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概率论与数理统计概率论与数理统计(二二)内容串讲内容串讲第一章第一章随机事件及其概率随机事件及其概率1 1 事件的关系与运算事件的关系与运算必然事件：必然事件：随机试验全部结果构成的集合。随机试验全部结果构成的集合。不可能事件：不可能事件：一般事件一般事件 A A：A 若若 A A、B B 为两事件为两事件若若A B，则其蕴含：则其蕴含：“A A 发生导致发生导致 B B 发发生”生”。若若AB A B，这表示这表示 A A 发生时，发生时，B B 必必不发生，反之亦然。不发生，反之亦然。若若 A-B=AA-B=A，则，则 AB=AB=；若若 AB=AAB=A，则，则A B；若若 A AB BA A，则，则 B BA A。若若A,A,A为为 n n 个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，12n如如UA,UA,UA Iiiii1i1i1nnnAi等等。等等。ni12ni1例例 1 1事件事件A发生等于“发生等于“A,A,A至少有至少有 1 1 个发生”个发生”。i12 2常用概率公式常用概率公式例例 3 3从五个球从五个球（其中两个白球、（其中两个白球、三个红球）三个红球）中任取两球，中任取两球，设设 A A：取到两个白球；：取到两个白球；B B：一白一红球，求：一白一红球，求P(A),P(B)（1 1）无放回抽样：）无放回抽样：P(A)C2C522111035P(B)C2C3C521（2 2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次2P(A)()5223P(B)C21()()5522()1(1)2155注注：若设：若设 X X 为两次有放回取球中取到白球数，则为两次有放回取球中取到白球数，则X2B(2,)5，从而，从而P(A)P(X 2)C224 4条件概率条件概率)（1 1）若）若P(B)0，则，则P(AB)PP(AB，其中，其中 A A 为任一事件。为任一事件。B)（2 2）乘法公式：）乘法公式：P(AB)P(A)P(B A)P(B)P(AB)P(ABC)P(A)P(B A)P(C AB)（其中（其中P(AB)0）例例 4 4箱中有两白球、三红球，箱中有两白球、三红球，A表第表第i次取到白球，则次取到白球，则iP P（“前两次取到白球”“前两次取到白球”）P(A A)P(A)P(A1212A1)2 115 410P P（“第第一一次次取取到到白白球球，第第二二次次取取到到红红球球”）2 33 P(A A)P(A)P(A A)5 41012121（3 3）全概率公式：全概率公式：设设B,B,B是一完备事件组（或是一完备事件组（或的一个的一个12n划分）划分），即：，即：B Bij，i j,i,j 1,2,n（即诸（即诸B互不相容）且互不相容）且Bini，i1则对任一事件则对任一事件 A A 有有P(A)P(AB)P(B)iii1n（4 4）BayesBayes 公式公式P(BKA)P(BK)P(ABK)P(B)P(AB)iii1n例例 5 5某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以 100100 个为一批，在进行抽样检个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取查时，只从每批中抽取 1010 个来检查，如果发现其中有次品，个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过设每批产品中的次品最多不超过4 4 个，并且恰有个，并且恰有i(i 1,2,3,4)个次品的概率如下个次品的概率如下（1 1）求各批产品通过的概率；）求各批产品通过的概率；（2 2）求通过检查的各批产品中）求通过检查的各批产品中恰有恰有 i i 个次品的概率。个次品的概率。