人教版高中数学《数列》全部教案.pdf

第三章第三章数列数列第一教时第一教时教材：教材：数列、数列的通项公式目的：目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。过程：过程：一、从实例引入（P110）1堆放的钢管4,5,6,7,8,9,101 1 1 12正整数的倒数1,2 3 4 50.1，0.001的不足近似值1，1.4，1.41，1.414，32精确到1，41 的正整数次幂：1,1,1,1,5无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,二、提出课题：数列1数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）2名称：项，序号，一般公式a1,a2,an，表示法an3通项公式：an与n之间的函数关系式如数列 1：an n 3数列 2：anan(1)n,n N*1数列 4：n4分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。5实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1，2，n）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。6用图象表示：是一群孤立的点例一（P111 例一略）三、关于数列的通项公式1不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列 3）2数列的通项公式不唯一如 数列 4 可写成an(1)n和n 2k 1,k N*1ann 2k,k N*13已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二（P111例二）略四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数：1(1)n1,n N*11，0，1，0an22n 156234，an(1)n(n 1)213538152437，77，777，7777an7(10n1)941，7，13，19，25，31an(1)n(6n 5)2n1359175，an2n124162562五、小结：1数列的有关概念2观察法求数列的通项公式六、作业：练习 P112习题 31（P114）1、2课课练中例题推荐 2练习 7、8第二教时第二教时教材：教材：数列的递推关系目的：目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前 n 项。过程：过程：一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）(n 2)S Sn1二、例一：若记数列an的前 n 项之和为 Sn试证明：ann(n 1)S1证：证：显然n 1时，a1 S1当n 1即n 2时Sn a1 a2 anSn1 a1 a2 an1Sn Sn1 ananSn Sn1(n 2)(n 1)S1注意：注意：1 此法可作为常用公式 2 当a1(S1)时 满足Sn Sn1时，则an Sn Sn1例二：已知数列an的前n项和为Sn 2n2 nSn n2 n 1求数列an的通项公式。解：解：1当n 1时，a1 S11当n 2时，an 2n2 n 2(n 1)2(n 1)4n 3经检验n 1时a11也适合an 4n 3 2当n 1时，a1 S1 3当n 2时，an n2 n 1(n 1)2(n 1)1 2n(n 1)3an(n 2)2n三、递推公式（见课本 P112-113略）以上一教时钢管的例子an n 3a1 4从另一个角度，可以：(n 1)an an11(n 2)“递推公式”定义：已知数列an的第一项，且任一项an与它的前一项an1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。例三（P113 例三）略例四已知a1 2，an1 an 4求an解一：解一：可以写出：a1 2，a2 2，a3 6，a4 10，观察可得：an 2(n 1)(n 4)2 4(n 1)解二：解二：由题设：an1 an 4anan1 4aan2 4n1an2 an3 4)a2 a1 4an a1 4(n 1)an 2 4(n 1)例五已知a1 2，an1 2an求an解一：解一：a1 2a2 22 22a3 222 23观察可得：an 2n解二：解二：由an1 2anan 2an1即an 2an1anaaan1n22 2n1an1an2an3a1an a12n1 2n四、小结：由数列和求通项递推公式（简单阶差、阶商法）五、作业：P114习题 31 3、4课课练 P116-118课时 2 中例题推荐 1、2课时练习 6、7、8第三教时第三教时教材：教材：等差数列（一）目的：目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并能用来解决有关问题。