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高三数学第二轮复习教案高三数学第二轮复习教案第1讲 函数问题的题型与方法（3课时）一、考试内容 映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；反函数、互为反函 数的函数图象间的关系；指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数；对数、对数的运算性质、对数函数函数的应用举例。二、考试要求1了解映射的概念，理解函数的概念2了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单 调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象 的绘制过程。3了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些 简单函数的反函数。4理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函 数的概念、图象和性质。5理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。6能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单 的实际问题。三、函数的概念型问题函数概念的复习当然应该从函数的定义开始函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义 复习中不能仅满足 对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系 是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用 具 体要求是：1深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此 为指导正确理解函数与其反函数的关系2系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法 在 熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运 用3通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一 步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数.本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真 正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制 约作用，并真正以此作为处理问题的指导.其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合.函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅 满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这 样才能进一步为综合运用打好基础.复习的重点是求得对这些问题的 系统认识，而不是急于做过难的综合题.深化对函数概念的认识例1.下列函数中，不存在反函数的是()A.y=-x2+lfx1),也可能x=-1(-1f1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换 等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、指数函数、对数函 数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所 给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函 数问题。(一)函数的性质 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩 固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以 深化具体要求是：1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇 偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单 调性和奇偶性2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数 性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用 方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转 化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在 区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质 函数的 单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个X,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是：对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在函数的定义域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要 条件.稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件 是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相 应图象的特殊的对称性的反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条 件,调动相关知识,选择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高 要求.1.对函数单调性和奇偶性定义的理解例4.下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=O(xR),其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误.奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此 不正确.若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=O,但不一定xR,如例1中的(3),故错误，选A.说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值 恒为零.2复合函数的性质复合函数y=fg(x)是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过 中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间m,n 上是单调函数，且函数y=f(u)在 区间g(m),g(n)(或g(n),g(m)上也是单调函数，那么若u=g(x),y=f(u)增减性相同，则复合函数y=fg(x)为增函数；若u=g(x),y=f(u)增减性不同，则y=fg(x)为减函数.(2)奇偶性规律若函数g(x),f(x),fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x),y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x),y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=fg(x)是偶函数.(二)函数的图象1.2.3.4.力.掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等 式中的问题.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析 解决数学问题.