(i 1,2,3,4)解：解：（1 1）设事件）设事件B是恰有是恰有i个次品的一批产品个次品的一批产品(i 1,2,3,4)，则由，则由i题设题设P(B0)0.1,P(B1)0.2,P(B2)0.4,P(B3)0.2,P(B4)0.1设事件设事件 A A 是这批产品通过检查，即抽样检查的是这批产品通过检查，即抽样检查的 1010 个个产品都是合格品，则我们有产品都是合格品，则我们有P(AB)1010C99P(AB1)10 0.900C1004iii01010P(AB2)C98/C100 0.8091010P(AB3)C97/C100 0.7271010P(AB4)C96/C100 0.652由全概率公式，即得由全概率公式，即得P(A)P(B)P(AB)0.8142（2 2）由）由 BayesBayes 公式，所求概率分别为公式，所求概率分别为0.11P(B A)0.1230.814200.20.9 0.2210.81420.40.809P(B2A)0.3970.81420.20.727P(B3A)0.1790.81420.10.652P(B4A)0.0800.8142P(B1A)5 5事件的独立性事件的独立性（1 1）定义：）定义：A A、B B 相互独立等价于相互独立等价于P(A B)P(A)P(B)（2 2）若）若A,A,A相互独立，则有相互独立，则有P(A A A)P(A)P(A)P(A)12n12n12n（3 3）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。）有放回抽样中的诸事件是相互独立的。例例 6 6袋中有袋中有 3 3 白球，白球，2 2 个红球，今有放回的抽取个红球，今有放回的抽取 3 3 次，次，求先后抽到（白、红、白）的概率求先后抽到（白、红、白）的概率解解：设设Ai表表 第第i次次 抽抽 到到 的的 白白 球球，则则 所所 求求 为为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)3 2 3275 5 5125（4 4）在）在 n n 重贝努利（重贝努利（BernoulliBernoulli）试验中，若每次试验事）试验中，若每次试验事件件 A A 发生的概率为发生的概率为，即即P(A)p(0 p 1)，则事件则事件 A A 发生发生 K K 次的概次的概率为率为P(k)Cnknpk(1 p)nk,k 0,1,2,n例例 7 7一射手对同一目标独立射击一射手对同一目标独立射击 4 4 次，每次射击的命中次，每次射击的命中率为率为 0.80.8，求：，求：（1 1）恰好命中两次的概率；）恰好命中两次的概率；（2 2）至少命中一次）至少命中一次的概率。的概率。解：由于每次射击相互独立，故本题可视为解：由于每次射击相互独立，故本题可视为n 4的贝努利的贝努利试验，其中试验，其中p 0.8（1 1）设设P(A2)P4(2)C4(0.8)2(0.2)22：“4 4次次 射射 击击 恰恰 命命 中中 两两 次次”，则则 0.1536A20（2 2）设）设 B B：“4 4 次射击中至少命中一次”次射击中至少命中一次”，A表“表“4 4 次次皆未命中”皆未命中”，则，则P(B)P(A0)1 P(A0)1 P4(0)1C4(0.8)0(0.2)4 0.99840第二章第二章随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布1 1 离散型随机变量离散型随机变量P(X xk)pK 0p 1KK例例 1 1 设设，则，则c 10.50.2 0.32 2常见离散型随机变量常见离散型随机变量（1 1）0 01 1 分布：设分布：设XB(1,p)，则，则应用背景：一次抽样中，某事件应用背景：一次抽样中，某事件 A A 发生的次数发生的次数XB(1,p)，其中其中p P(A)P(X 1)EX例例 2 2设某射手的命中率为设某射手的命中率为 p p，X X 为其一次射击中击中目标为其一次射击中击中目标的次数，则的次数，则 X XB(1,p)（2 2）二项分布：设）二项分布：设 X XB(n,p)，则，则P(X k)C应用背景：应用背景：n n 次独立重复抽样中某事件次独立重复抽样中某事件 A A 发生的次数发生的次数 X XB(n,p)knpk(1 p)nk,k 0,1,2,L,n，其中，其中p P(A)为事件为事件 A A 在一次抽样中发生的概率。在一次抽样中发生的概率。例例某射手的命中率为某射手的命中率为 0.80.8，X X 为其为其 5 5 次射击中命中目次射击中命中目P(X k)C标的次数，标的次数，则则X X取的可能值为取的可能值为0,1,5，k20.8k0.25k，即即X XB(5,0.8)记住：若记住：若 X XB(n,p)，则，则EX np,DX np(1 p)（3 3）泊松（）泊松（PoissonPoisson）分布）分布若若P(X k)EX DXKk!e,k 0,1,2,L则称则称 X X 服从参数服从参数的泊松分布，且的泊松分布，且，记，记 X XB()，0应用背景：应用背景：偶然性事件发生的次数偶然性事件发生的次数 X X 一般服从某个参数的一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。