过程：过程：一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，3，0，3，6，1234，2101010an12 3(n 1)12，9，6，3，特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 “等差”二、得出等差数列的定义：（见 P115）注意：注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1名称：AP首项(a1)公差(d)2若d 0则该数列为常数列3寻求等差数列的通项公式：a2 a1 da a2 d (a1 d)d a1 2d3a4 a3 d (a1 2d)d a13d由此归纳为an a1(n 1)d当n 1时a1 a1（成立）注意注意:1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数 2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成 AP证明：证明：若an An B A(n 1)A B (A B)(n 1)A它是以A B为首项，A为公差的 AP。3 公式中若d 0则数列递增，d 0则数列递减 4 图象：一条直线上的一群孤立点三、例题：注意在an a1(n 1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以求出另一个。例一（P115 例一）例二（P116 例二）注意：该题用方程组求参数例三（P116 例三）此题可以看成应用题a b四、关于等差中项：如果a,A,b成 AP 则A 2证明：证明：设公差为d，则A a db a 2da ba a 2d a d A22例四教学与测试P77 例一：在1 与 7 之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成 AP，求此数列。解一：解一：1,a,b,c,7成APb是-1 与 7 的等差中项b 17 3a又 是-1 与 3 的 等 差 中 项2a 131237 52c又是 1 与 7 的等差中项c 解二：解二：设a1 1a5 77 1(51)d d 2所求的数列为-1，1，3，5，7五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业：P118 习题 32 1-9第四教时第四教时教材：教材：等差数列（二）目的：目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程：过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式二、例一在等差数列an中，d为公差，若m,n,p,q N且m n p q求证：1am an ap aq2ap aq(p q)d证证明明：1设首项为a1，则am an a1(m 1)d a1(n 1)d 2a1(m n 2)dap aq a1(p 1)d a1(q 1)d 2a1(p q 2)dam an ap aqm n p q2ap a1(p 1)daq(p q)d a1(q 1)d (p q)d a1(p 1)dap aq(p q)d注意：注意：由此可以证明一个定理：设成 AP，则与首末两项距离 相 等 的 两 项 和 等 于 首 末 两 项 的 和，即：a1 an a2 an1 a3 an2 同样：若m n 2p则am an 2ap例二在等差数列an中，1 若a5 aa10 b求a15解：解：2a10 a5 a15即2b a a15a15 2b a2 若a3 a8 m求a5 a6解：解：a5 a6=a3 a8 m3 若a5 6a815求a14解：解：a8 a5(85)d即15 63dd 3从而a14 a5(14 5)d 693 334若a1 a2 a5 30a6 a7 a10 80求a11 a12 a15解：解：6+6=11+17+7=12+22a6 a1 a112a7 a2 a12从(a11 a12 a15)+(a1 a2 a5)2(a6 a7 a10)而a11 a12 a15=2(a6 a7 a10)(a1 a2 a5)=28030=130三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法1 1定义法：定义法：即证明an an1 d(常数)例三课课练第 3 课例三已知数列an的前n项和Sn 3n2 2n，求证数列an成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。解：解：a1 S1 3 2 1当n 2时an Sn Sn1 3n2 2n 3(n 1)2 2(n 1)6n 5n 1时 亦满足an 6n 5首项a11an an1 6n 56(n 1)5 6(常数)an成 AP 且公差为 62 2中项法：中项法：即利用中项公式，若2b a c则a,b,c成 AP。例四课课练第 4 课 例一111c aa bb c已知，成 AP，求证，也成abcbcaAP。111211证明：证明：，成 AP化简得：abcbac2ac b(a c)b ca bbc c2 a2 abb(a c)a2 c22ac a2 c2acacacac(a c)2(a c)2a c 2=b(a c)acb2a bb cc a，也成 APbca3 3通项公式法：通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n的一次函数这一性质。例五设数列an其前n项和Sn n2 2n 3，问这个数列成AP吗？解解：an Sn Sn1 2n 3n 1时a1 S1 2n 2时a1不满足an 2n 3n 1n 22an2n3 数列an不成 AP但从第 2 项起成 AP。