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括 和综合分析能以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象 变换法,掌握这两种方法是本节的重点.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点 成线.要把表列在关键处,要把线连在恰当处.这就要求对所要画图 象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研 究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用 图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点.说明：作不熟悉的函数图象,可以变形成基本函数再作图,但要 注意变形过程是否等价,要特别注意x,y的变化范围.因此必须熟 记基本函数的图象.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数 函数、对数函数,及三角函数、反三角函数的图象.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.2.作函数图象的另一个基本方法 图象变换法.一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等),得到另一个与之相关的图象，这就是函数的图象变换.在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称 变换.(1)平移变换函数y=f(x+a)(az0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a0)或向右(av0)平移|a|个单位而得到；函数y=f(x)+b(bz0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b0咸向下(bv0)平移|b|个单位而得到.(2)伸缩变换函数y=Af(x)(A0,A M 1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各 点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0vAv1)成原来的A倍，横坐标不变而 得到.函数y=f(3x)(30,3工1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象 上上各点的横坐标伸长卩】)成原来的-1,纵坐标不变(1)而得到.(3)对称变换函数y=-f(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图 形而得到.函数y=f(-x)的图象可以通过作函数y=f(x)y=f(x)的图象关于原点对称的的图象关于y轴对称的图 形而得到.函数y=-f(-x)的图象可以通过作函数 图形而得到.函数y=f-1(x)的图象可以通过作函数y=f(x)的图象关于直线y=x对 称的图形而得到。函数y=f(|x|)的图象可以通过作函数y=f(x)在y轴右方的图象及其 与y轴对称的图形而得到.函数y=|f(x)|的图象可以通过作函数y=f(x)的图象，然后把在x轴 下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得 到.例8.已知f(x+199)=4x2+4x+3(xR),那么函数f(x)的最小值为分析：由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里 我们注意到，y=f(x+100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们 取得的最大值和最水值是相同的.由y二已/+已兄十E=4仪+尸+2,立即 求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互 相利用”关系，函数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最 值等方面都有重要用途五、函数综合应用函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数 的综合应用:1在应用中深化基础知识在复习中基础知识经历一个由分散 到系统，由单一到综合的发展过程这个过程不是一次完成的，而是 螺旋式上升的 因此要在应用深化基础知识的同时，使基础知识向深 度和广度发展2以数学知识为载体突出数学思想方法数学思想方法是观念 性的东西，是解决数学问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知 识函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想 此外 还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法 解较综合的数 学问题要进行一系列等价转化或非等价转化 因此本课题也十分重视 转化的数学思想3重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力 的培养函数是数学复习的开始，还不可能在大范围内综合运用知 识但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分 重要的推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对 这方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的 本 课题在例题安排上作了这方面的考虑具体要求是：1在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的 有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的 能力2掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视 数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养3初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联 系，提高综合运用知识解决问题的能力4树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题 本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好 的调动函数的基础知识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的 理解，深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识 解决问题能力的培养与提高函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决 问题.函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质 特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，识是运用函数思想的关键.抽提象其数学特征，建立函数关系.因此，运动变化、相互联系、相互制 约是函数思想高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关 数学问题的意1.准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内 容可分为两部分.第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能 从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函 数)的图象和性质.第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运 用与发展.例9.已知函数f(x),xF,那么集合(x,y)|y=f(x),xFA(x,y)|x=1中所含元素的个数是.