另外，另外，当当Y YB(n,p)，且且n n很大，很大，P P很小时，很小时，令令 np，则则P(Y k)k!ek例例 4 4一个工厂生产的产品中的次品率一个工厂生产的产品中的次品率 0.0050.005，任取，任取 10001000件，计算件，计算解：设解：设 X X 表任取的表任取的 10001000 件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则X XB(100,0.005)，由于，由于 n n 很大，很大，p p 很小，令很小，令 np 5则则（1 1）505515P(X 2)1 P(X 0)P(X 1)1ee1e55e516e50!1!5k5P(X 5)ek0k!5（2 2）3 3随机变量的分布函数：随机变量的分布函数：X X 的分布函数为的分布函数为F(X)P(X x)F(x)，x 若若x x2的性质：的性质：0 F(x)11，则，则F(x)F(x)021F()0,F()1P(X b)F(b)，P(a X b)F(b)f(a),P(X b)1 F(b)例例 5 5设设 X X 的分布函数的分布函数a _a bex,x 0F(x)x 00,，其中，其中 0，则，则b=_.b=_.解：由解：由F()1知知a 1（因为（因为F()lim(a bexx)a）x由由F()0，及题设，及题设x 0时时F(x)0，故，故lim F(x)(a bex0)(1b)0综上有综上有1ex,x 0F(x)x 00,，即，即a 1,b 1例例 6 6设设 X X 的分布函数的分布函数求求x 10,F(x)ln x,1 x e1,x eP(X 2),P(0 X 3),P(2 X 2.5)解：解：P(X 2)F(2)ln2P(0 X 3)F(3)F(0)10 1P(2 X 2.5)F(2.5)F(2)ln2.5ln2 ln1.254 4 连续型随机变量连续型随机变量若若P(X(a,b)baf(x)dx，其中，其中a b任意，则称任意，则称 X X 为连续型随机变为连续型随机变；f(x)F(x)f(x)0f(x)dx 1量。量。此时，此时，F(x)其中其中律的性质：律的性质：f(x)xf(u)du为为 X X 的概率密度，满足的概率密度，满足相对照）相对照）（注意与分布（注意与分布PK 0P 1KK例例 7 7设设 X X 的概率密度为的概率密度为解：由解：由5 5常见连续型随机变量常见连续型随机变量c,x 1f(x)0,x 1，则，则 c=_c=_f(x)dx 1知知cdx 2c 1，故，故c 1211（1 1）均均 匀匀 分分 布布：设设 X X U(a,b)，则则x a 0,x aF(x),a x bb ax b1,a bEX 2 1,a x bf(x)ba0,其他，(b a)2DX 12例例 8 8设设 X XU(a,a)，且，且P(X 1)1，则，则 a=_a=_3解：易知解：易知a 1且且（2 2）指数分布指数分布E()设设XE()，则则EX 1DX，2a1f(x)dx 13，即，即a111dx 2a3解得解得a 3ex,x 0f(x)x 00,，1ex,x 0F(x)x 00,1应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。等。例例 9 9 设设 X X 为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用 t t时，仍能正常工作的概率（设时，仍能正常工作的概率（设 X XE()）解：由题意所求为解：由题意所求为P(X t)edx extt（3 3）正态分布）正态分布N(,)，设，设XN(,)，则，则22221e(x)/22f(x)F(x)，x 2xf(u)du*，EX,DX*x特别，当特别，当XN(0,1)时，称时，称X服从标准正态分布，其密度函服从标准正态分布，其密度函数记为数记为(x)12ex2/2分布函数记为分布函数记为(x)*(u)du常用公式：若常用公式：若XN(0,1)，则，则(x)1(x)，(x)(x)1P(X 0)P(X 0)(0)2*P(X*a)2(1(a)P(X*a)2(a)1P(X*1.96)0.975*，P(X u)2a)()若若XN(,)，则，则P(a X b)(bF(x)(x)6.6.简单随机变量函娄的概率分布简单随机变量函娄的概率分布例例 1010设设，求，求Y X的概率分布。的概率分布。