四、小结：略五、作业：教学与测试 第 37 课练习题课课练 第 3、4 课中选第五教时第五教时教材：教材：等差数列前n项和（一）目的：目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题。过程：过程：一、引言：P119著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算 1+2+3+100 的故事故事结束：归结为 1这是求等差数列 1，2，3，100 前 100 项和100(1100)2高斯的解法是：前 100 项和S1002即Sn二、提出课题：等差数列的前n项和 1证明公式 1：Snn(a1 an)2n(a1 an)2证明：证明：Sn a1 a2 a3 an1 anSn an an1 an2 a2 a12Sn(a1 an)(a2 an1)(a3 an2)(an an)+：a1 an a2 an1 a3 an22Sn n(a1 an)由此得：Snn(a1 an)2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。2推导公式 2用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an但an a1(n 1)d代入公式 1 即得：Sn na1n(n 1)d2此公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,d（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个 3例一（P120 例一）：用公式 1 求Sn例二（P120 例一）：用公式 2 求n学生练习：P122 练习 1、2、3三、例三（P121 例三）求集合M m|m 7n,n N*且m 100的元素个数，并求这些元素的和。1002解：解：由7n 100得n 1477正整数n共有 14 个即M中共有 14 个元素即：7，14，21，98 是a1 7为首项 a14 98的AP14(7 98)735答：略2例四已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，Sn由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：解：由题设：S10 310S201220 10a1 45d 310a 4得：120a1190d 1220d 6n(n 1)6 3n2 n2四、小结：等差数列求和公式Sn 4n 五、作业（习题 31）P122-123第六教时第六教时教材：教材：等差数列前n项和（二）目的：目的：使学生会运用等差数列前n项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。过程：过程：一、复习：等差数列前n项和的公式二、例一在等差数列an中1已知S8 48S12168求a1和d；8a 28d 48解：解：1 a1 8d 412a 66d 16812 已知a3 a5 40，求S17解解S17：a1 a17 a3 a15 4017(a1 a17)1740 34022例二已知an，bn都成 AP，且a1 5，b115，a100b100100试求数列anbn的前 100 项之和S100解：解：S100100(a1 a1 a100b100)100(515100)600022例三 一个等差数列的前 12 项之和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32：27，求公差。121112a12d 354652d则6(a1d)32265176a 2d12解一：解一：设首项为a1，公差为d d 5S奇 S偶 354S偶192S32解解二二：偶由S偶 S奇 6dS奇162S27奇 d 5例四已知：an1024 lg21n（lg2 0.3010）n N*问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？an1024(1n)lg2 0解：解：1a1024nlg2 0n110241024 n 1 3401 n 3403lg2lg2n 34022Sn1024n n(n 1)(lg2)02当Sn 0或Sn近于 0 时其和绝对值最小令：Sn 0即 1024+得：n n(n 1)(lg2)0220481 6804.99lg2n N*n 6805例五项数是2n的等差数列，中央两项为an和an1是方程x2 px q 0的两根，求证此数列的和是方程lg2x (lgn2 lg p2)lg x (lgn lg p)2 0的根。（S2n 0）解：解：依题意：an an1 pS2n2n(a1 a2n)np2a1 a2n an an1 plg2x (lgn2 lg p2)lg x (lgn lg p)2 0(lg x lgnp)2 0 x np S2n（获证）例六（机动，作了解）求和111111 21 231 23 n解：解：an1111112nSn 2(1)()()2(1)223nn 1n 1n 11211 2()1 23 nn(n 1)nn 12(1002992)(982972)(4232)(2212)解解：原式(1993)50 10150 50502三、作业 精编P167-168 6、7、8、9、10=199195 7 3 第七教时第七教时教材：教材：等差数列的综合练习目的：目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有深刻的理解。