()A.0B.1C.0或1D.1或2分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟 悉的语言.从函数观点看，问题是求函数y=f(x),xF的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化),不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正 确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则孑三要素组成的.这里给出了函数y=f(x)的定义域、是F,但未明确给出1与F的关系，当1F时 有1个交点，当1 F时没有交点，所以选C.:2.掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的；;高中数学对函数的研究理论性加强了，对一 些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义图域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分 析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是 十分重要的.函数、方程、不等式是相互联系的.对于函数不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具例10.方程lgx+x=3的解所在区间为（）f(x)与g(x)，令f(x)二g(x),f(x)g(x)或f(x)v g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于 某些方程、A（0，1）C.（2,3）B（1，2）D.（3,+-）第2讲 数列问题的题型与方法一、考试内容数列；等差数列及其通项公式,等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式,等比数列前n项和公式。二、考试要求1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是 给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公 式,并能运用公式解答简单的问题。3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公 式,并能运用公式解决简单的问题。三、复习目标1.能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公 式、前n项和公式解题；2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；n3.统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,使学生系深化数 学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解 决数学和实际生活中的有关问题；4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思 想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力.6.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设 问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.四、双基透视1.可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和 性质.2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：(1)定义法：对于nA2的任意自然数 验证anan 1(an/an 1)为同 一常数。(2)通项公式法：若 5(n-1)d=+(n-k)d，贝 S 务 为等差数列；心一宀宀耳一I _*泌一丘 若，贝 San为等比数列。-都成(3)中项公式法：验证：“一*e立。3.在等差数列an中，有关S的最值问题一一常用邻项变号法 求解：(1)当丐0,d0时，满足的项数m使得取最大值.1(2)当円0时，满足 2 时 工的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。4数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。五、注意事项1.证明 数列an是等差或 等比数列 常用定 义，即通 过证明an 1ananan 1或空出而得。anan 12.比数列的相关问题时，的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。在解决等差数列或等“基本量法”是常 用3.对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。4.注意一些特殊数列的求和方法。5.注意n与n之间关系的转化。如：sa和ann 1_n/、(akak 1=Sn n 1,n 2s,an=1a).k 26.数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把 握这两方面，就会迅速打通解题思路.7.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息 的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解 题方向，形成解题策略.8.通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以 在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区 分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数 列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的 重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转 化为数学问题来解决。六、范例分析说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等 差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件Sn 14an2得出递推公式。n2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证 的已知条件，在后面求解的过程中适时应用说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点 在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系 式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问 题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。高三数学第二轮复习教案 不等式问题的题型与方法三（3课时）一、考试内容 不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值不等式二、考试要求1理解不等式的性质及其证明。2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。4掌握简单不等式的解法。5.理解不等式|a|-|b|a+b|0)的焦点F作直线1 1交抛物于A、B两点，若AF与FB的长分别是p、q,则-+-=(p q)A.2aC.4a解析：每一个选项都是一个确定的常数，取一个方便计算的特殊 位置，由此计算出的目标值必然与错误选项不同，由此排除错误选 项.考虑AB过焦点且与抛物线对称轴垂直，则AB是抛物线的通径.AF111=FB=2a，此时+=4a,排除A、B、D,选C.