2解：由题设，解：由题设，X X 的可能值为的可能值为1,0,1，故，故X的可能值为的可能值为0,12而而P(Y 0)P(X2 0)P(X 0)1323P(Y 1)P(X21)P(X 1)(X 1)P(X 1)P(X 1)故故例例 1111设设 X XN(0,1)，求，求Y X的分布密度函数的分布密度函数2解：先求解：先求 Y Y 的分布函数：的分布函数：F(y)0，当，当y 0；当；当y 0时时F(y)P(X y)P(y X y)(y)(y)Y2Y再求再求 Y Y 的分布密度函数的分布密度函数f(Y)F(y)(y)(y)YY故故(y)1y12 y(y)12y12 y(y)ey/2(y 0)0,y 0fY(y)1ey/2,y 02y第三章第三章多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布1 1 二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)P(X x,Y y)X X 的分布函数的分布函数F1(x)limyF(x,y)F(x,)Y Y 的分布函数的分布函数F2(y)limxF(x,y)F(,y)xlimF(x,y)0 ylimF(x,y)2 2 离散型离散型(X,Y)的分布律的分布律PijPij P(X xi,Y yi)0比较）比较）P（与（与PK 0ij1ijPK1KPi P(X xi)PijjPj P(Y yi)Piji例例设设(X,Y)的分布律为的分布律为求（求（1 1）a?（2 2）P(X 0)（3 3）P(Y 2)（4 4）P(X 1,Y 2)（5 5）P(X Y)解解：（1 1）由由Pij1ij13Pij(P01 P02 P03 P11 P12 P13)0.10.10.30.25 a 0.25 1i0j1知知解得解得a 0（2 2）P(X 0)Pj130 j P01 P02P03 0.10.10.3 0.5）（11i0i03 3P(Y 2)P(Y 1)P(Y 2)P1 P2Pi1Pi2(0.1 0.25)(0.1 0)0.45（5 5）P(X Y)P3 3 连续型连续型(X,Y)的分布密度的分布密度 0.254 4P(X 1,Y 2)P(X 0,Y 2)P(X 0,Y 1)P(X 0,Y 2)P01 P02 0.1 0.1 0.211设设 D D 为平面上的区域，为平面上的区域，f(x,y)为为(X,Y)的分布密度，的分布密度，则其满足：则其满足：f(x,y)0f(x,y)dxdy 1DxyP(X,Y)D)f(x,y)dxdy特别，特别，F(x,y)P(X x,Y y)2F(x,y)f(x,y)xyf(u,v)dudv1212若若 X X，Y Y 相互独立，则有相互独立，则有F(x,y)F(x)F(y)，f(x,y)f(x)fF(y),f中中F(x),f(x)分别为分别为 X X 的边缘分布函数和分布密度，的边缘分布函数和分布密度，1122(y)，其，其(y)分别为分别为Y Y 的边缘分布函数和分布密度。的边缘分布函数和分布密度。4 4常见二维连续型分布常见二维连续型分布（1 1）平面区域平面区域 D D 上的均匀分布：上的均匀分布：设设 D D 的面积为的面积为S，(X,Y)服服D从从 D D 的均匀分布，则的均匀分布，则(X,Y)的分布密度为的分布密度为例例 2 2设设D(x,y):x则则SD2 1,(x,y)Df(x,y)SD0,其他 y21，即，即 D D 为为 xyxy 平面上的单位园域，平面上的单位园域，122,x y 1f(x,y)0,其他，设，设(X,Y)服从服从 D D 上的均匀分布，则其上的均匀分布，则其*解：解：设设(X,Y)具有具有 D D 上的均匀分布，上的均匀分布，A A 为平面上的某一区域，为平面上的某一区域，则则P(X,Y)A)SS，其中，其中S表示表示 A A 与与 D D 公共部分的面积。公共部分的面积。ADDAD例例 3 3（续例（续例 2 2）求）求P(X 0,Y 0)41解：解：P(X 0,Y 0)4（2 2）二维正态分布二维正态分布N(,1221,22,)*，设设(X,Y)具有该分布，具有该分布，则则其概率密度为其概率密度为f(x,y)1212(x1)2(x1)(y2)(y2)21exp2 22222(1)11122*x ,y ,1 0,2 0,P 1,i,i 1,2211此时此时 X X 的边缘密度的边缘密度EX 1,DX 12f1(x)121e(x1)2/212，即，即XN(,)故故2(y)Y Y 的边缘密度的边缘密度f122e(y2)2/222，即，即 Y YN(,)，故，故EY M，2222DY 2212P P 为为 X X，Y Y 的相关系数，可知当的相关系数，可知当P 0时，时，f(x,y)f(x)fY Y 相互独立，这是一个重要结论：相互独立，这是一个重要结论：在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。