过程：过程：一、复习：1等差数列的定义，通项公式关于n的一次函数2判断一个数列是否成等差数列的常用方法3求等差数列前n项和的公式二、处理教学与测试P79 第 38 课例题 1、2、3三、补充例题教学与测试备用题 1成等差数列的四个数之和为 26，第二数和第三数之积为 40，求这四个数解：解：设四个数为a 3d,a d,a d,a 3d(a 3d)(a d)(a d)(a 3d)26则：(a d)(a d)40133代入得：d 22 四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2由：a 2在等差数列an中，若a1 a4 a812a15 2求S15解：解：a1 a15 a4 a12a8 2而S1515a8 303已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和解：解：由题设Sn aS2n ban1 an2 a2n b a而(a1 a2 an)(a2n1 a2n|2 a3n)2(an1 an2 a2n)从而：S3n(a1 a2 an)(an1 an2 a2n)(a2n1 a2n|2 a3n)3(an1 an2 a2n)3(b a)四、补充例题：（供参考，选用）4已知a11，Sn n2an(n 1)求an及Sn解：解：an Sn Sn1 n2an(n 1)2an1从而有ana11n 1an1n 1a213a32143321a4543a543216543an(n 1)(n 2)32122nSn n2an(n 1)n(n 1)43n(n 1)n 1 5已知Sn 4anan12n2(n N*)求a1,an1和an的关系式及通项公式解：解：a1 S1 4 a11212 a111S 4 a nn2n21Sn1 4 an1(n1)221111：an1 an1 ann1n2即：an1ann2222将上式两边同乘以2n得：2nan1 2n1an1即：2nan1 2n1an1显然：2n1an是以 1 为首项，1 为公差的 AP2n1an1(n 1)1 nann2n1 6已知a1 3且an Sn1 2n，求an及Sn解：解：an Sn Sn1Sn 2Sn1 2nSn2nSnSn112n2n1设bn则bn是公差为 1 的等差数列bn b1 n 1SnS1a131n n Sn(2n 1)2n122222又：b1当n 2时an Sn Sn1(2n 3)2n2(n 1)3n1S(2n 1)2annn2(n 2)(2n3)2n(n 1)(n 1)2 an 7设an 12 23 34 n(n1)求证：2212n 1证：证：n(n1)n2 nn(n 1)(n)2222n 1213(2n 1)1 23 n an2n n(n 1)n(n 1)(n 1)2 an22五、作业：教学与测试第 38 课练习题 P80第八教时第八教时教材：教材：等比数列（一）目的：目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。过程：过程：一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列：1,2,22,23,263(1)2.数列：5,25,125,625,(2)1 111,(3)2 48观察、归纳其共同特点：1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)2 隐含：任一项an 0且q 03 q=1 时，an为常数二、通项公式：a2 a1qa3 a2q a1q2a1nn1 a a q或 a qn1na4 a3q a1q3q如数列：(1)：an12n1 2n1(2)：an 55n1 5n11(3)：an1()n1()n122a图象：an1qn是经过指数函数纵向伸缩后图象上的孤立点。q1如：数列(1):an 2n12n(n 64,且n N*)2三、例一：（P127例一）实际是等比数列，求 a5a1=120,q=120a5=12012051=12052.51010例二、（P127例二）强调通项公式的应用例三、求下列各等比数列的通项公式：1a1=2,a3=8解：a3 a1q q2 4 q 2an(2)2n1 2n或an(2)(2)n1(2)n2a1=5,且 2an+1=3an解：q an13 an23又：a1 5 an 5()n123a1=5,且an1nann1a32an1,na23an1n解：an1an12,ann1a12以上各式相乘得：an13a1nn四、关于等比中项：如果在 a、b 中插入一个数 G，使 a、G、b 成 GP，则 G 是 a、b 的等比中项。Gb G2 ab G ab（注意两解且同号两项才有等比中项）aG例：2 与 8 的等比中项为 G，则 G2=16G=4例四、已知：b 是 a 与 c 的等比中项，且 a、b、c 同号，求证：a b cab bc ca3,abc也成 GP。33证：由题设：b2=ac得：a b c3a b c33ab b2bcab bc ca2abc b()3333a b cab bc ca3,abc也成 GP33五、小结：等比数列定义、通项公式、中项定理六、作业：P129习题 3418第九教时教材教材：等比数列（二）目的目的：在熟悉等比数列有关概念的基础上，要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。