厶口P M答案：C方法四图解法方法点拨在解答选择题的过程中，可先根据题意，作出草图，然后参照图 形的作法、形状、位置、性质、综合图象的特征等，得出结论，习惯 上也叫数形结合法.1例41(2014河北模拟)已知函数f(x)=x+X，XM则关于x00,x=0,的方程f(x)2+bf(x)+c=0有5个不同实数解的充要条件是()A.b0B.b2且c0C.b 2且c=0解析：设t=f(x),则方程化为关于t的一元二次方程t2+bt+c=0,1一x+2=t2时,而函数y=x+x的图象如图所示，显然，当 有4个不同的x的值与同一个t(t2)对应，而当f(x)=0时，只有x=0,所以要使原方程有5个不同实数解，应使方程t2+bt+c=0有一个零根和一个大于 故2的根,b2且c=0,故所求充要条件为b2且c=0.答案：C析的，比直接计算求解更能抓住问题的实质，用图解法解题一定要对有关的函数图象、的图象反而会导致错误的选择.方法五推理分析法方法点拨用这种方法解题 并能迅速地得到则错误点评：图解法是依靠图形的直观性进行分结果.不过运 几何图形较熟悉，否推理分析法是通过逻辑推断过程，分析四个选项之间的逻辑关 系，从而否定干扰项，肯定正确选项的方法.使用该方法的前提是 答 案唯一”即四个选项中有且只有一个答案正确.例51(2014长沙模拟)若某函数同时具有性质：(1)最小正周期是；(2)图象关于直线n冗n nn数.则该函数可能是(x=3对称；在区间一6,3上是增函)B.y=cos 2x3xnA.y=sin 2+6C.y=cos 2x6n冗D.y=sin 2x石2n解析：A选项中，函数的周期为T=4n,不满足题意，排2除；因为图象的对称轴对应着函数的最大值或最小值，而C选项中,B选项中，1,显然函n nncos 2x36=cosy=0,对应的不是最值，排除；nnnncos 2x c+ccos 0=1,cos 2x+ccosn6333n n数在-，石上不是增函数，排除故只有D选项满足条件63答案：D点评：应用此法需对题中条件进行分析，作出推断，排除干扰项，筛选出唯一正确的答案.方法六估算法方法点拨由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特 点和取值界限作出 适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法往往可以 减少运算量，但是加强了思维的层次.例61(2015武汉模拟)设a、b、c均为正数，且2a=logo.5a,=,0.5c=log2C,则(A.abcC.cab)B.cbaD.ba0，贝卩logo.5a=2a1=logo.50.5,a(0,；b000,则log2c=0.5c(0,1),c(1,2).由a、b、c所在范围知ab&1y2 3456789 10 x答案：10点评：图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的 应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式 子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论 求出结果.方法四构造法方法点拨构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出 新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决.它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的 方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类 似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模 型，使问题快速解决.例41（2014杭州模拟）如图，已知球O的球面上有四点A,B,C,D,DA丄平面ABC AB丄BC,DA=AB=BO：2,则球0的体积 等于_.解析：如图，以DA,AB,BC为棱长构造正方体，设正方体的外 接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD=寸（灵）2+（慣）2+（问2=2R,所以R=，故球O的 体积V=4j3R3=6n.答案：6n点评：构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地 构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，到解决.方法五估算法方法点拨所谓估算法，就是一种粗略的计算方法，即对有关数值进行扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法.例51（2014广州模拟）若正数a,b满足ab=a+b+8,贝卩ab的取值范围为_.解析：令a=b,则已知等式可化为a2=2a+8,解得a=2（舍去）或a=4,此时ab=16;而当a=2时，b=10,此时ab=2016,所以ab的取值范围为16,+乂）答案：16,+乂）点评：估算需要根据已知条件和所求的问题进行灵活处理，该题 主要利用了已知等式中a与b互换后等式不变的特征，所以猜测a=b时取得最值，若a与b互换后已知等式发生变化，则不能利用a=b求最值，必须结合等式的特征灵问题很容易得活处理有些计算型填空题，不必经 过繁杂的计算，只需大体估算一下，便可快速准确地得到答案变式训练【51(2014长沙模拟)已知x,y(0,+*)且xy=x+y+8,则xy的取值范围是 _ 解析：令x=y,则已知等式可化为x2=2x+8,解得x=2(舍去)或x=4,此时x+y=8,而当x=2,y=10时，x+y=128,所以x+y8即x+y的取值范围为8,+乂).答案：8,+乂)方法六 归纳推理法方法点拨做关于归纳推理的填空题的时候,一般是由题目的已知可以得出 几个结论(或直接给出了几个结论),然后根据这几个结论可以归纳出 一个更一般性的结论,再利用这个一般性的结论来解决问题 归纳推 理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程,这里可以大胆地猜 想例61(2014南昌模拟)已知fi(x)=sin x+cos x,fn+i(x)是fn(x)的 导函数，即f2(x)=(x),f3(x)=f2(x),，fn+1(x)=fn(x),nN*,则f2 013(X)=_.解析：f2(x)=(x)=cosxsin x,f3(x)=f2(x)=sin xcos x,f4(x)=f3(x)=cosx+sin x,f5(x)=f4(x)=sin x+cos x,由此归纳，知fn(x)的解析式的周期为4,即fn(X)=fn+4(X).所以f2 013(x)=f1(x)=sin x+cosx.答案：sin x+cos x点评：这类问题是近几年高考的热点.解决这类问题的关键是找 准归纳对象.如本题把函数的前几个解析式一一列举出来.观察前面 列出的解析式的规律,归纳猜想一般结论或周期,从而求得解析式.变式训练【61(2014珠海模拟)观察下列算式，猜测由此提供的一般性法则,用适当的数学式子表示它.1=1,3+5=8,7+9+11=27,13+15+17+19=64,21+23+25+27+29=125,设这些式子的第n个为a1+a2+an=bn，则(a1,an)=_,bn=_.解析：观察每一个式子的首项分别为1、3、7、13、21-均为奇 数，对它们都减去1,则为0,2,6,12,20,，即为121,222,323,424,525,所以归纳为n2n+1同理末项归纳为n2+n1.观察等式右边可得bn=n3答案：(n2n+1,n2+n1)n3二命题规律1.填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思 维能力和分析问题、解决问题的能力.填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达 式(数)最简.2.填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式 灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅 读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出 现，使解填空题的要求更高、更严了.3.填空题不同于选择题，由于没有非正确的选项干扰，因而不 必担心 上当受骗”而误入歧途.但填空题最容易犯的错误，要么答案 不当，要么答案不全.第三讲解答题的解法KAODI ANJIkUL O(见学生用书P107)号点解读数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中 学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突 显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能 力等特点.