在正态分布的场合：不相关等价于相互独立。另外，可知另外，可知Cov(X,Y)DX DY 12(y)，即，即X X，*例例 4 4设设 X XN(0,4)，Y YN(1,1)，两者相互独立，求，两者相互独立，求(X,Y)的分的分布密度布密度f(x,y)解：由解：由X,Y相互独立知相互独立知(X,Y)f(x,y)f(x)f12(y)1ex2/(24)第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征1 1 单个随机变量的期望单个随机变量的期望xiP(X xi),X为离散型EX ixf(x)dx,X为连续型2112e(y1)2/21 x212exp(y 1)442例例 1 1设设，则则1111EX 1 032444例例2 2设设X X的的 分分 布布 密密 度度 为为x32EX xf(x)dx x(2x)dx 2x dx 20031112x,0 x 1f(x)0,其他，则则0232 2 单个随机变量函数的期望单个随机变量函数的期望设设 X X 为随机变量，为随机变量，y g(x)是普通函数，是普通函数，则则Y g(X)是随机变量，是随机变量，且且g(xi)p(X xi),当X为离散型Eg(X)ig(x)f(x)dx,当X为连续型，且X具有密度f(x)*例例 3 3设设 X X 的分布如例的分布如例 1 1，求，求g(X)X的期望的期望3解：解：EX3(1)311125 03332444例例 4 4设设 X X 的分布密度的分布密度f(x)如例如例 2 2，求，求g(X)1X的期望的期望解：解：E(X)x f(x)dx 105/21x4x 2xdx 2x3/2dx 205132 02当当g(x)(x)（其中（其中EX）时，）时，Eg(X)E(X)2 DX，即为，即为X X 的方差的方差(xi)2P(X xi)DX E(X)2 EX22i(x)2f(x)dx例例 4 4 设设则则EX (1)111 0221，EY 10110 022DX EX2(EX)2 EX2(1)2DY (10)211(10)2100221211 122（方差大者，取值分散）（方差大者，取值分散）注注：DX EX2(EX)2是重要常用公式是重要常用公式1 x,1 x 0f(x)1 x,0 x 10,其他例例 5 5设随机变量设随机变量 X X 具有概率密度具有概率密度2，求，求 DXDX解：因解：因f(x)是分段函数，故求是分段函数，故求EX,EX时也要随之分段积分时也要随之分段积分EX xf(x)dx x(1 x)dx x(1 x)dx 00110EX2x2f(x)dx x2(1 x)dx x2(1 x)dx 100116于是于是DX E(X3 3(X,Y)函数的期望函数的期望2)(EX)216设设Z g(x,y)是普通函数，则是普通函数，则Z g(X,Y)是随机变量，其数学期望是随机变量，其数学期望EZEZ 等于等于g(xi,yi)P(X xi,Y yj)g(xi,yj)Pij,当(X,Y)为离散型ijijEZ Eg(x,y)g(x,y)f(x,y)dxdy,当(X,Y)为连续型，且具有分布密度f(x,y)例例 6 6设设(X,Y)分分布布律为律为，Z g(X,Y)XY则则E(XY)(00)P例例设设(X,Y)的分布密度的分布密度Eg(X,Y)E(XY)00(01)P01(10)P10(11)P11(11)P11111662,0 x 1,0 y xf(x,y)0,其他，则，则xyf(x,y)dxdy1x0100 xxy2dxdy 2x(01y2ydy)dx 2x()dx0201x12x43x dx 041014，则，则当当g(x,y)(x)(y)时，其中时，其中E(g(X,Y)E(X 1)(Y 2)Cov(X,Y)E(X 1)(Y 2)1 EX,2 EY是是 X X，Y Y 的协方差，即的协方差，即（重点）（重点）21121 E(XY)EX EY2y)当当g(x,y)(x)(时，其中时，其中EX,EY,DX 12,DY 22(X 1)(Y 2)E(X 1)(Y 2)Cov(X,Y)Eg(X,Y)E121212*为为 X X，Y Y 的相关的相关系数系数期望期望E()的重要性质的重要性质（1 