若 在 第 一 象 限，在 四 象 限，则cos=cos()=4 123533()5 1351365若 在 第 二 象 限，在 一 象 限，则cos=45，sin=513cos()=()4123533 5135 136545，sin=513若 在 第 二 象 限，在 四 象 限，则cos=cos()=()4123563()51351365五、小结：距离公式，两角和与差的余弦六、作业：P38-39练习 2 中(3)(4)3 中(2)(3)5 中(2)(4)P40-41习题 4.62 中(2)(4)3 中(3)(4)(6)7 中(2)(3)补充：1已知 cos()=求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值。2sinsin=cos()的值1213，coscos=12，(0,2),(0,2),求第十六教时第十六教时教材：教材：两角和与差的正弦目的：目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。过程：过程：一、复习：两角和与差的余弦练习：1求 cos75的值解：解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30=232 16 2222242计算：1 cos65cos115cos25sin1152 cos70cos20+sin110sin20解：解：原式=cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=03已知锐角,满足 cos=cos(+)=解：解：cos=sin=又cos(+)=5120+为钝角sin(+)=13133545355求 cos.13cos=cos(+)=cos(+)cos+sin(+)sin=5312 433（角变换技巧）（角变换技巧）13 513 565二、两角和与差的正弦7推导 sin(+)=cos=cos(+)=cos()22)cos+sin()sin=sincos+cossin22即：sin(+)=sincos+cossin（S+）以代得：sin()=sincoscossin（S）8公式的分析，结构解剖，嘱记9例一不查表，求下列各式的值：1 sin752sin13cos17+cos13sin17解：解：1原式=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=122322 62224122原式=sin(13+17)=sin30=例二求证：cos+3sin=2sin(证一：证一：左边=2(cos+612+)63sin)=2(sincos+cossin)266=2sin(+)=右边（构造辅助角）（构造辅助角）证二：证二：右边=2(sincos+cos613sin)=2(cos+sin)226=cos+3sin=左边例三精编P47-48例一 已知 sin(+)=,sin()=求232325tan的值tan解：解：sin(+)=sincos+cossin=sin()=sincoscossin=+：sincos=8815tansincos=1522tancossin：cossin=41515252523三、小结：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”四、作业：P38练习 2 中3 中 5 中P40-41习题 4.62 中3 中 7 中精编P60-612、3、4第十七教时第十七教时教材：教材：两角和与差的正切目的：目的：要求学生能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。过程：过程：一、复习：两角和与差的正、余弦公式 C+,C,S+,S练习：1求证：cosx+sinx=2cos(x)4证：证：左边=2(22cosx+sinx)=2(cosxcos+sinxsin)4422=2cos(x)=右边4又证：右边=2(cosxcos22+sinxsin)=2(cosx+sinx)4422=cosx+sinx=左边2已知sin+sin=3，求 cos()54cos+cos=25sin+sin2=9解：解：:sin2+2sin252:cos2+2coscos+cos2=162512+:2+2(coscos+sinsin)=1即：cos()=二、两角和与差的正切公式T+,T10 tan(+)公式的推导（让学生回答）cos(+)0tan(+)=sin()sincoscossin当 coscos0 时cos()cosco