过程过程：一、复习：1、等比数列的定义，通项公式，中项。2、处理课本 P128 练习，重点是第三题。二、等比数列的有关性质：1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。2、若m n p q，则aman apaq。例一：1、在等比数列an，已知a1 5，a9a10100，求a18。解：a1a18 a9a10，a18a9a10100 20a152、在等比数列bn中，b4 3，求该数列前七项之积。解：b1b2b3b4b5b6b7b1b7b2b6b3b5b4b4 b1b7 b2b6 b3b5，前七项之积323 37 21873、在等比数列an中，a2 2，a5 54，求a8，解：a8 a5q3 a5a554 54 1458a2 22 3另解：a5是a2与a8的等比中项，542 a82a8 1458三、判断一个数列是否成 GP 的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法例二：已知无穷数列10,10,10,10求证：（1）这个数列成 GP051525n15,，1，10（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的a10证：（1）nn2105（常数）该数列成 GP。an1105an1011n4101，即：anan5。an51010105p15n15n151（2）（3）apaq1010q1510pq25，p,q N，p q 2。pq251n5（第p q 1项）。10，p q 11且p q 1 N，10例三：设a,b,c,d均为非零实数，a2b2d2 2ba cd b2 c2 0，求证：a,b,c成 GP 且公比为d。证一：关于d的二次方程a2b2d2 2ba cd b2 c2 0有实根，4b2a c 4a2 b2 0，b2ac 022则必有：b2 ac 0，即b2 ac，a,b,c成 GP设公比为q，则b aq，c aq2代入a2 a2q2d2 2aqa aq2d a2q2 a2q4 0q21a2 0，即d2 2qd q2 0，即d q 0。证二：a2b2d2 2ba cd b2 c2 0a2d2 2abd b2b2d2 2bcd c2 0ad bbd c 0，ad b，且bd c22bc d。ab四、作业：课课练P127-128 课时 7 中练习 48。P128-129 课时 8 中例一，例二，例三，练习 5，6，7，8。a,b,c,d非零，第十教时教材教材：等比数列的前n项和目的目的：要求学生掌握求等比数列前n项的和的（公式），并了解推导公式所用的方法。过程过程：一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，6263即求s641 2 4 8 2 2用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：2S64 2 4 816 263 264646419：S64 1 2 21这是一个庞大的数字18410，以小麦千粒重为 40g计算，则麦粒总质量达7000 亿吨国王是拿不出来的。三、一般公式推导：设Sn a1 a2 a3 an1 an乘以公比q，qSn a2 a3 an1 an qana1 qana1 aqna11 qn：1 qSn a1 qan，q 1时：Sn1 q1 q1 qq 1时：Sn na1注意：（1）a1,q,n,Sn和a1,an,q,Sn各已知三个可求第四个，（2）注意求和公式中是q，通项公式中是qnn1不要混淆，（3）应用求和公式时q 1，必要时应讨论q 1的情况。四、例 1、（P131，例一略）直接应用公式。例 2、（P131，例二略）应用题，且是公式逆用（求n），要用对数算。例 3、（P131-132，例三略）简单的“分项法”。例 4、设数列an为1,2x,3x,4x nx23n1x 0求此数列前n项的和。23n1解：（用错项相消法）Sn1 2x 3x 4x nx23n1nxSn x 2x 3x n1x nx2n1n1 xSn1 x x x nx，当x 1时，1 xn1 xn nxn nxn111 nxn nxn1n nx1 xSn1 x1 x1 xSn11 nxn nxn11 x2当x 1时，Sn1 23 4n n1 n2五、小结：（1）等比数列前n项和的公式，及其注意点，（2）错项相消法。再介绍两种推导等比数列求和公式的方法，（作机动）法 1：设Sn a1 a2 a3 anan成 GP，aa2a3a4 n qa1a2a3an1由等比定理：a1 a2 a3 anS a1 q,即：n qa1 a2 a3 an1Sn ana1 anqa11 qn当q 1时，Sn1 q1 q当q 1时，Sn na12n1法 2：Sn a1 a1q a1q a1q a1 q a1 a1q a1q a1q a1 qSn1 a1 qSn an2n2a1 anq（下略）1 q从而：1 qSn a1 anq 当q 1时Sn当q 1时Sn na1六、作业：P132-133练习，习题 35，第十一教时第十一教时教材：教材：等比数列教学与测试第 40、41 课目的：目的：通过处理有关习题以达到复习、巩固等比数列的有关知识与概念的目的。