1）EC c（常数）（常数）（2 2）E(CX)CEX（3 3）E(X Y)E(X)E(Y)推广：推广：E(aX bY c)aEX bEY c（4 4）若）若 X X，Y Y 相互独立，则相互独立，则E(XY)EX EY方差方差D()的重要性质的重要性质（1 1）D(c)0D(X c)DX，其中，其中 c c 为常数为常数2（2 2）D(cX)c DX特别特别D(X)D(X)（3 3）若）若 X X，Y Y 相互独立，则相互独立，则D(X Y)DX DYD(X Y)DX DY（4 4）D(X Y)DX DY 2Cov(X,Y)例例 设设 X X，Y Y 相互独立，且相互独立，且DX 3,DY 4，则，则D(X Y)DX DY 7D(3X 4Y)32DX (4)2DY 91D(aX bY)a2DX b2DY协方差协方差Cov(,)的运算性质：的运算性质：（1 1）Cov(X,Y)Cov(Y,X)（2 2）Cov(aX,bY)abCov(X,Y)，其中，其中 a a，b b 为常数为常数（3 3）Cov(XY Y 不相关不相关注注：一般地，若：一般地，若 X X，Y Y 独立，则独立，则 X X，Y Y 必不相关（即必不相关（即Cov(X,Y)01 X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)（4 4）若）若 X X，Y Y 相互独立，则相互独立，则Cov(X,Y)0，从而，从而P 0，即，即 X X 与与）；反之不真，即；反之不真，即 X X，Y Y 不相关推不出不相关推不出 X X，Y Y 独立。独立。重要特例是：若重要特例是：若(X,Y)为正态分布，则为正态分布，则X X，Y Y 独立等价于独立等价于 X X，Y Y 不相关（即不相关（即P 0）例例设设(X,Y)的分布律为的分布律为，求，求EX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),Pxy解：易知解：易知11131故故EX (1)11,442EY (1)3111 442，EX2211134,EY213DX EX2(EX)21()224，DY 1(1)211111Cov(X,Y)E(XY)EXEY(1)1()()22224XYCov(X,Y)0.251DXDY0.75 0.753*例例设设(X,Y)N(1,1,4,9,1)，则，则Cov(X,Y)21212332*例例设设(X,Y)为连续型，则为连续型，则 X X 与与 Y Y 不相关的充分必要条不相关的充分必要条件是件是_（选择题）（选择题）（A A）X X，Y Y 独立独立（B B）E(X Y)EX EY（C C）E(XY)EX EY（D D）(X,Y)N(,1221,2,0)2解法解法 1 1（排除法）（排除法）：排除排除（A A），因因 X X，Y Y 独立独立 X,Y不相关不相关（故（故非充要条件）非充要条件）；排除（；排除（B B），这一等式成立不需任何条件；排除，这一等式成立不需任何条件；排除（D D），由，由(X,Y)服从正态分布及服从正态分布及P 0知知 X X，Y Y 独立，从而不相关，独立，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论但并非正态场合才有这一结论故选（故选（C C）解法解法 2 2（直接证明）（直接证明）：当：当E(XY)EXEY时，时，Cov(X,Y)E(XY)-EXEY 0，故故 X X，Y Y 不相关；反之亦然。不相关；反之亦然。第五章第五章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 1 贝努利大数定律贝努利大数定律贝努利大数定律：设贝努利大数定律：设P(A)P，nn为为 A A 在在 n n 次观测中发生的次观测中发生的A频率，则对任给的正数频率，则对任给的正数有有limP(nnnA P)12 2 中心极限定理中心极限定理设设X,X12,相互独立，相互独立，同分布，同分布，从而它们有相同的期望从而它们有相同的期望和相和相同的方差同的方差 2nXi nlimPi1 x(x)nn，其中，其中(x)为标准正态分布函数为标准正态分布函数注注：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，正态分布，即当即当 n n 很大时很大时X近似某正态分布近似某正态分布N(,)，为了便于为了便于2nii1查表近似计算，将查表近似计算，将X标准化（从而标准化后其近似分布标准化（从而标准化后其近似分布N(0,1)）ii1nnX