解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.解答题考查内容主要分六块：三角函数（或与平面向量交汇）、函数与导数（或与不等式交汇）、概率 与统计、解析几何（或与平面向量交汇）、立体几何、数列（或与不等式 交汇）.从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显着的特点 和解题规律，从阅卷中发现考生 会而得不全分”的现象大有人在，针 对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点并及时总结出 来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果.力法解析第一步审清题意方法点拨审题即弄清题意，是解题的基础，是快速、正确解题的前提，最 糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图.审题可以使解题有条不紊，快速高效.审题包含两方面的内容：题目信息的整合和解题方法的选择.通 过对题目条件、结论进行多角度地观察，由表及里，由数到形，由条 件到结论，洞察问题实质，选择合适的解题方法，审题时不要急于求 成.本讲结合实例，教你规范审题，不在小处丢分.一审词 看清条件和结论词，无疑是指题目中的关键词，数学审题，首先要抓住关键词，看清题目的条件和结论.全面、深刻、准确地把握关键词是审题的基本要求，体现了对细节的关注.在此基础上，对条件结论进行挖掘、转化.二审图一一关系特征要明晰图形或者图象的力量比文字更为简洁有力，挖掘其中蕴含的有效 信息，正确理解问题是解决问题的关键.对图形或者图象的独特理解 很多时候成为问题解决中的亮点.此处审题的要求是：图形有何重要 特征包括图形隐含的特殊关系、变化的趋势、图形对应数值的特点等；利用数形结合的思想方法对条件进行转化，找到和要求证明的结论的 联系.三审表一一透过数据看规律在日常生活和生产中经常会出现图表问题，如每日的股市曲线 图、菜场上的价目表等，都是高考命题的源泉.表格中隐藏着丰富的 数据和信息及其内在联系，对于表格的分析要能慧眼独具，不为浮云 遮望眼，透过现象看本质.看清表格的本质，问题解决也就有了基 础.审题的要求是：认真观察图表、分析数据的特征和规律，根据规 律解决问题.四审式数式结构找关系数学问题中各种量的关系一般以关系式的形态出现，从关系式的 角度分析也是我们最常用的方法，理解了关系式也就对各种量的本质 联系有了清晰的认识.审题的基本要求是：挖掘关系式的内在特点；寻找已知条件和结论中式子的联系以及它们和一些公式间的联系，后再转化.五审理一一字里行间皆有理数学中的 理”，不仅仅是指常用的公式和原理，更是指我们经常 讲的合情然审题能力的高低是决定成绩的重要因素，不良的审题习惯会导致解题失误，运算繁冗.正确合理的推理：根据已有的事实、结论或者实践的结果，以个人的经 验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳和类比就是数学活动中常 用的合情推理.在高考中该方面的问题有明显的增长趋势.有些问题 很难直接和一般的知识点联系起来，考查的是综合应用数学知识解决 问题的能力，有很强的区分度.第二步转化准确一是条件转换要全面在对题目进行分析时，条件的梳理、转化是解题的重点，在条件 转化时，一定要对条件全面考虑，挖掘隐含条件，不能顾此失彼，造 成转换不等价.二是转换过程要准确解题过程中运用一些定理、公理或结论时，必须保证过程准确，不能错用或漏用条件，和公理、定理的适用条件进行比对，转换过程 中推理变形要等价.三是转换思路要灵活解决数学问题的过程就是一个由条件到结论的等价转化的过程，数学中的解题即转化过程往往不是唯一的.在解题时我们要从条件出 发，灵活转化，从不同的角度解决问题.第三步过程规范一是数学语言应用规范数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言.用数学语言可以 定义数学概念，表述数学结论，揭示数学关系.数学语言具有准确、抽象、简洁等特点，在解题中使用数学语言要力求规范，避免高考中 不必要的失分.二是结论应用要规范在解题中，我们要用到教材中的公理、定理、推论等，一定要结 合公理、定理的叙述，严格对照题目条件，每一步推理要有理有据，规范作答，不要漏掉条件；另外，对一些教材中没有出现的 小结论”,应用时要作铺垫.三是步骤书写要规范在高考中，解答题的要求是：应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在解答题的解题步骤中，一定要计算过程明确，推理过程严谨，不可跨度太大而漏掉得分点.针对不少同学答题格式不规范，出现 会而不对，对而不全”的 问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格 式分步解答，实现答题步骤的最优化.万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现 解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把 所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有 模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解 题得高分.模板一 三角函数的周期性、单调性及最值问题n(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及最小值；(3)写出函数f(x)的单调递增区间.例11已知函数f(x)=2cos xsin x+-3sin2x+sin xcos x+1.审题路线图：不同角化同角-降幕扩角-化f(x)=Asin汁耐+B T结合性质求解.规范解答示例_1 yj3解析：f(x)=2cosx?sin x+qcosx3sin2x+sin xcos x+1=2si n xcos x+3(cogxsin2x)+1一n2n=sin 2x+,3cos 2x+1=2sin 2x+1.n(2)v 13 2x+1,n-1w 2in 2x+3+1w3.3.n n当2x+3=2+2kn,即kZ,f(x)取得最大值3;x=12+kn,kZ时，kn nZ,t(1)函数f(x)的最小正周期为=n.5n、.即x=!2+kn,kZ时，f(x)取得最小值一1.n/口5nn nn(3)由一2+2kn2x+-32+2kn,k 乙得I?+knWxW12+kn,kZ.5nn函数f(x)的单调递增区间为 一12+kn,12+kn(kZ).构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(3x+)+B的形n式或y=ACOS(3汁)+B的形式.如：f(x)=2sin 2x+1.第二步：根据f(x)的表达式求其周期、最值.第三步：由sin x、cos x的单调性，将 汁看作一个整体，转 化为解不等式问题.第四步：明确规范表述结论.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.模板二 三角变换与解三角形问题例2-1在ABC中，若acoC+CCOSA=|b.(1)求证：a,b,C成等差数列；(2)求角B的取值范围.审题路线图：(1)化简变形-用余弦定理转化为边的关系-变形证 明.(2)用余弦定理表示角 用基本不等式求范围 确定角的取值范 围.规范解答示例解析：(1)证明：因为acos2-+80誇1+cos C1+cos A 3=a 2+c2-=尹,所以a+c+(acosC+CCOS A)=3b,a2+b2-C2故a+c+2bc整理，得a+C=2b,故a,b,C成等差数列.2a2+c2-b2 a+c_T=(2)cosB=2ac2aC22 a+c2ab+Cb2+C2-a2=3b,3(a2+c2)2ac 6ac-2ac 18ac因为0Bn,A8ac2n所以0O(nN*)，且b1+b2+b3=15，又a1+b、a2+b2、a3+b3成等比数列.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.审题路线图：(1)an=SSi-1(nA2)消去Sn宀得an+1=3anan=3n 1.(2)观察anbn中an与bn的特点T在Tn前乘以an的公比，构造 使用错位相减的条件T2Tn=2n 3nT得Tn.-规范解答示例解析：(1)丁a1=1,an+1=2Sn+1(nN)