过程：过程：一、复习：等比数列的有关概念，等比数列前 n 项和的公式二、处理教学与测试第 40 课：例一、（P83）先要求 x，还要检验（等比数列中任一项 an0,q0）例二、（P83）注意讲：1“设”的技巧2 区别“计划增产台数”与“实际生产台数”例三、（P83）涉及字母比较多（5 个），要注意消去 a2,a41例 四、（备 用 题）已 知 等 比 数 列 an 的 通 项 公 式an3()n1且：2bn a3n2 a3n1 a3n，求证：bn成 GP1证：an3()n12111bn a3n2 a3n1 a3n 3()3n33()3n23()3n122211121 1 3()3n3(1)()3n322442bn11()3bn成 GPbn2三、处理教学与测试第 41 课：例一、（P85）可利用等比数列性质 a1an=a2an1,再结合韦达定理求出 a1与an（两解），再求解。例二、（P85）考虑由前项求通项，得出数列an，再得出数列1，再求an1和注意：从第二项起是公比为的 GP2例三、（P85）应用题：先弄清：资金数=上年资金（1+50%）消费基金。然后逐一推算，用数列观点写出 a5，再用求和公式代入求解。例四、（备用题）已知数列an中，a1=2 且 an+1=Sn，求 an,Sn解：an+1=Sn又an+1=Sn+1 SnSn+1=2SnSn是公比为 2 的等比数列，其首项为 S1=a1=2,S1=a12n1=2n当 n2 时,an=SnSn1=2n1an 2n12(n 1)(n 2)例五、（备用题）是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列Sn也是等比数列，且公比相同？解：设等比数列an的公比为 q，如果Sn是公比为 q 的等比数列，则：Sn S1qn1 a1qn1na1而Sna1(1qn)1qq 1q 1q 1时,Sn a1qn1 na1S(n1)a1n1即：n1 q 1得n1 n(矛盾)Snna1nnSn11qn111q）q 1时,Sn a1qn1a（即：q q 1(矛盾)n1qSn1q所以，这样的等比数列不存在。四、作业：教学与测试P84、P86练习题第十二教时第十二教时教材教材：等比数列综合练习目的目的：系统复习等比数列的概念及有关知识，要求学生能熟练的处理有关问题。过程过程：一、处理教学与测试P87 第 42 课习题课（2）1、“练习题”1选择题。Pn2、（例一）略：注意需用性质。3、（例三）略：作图解决：AP1P3P4P2解：APn AB BP1 P1P2 P2P3 P3P41Pn1PnnB a aana21n222n2111n1 a121na1n123222二、补充例题：1、在等比数列an中，a1a3 36,a2 a4 60,Sn 400，求n的范围。解：a1a3 a1q2 36，a1q 6又a2 a4 a1q1 q260，且1 q2 0，a1q 0，2a 2a1 2或a1q 6,1 q210解之：1q 3q 3a11 qn2 3n1 400 3n 401，n 6当a1 2,q 3时，Sn1 q2（35 273 36 729）当a1 2,q 3时，Snn N*且必须为偶数n 8，（3 2187,3 6561）78n 231n 400 3 4 801，1 2、等比数列an前n项和与积分别为 S 和 T，数列的前n项和为S，an S 求证：T S2n证：当q 1时，S na1，T a1，Snnn，a1 S S1nna2n1 a1 T2，（成立）na1n1na11qna11qnqn12当q 1时，S，,T a1q,S 1n11q1qa1qq 111 S 2n1 a1qSnnnn1n12a1q2（成立）T，2综上所述：命题成立。3、设首项为正数的等比数列，它的前n项之和为 80，前2n项之和为 6560，且前n项中数值最大的项为 54，求此数列。a11 qn 8011 q解：1 qn 82 qn 812na11 q 656021 q代入（1），a11 qn 801 q，得：a1 q 1 0，从而q 1，an递增，前n项中数值最大的项应为第n项。a1qn1 54，q 1qn1 q qnn1 54,qn1qn 8154 27,q n1 3，qa1 2，此数列为2,6,18,54,1624、设数列an前n项之和为Sn，若S11,S2 2且Sn13Sn 2Sn1 0n 2，问：数列an成 GP 吗？解：Sn13Sn 2Sn1 0，Sn1 Sn 2Sn Sn1 0，即an1 2an 0即：an1 2n 2，an成 GPn 2ana2 2，a1又：a1 S11,a2 S2 S11,1n 1an不成 GP，但n 2时成 GP，即：ann1。n 22三、作业：教学与测试P87-88练习题3，4，5，6，7补充：1、三数成 GP，若将第三数减去 32，则成 AP，若将该等差数列中项减2 26 38去 4，以成 GP，求原三数。（2，10，50 或,）9992、一个等比数列前n项的和为Sn 48,前2n项之和S2n 60，求S3n。（63）13、在等比数列中，已知：a3 4,S6 36，求an。2n17精编P176-177第 2，4 题。第十三教时第十三教时教材：教材：数列求和目的：目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。过程：过程：一、提出课题：数列求和特殊数列求和常用数列的前 n 项和：1 23 n n(n 1)2135(2n 1)n2n(n 1)(2n 1)6n(n 1)213 2333 n3212 2232 n2二、拆项法：例一、（教学与测试P91 例二）1111求数列11,4,2 7,310,n1(3n 2),的前 naaaa项和。