EXiii1i1nDXii1nXi1ninnnXi nPi1 x(x)n故上述随机变量的分布函数故上述随机变量的分布函数F(x)(x)，即，即n在应用中心极限定理，大多用上式的形式在应用中心极限定理，大多用上式的形式更进一步的特别场合为：若更进一步的特别场合为：若X,X12,相互独立同相互独立同B(1,P)分布时，分布时，上式化为上式化为nXi npPi1 x(x)npq(q 1 p)这一式子在应用也较为常用这一式子在应用也较为常用例例 1 1计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互独立的随机变量的随机变量X,X,，且都服从，且都服从(0.5,0.5)，求，求 300300 个数相加的误差个数相加的误差12总和的绝对值小于总和的绝对值小于 1010 的概率。的概率。解解：易易知知第第 i i 个个加加数数的的误误差差X满满足足：X(0.5,0.5)，ii1EXi 0,DXi12，故，故1300300n 0DXi DXi 300 2512i1i1故所故所300X 0i300i1PX10 P 2 2(2)1 0.9544i1i130012第六章第六章统计量及其抽样分布统计量及其抽样分布1 1设总体设总体XF(x),f(x)则其样本则其样本x,x,x相互独立，同分布相互独立，同分布F(x)，n n 为样本容量为样本容量12n从而从而(x,x,x)F(x,x,x)F(x)F(x)F(x)12nn12ni1ni1f(x,x,x)f(x)f(x)12ni1i1nf(xn)例例 1 1设总体设总体 X XN(,)，则则f(x)212e(x)2/22从而其样本的联从而其样本的联合密度函数为合密度函数为(x1,xn)1f(x1,xn)2n1 exp22(x)ii1n22 2常见统计量常见统计量常见统计量：设总体为常见统计量：设总体为 X X，x,x,x为其样本，为其样本，EX,DX 212n不含任何未知参数的样本不含任何未知参数的样本(x,x)的函数称为统计量的函数称为统计量1n（1 1）样本均值）样本均值都成立。都成立。1nx xini1，Ex，DX 2n，这结论对任何总体，这结论对任何总体进一步的，若总体进一步的，若总体 X XN(,)，则，则XN(,22n)，从而，从而U x/nN(0,1)1nS(xi x)2n 1i12（2 2）样本方差）样本方差ES22，S2n1n(xi x)ni12，ESnn 12n22（3 3）若总体）若总体 X XN(,)，则有，则有x与与s相互独立，且相互独立，且x 2(n1)s2212(xi1n2i x)x2(n 1)t x s/nt(n 1)*1n1m（4 4）若总体）若总体 X X 与总体与总体 Y Y 相互独立，相互独立，x,x与与Y,Y分别为其分别为其样本，样本，X XN(,)，Y YN(,)221122S121n1m22(yi y)(xi x),S2m1n1i1i1U(x y)(12)2，其中，其中1nx xini1，1my yimi1，则，则2221n22 N(0,1)mF S1/122S2/2F(n 1,m 1)进一步的，若进一步的，若t(x y)(12)Sw11nm2w2122，则有，则有t(m n 2)22其中其中S3.3.关于关于x2(n 1)S1(m 1)S2n m 2,t,F分布的密度曲线及分位数分布的密度曲线及分位数2（1 1）x分布分布若若xx22(n)，则，则Ex22 n,Dx2 2n，P(x2 x(n)2从而从而P(x2 x(n)1而而 F F 分布的密度曲线与上图相似。分布的密度曲线与上图相似。（2 2）t分布分布若若tt(n)，则，则Et 0P(t t(n)t t 分布的密度曲线分布的密度曲线f(x)关于关于 y y 轴对称，故有轴对称，故有 t(n)t1(n)例例设总体设总体XU(1,1)，x是容量是容量 n n 的样本均值，求的样本均值，求E(x),D(x)解：由总体解：由总体XU(1,1)，知，知EX 0，DX 221213，0,213故故Ex 0，DX 2/3n1n13n例例 设设 总总 体体 X X N(,2)，x1,x2,xn为为 其其 样样 本本，En(xi x)2 (n1)2i1证明：证明：1n2(xi x)2x2(n 1)i12E12n(xi x)(n i11)即即2nE(xx)i(n 1)2i1第七章第七章参数估计参数估计1 1矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量设设 X X 为总体，为总体，EX，DX 2，x1,x2,xn为其样本为其样本则则的矩估计的矩估计 x2的矩估计的矩估计22 S2n1nn(xi x)i1则则x,x,x为其样本，为其样本，例例 1 1设总体设总体XN(,)，其中其中,皆未知，皆未知，2212n求求,的矩估计的矩估计2 x解：因为解：因为EX，故，故DX 2，故，故2 Sn2例例 2 2设总体设总体XU(0,)，0未知，求未知，求的矩估计的矩估计 2x，即为，即为解：因为解：因为EX，故，故，由此解得，由此解得 x（矩法方程）（矩法方程）22的矩估计的矩估计例例 3 3设总体设总体XB(1,P)，其中，其中0 P 1，未知，未知x,x,x为其样本，为其样本，12n求求 P P 的矩估计的矩估计 x解：由解：由EX P，故，故 P P 的矩估计的矩估计P2 2极大似然估计极大似然估计设总体设总体 X X，具有概率密度函数，具有概率密度函数f(x;)，H H其中其中为未知参为未知参数，其变化范围为数，其变化范围为H H，x,x,x为其样本，则似然函数为为其样本，则似然函数为12nL()f(xi;)i1nLL若存在若存在使使L()maxL(),H H，则称，则称为为的极大似然估计的极大似然估计L一般求法：由题设，求出一般求法：由题设，求出L()f(x;)的表达式的表达式ii1n取对数：取对数：lnL()ln f(x;)*ii1n求导并令其等于求导并令其等于 0 0，建立似然方程，建立似然方程ddlnL()0*解之即得解之即得的极大似然估计的极大似然估计2例例 4 4 设设x,x,x是是总总体体 X X 的的样样本本，总总体体概概率率密密度度为为12n(1),x 1xf(x;),其他0,(1)2求求的矩估计的矩估计和极大似然估计和极大似然估计1解：解：（1 1）由）由EX 1xx(1)dx n1 x解得解得n(1)ii11xx 1为为之矩估计之矩估计(1)（2 2）似然函数）似然函数L()f(x;)xii1nnxii1ln L()nln(1)ln xii1n*d ln L()nnln xi 0di1解解 得得的的 极极 大大 似似 然然 估估 计计2nln xi1ni例例 5 5设总体设总体 X XU(0,)，0，x,x,x为其样本，为其样本，求求的极大的极大12n似然估计似然估计解：解：由于按常规方法建立的似然方程无解，故用极大似由于按常规方法建立的似然方程无解，故用极大似然估计的定义解之然估计的定义解之设设x(n)maxx,x,x12n欲使似然函数欲使似然函数L()f(x;)1达最大，取达最大，取 x(n)即可即可ii1nn注注3 3估计量的评价标准估计量的评价标准 1,0 x1,x2,xnL()n0,其他（1 1）无偏性：若）无偏性：若E，则，则为为的无偏估计的无偏估计（2 2）有效性：若）有效性：若、皆为皆为之无偏估计，且之无偏估计，且 D D121 D2，则，则 0称称较较有效有效（3 3）相合性：相合性：若若的估计量的估计量12n(x,x)1n满足满足limEnnlimD，nn，则称则称为为之相合估计之相合估计n4 4参数的区间估计参数的区间估计设总体设总体XN(,)，x,x,x为其样本为其样本212n则则的置信度的置信度(1)的区间估计为的区间估计为（1 1）已知时；已知时；x 2nu/2,x u/2n（2 2）未知时；未知时；2sst(n 1),x t(n 1)x n2n2（见书中（见书中 P.162P.162表）表）例例 6 6设总体设总体XN(,)，且，且 4,x 12,n 12，则，则的的 0.950.95 置置22信区间为信区间为4x u 121.96 11.347,12.65312n2注请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表注请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表第八章第八章假设检验假设检验1 1 假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的例例 1 1设总体设总体XN(,1)，其中，其中未知，未知，x,x,x为其样本为其样本12n试在显著性水平试在显著性水平下检验假设下检验假设H0:0；H1:0:0这这里里，即即为为小小概概率率事事件件的的概概率率，当当Hu x 00真真时时，/nx 01/n/2N(0,1)则则P(u u)即事件即事件(u u0/2即为小概率事件，当它发生时，即认为原假即为小概率事件，当它发生时，即认为原假1设设H不真，从而接受对立假设不真，从而接受