解：设数列的通项为 an，前 n 项和为 Sn，则anSn(11an1(3n 2)1112n1)1 4 7 (3n 2)aaa(13n 2)n3n2 n当a 1时，Sn n 221n(13n 2)nan1(3n 1)nan当a 1时，Sn122a an11a三、裂项法：1例二、求数列6666,前 n 项和12 23 34n(n 1)11 6()n(n 1)nn 1解：设数列的通项为 bn，则bn11111Sn b1b2bn 6(1)()()223nn 1 6(116n)n 1n 1例三、求数列111,前 n 项和1 2 1 231 2(n 1)1211 2()1 2(n 1)(n 1)(n 2)n 1n 2解：an11111111nSn 2()()()2()2334n 1n 22n 2n 2四、错位法：1例四、求数列nn前 n 项和21111解：Sn1 23 nn2482111111Sn1 23(n 1)n nn1248162211(1n)1111112n两式相减：Snn nn1212248222n112Sn 2(11n1n)22n2n12n12nan12)(n N*)，2例五、设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且Sn(求数列an的前 n 项和解：取 n=1，则a1(a112)a112又：Snn(a1 an)n(a1 an)a 12可得：(n)222an 2n 1an 1(n N*)Sn1 3 5(2n 1)n2五、作业：教学与测试P9192第 44 课练习3，4，5，6，7补充：1.求数列1,4,7,10,(1)n(3n 2),前 n 项和 3 3n n1 1n n为奇数2 2)(S Sn n3 3n nn n为偶数2 22n 32 2n n1 12.求数列n3前 n 项和(8 8n n3 3)22 23.求和：(1002992)(982972)(2212)(50505050)4.求 和：1 4+2 5+3 6+n (n+1)n n(n n1 1)(n n 5 5)()3 35.求数列 1，(1+a)，(1+a+a2)，(1+a+a2+an1)，前n项和a a 0 0时，S Sn n n na a 1 1时，S Sn nn n(n n1 1)2 2n n(n n1 1)a a a an n1 1a a 1 1、0 0时，S Sn n(1 1a a)2 2第十四教时第十四教时教材：教材：数列的应用目的：目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处理“共项”问题。过程：过程：五、例题：1 教学与测试P93 例一）大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第 k 层的临时会议室开会，问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为 a，则S a(1 2 k 1)01 2(n k)n2 n ak(n 1)k 2n 1当 n 为奇数时，取k S 达到最小值2nn 2当 n 为偶数时，取k 或S 达到最大值222在1000，2000内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个？2解：不妨设an 3n,bm 4m 1(m,n N*)，则cp为 an 与 bn 的公共项构成的等差数列(1000cp2000)an=bm,即：3n=4m+1令 n=3,则 m=2c1=9 且有上式可知：d=12cp=9+12(p1)(pN*)711 p 1661212p 取 84、85、166 共 83 项。由 1000cn2000 解得：833某城市 1991 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为 1%，每年平均新增住房面积为 30 万 m2，求 2000年底该城市人均住房面积为多少 m2？(精确到 0.01)解：1991 年、1992 年、2000 年住房面积总数成 APa1=6500=3000 万 m2，d=30 万 m2，a10=3000+930=32701990 年、1991 年、2000 年人口数成 GPb1=500,q=1%,b10 5001.019 5001.0937 546.83270 5.98 m2546.84（精编 P175例 3）从盛有盐的质量分数为 20%的盐水 2 kg 的容器中倒2000 年底该城市人均住房面积为：出 1 kg 盐水，然后加入 1 kg 水，以后每次都倒出 1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水，问：1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g？2.经 6 次倒出后，一共倒出多少 k 盐？此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则：11a1=0.2 kg,a2=0.2 kg,a3=()20.2 kg22111由此可见：an=()n10.2 kg,a5=()510.2=()40.2=0.0125222kg12.由 1.得an是等比数列a1=0.2,q=210.2(16)6a(1 q)2 0.39375 kgS6111 q120.40.39375 0.006250.006252 0.003125六、作业：教学与测试P94练习3、4、5、6、7精编P1775、6第十五教时第