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教学目的：教学目的：第四章第四章不定积分不定积分1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点：教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。教学难点：教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。4 4 1 1不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、教 学 目 的 与 要 求：12理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式。二、重 点、难 点：原函数与不定积分的概念三、主 要 外 语 词 汇：At first function，Be accumulate function，Indefinite integral，Formulasintegralselementary forms.四、辅 助 教 学 情 况：多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版（修 改）五、参 考 教 材（资 料）：同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义 1 1如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x)即对任一 xI 都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数例如 因为(sin x)cos x 所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x(1)时因为(x)1 所以x是1的原函数2 x2 x提问:cos x 和1还有其它原函数吗？2 x原函数存在定理如果函数f(x)在区间 I 上连续 那么在区间I 上存在可导函数F(x)使对任一 xI 都有F(x)f(x)简单地说就是 连续函数一定有原函数两点说明第一 如果函数f(x)在区间I 上有原函数F(x)那么f(x)就有无限多个原函数 F(x)C都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C(C 为某个常数)定义定义 2 2在区间I上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或 f(x)dx)在区间I 上的不定积分 记作f(x)dx其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即f(x)dxF(x)C因而不定积分f(x)dx可以表示 f(x)的任意一个原函数例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数 所以cosxdxsinxC因为x是1的原函数 所以2 x21dx xCx例 2.求函数f(x)1的不定积分x解：当 x0 时(ln x)1x1dxlnxC(x0)x当 x0 时 ln(x)1(1)1xx1dxln(x)C(x0)解:设 xa sin tt那么a2x2a2a2sin2t acost22dxa cos t d t于是a2x2dxacostacostdta2cos2tdt a2(1t1sin2t)C24因为t arcsin22x,sin2t2sintcost2xa x所以aaa2a2x2dxa2(1t1sin2t)Caarcsinx1x a2x2C2a224解:设 xa sin tt那么22a2x2dxacostacostdt2a2cos2tdt a2(1t1sin2t)Caarcsinx1x a2x2C2a224提示:a2x2a2a2sin2t acostdxacos tdt22提示:tarcsinx,sin2t2sintcost2xa xaaa例 20.求dx(a0)x2a2解法一设 xa tan tt那么22x2a2 a2a2tan2ta 1tan2ta sec tdxa sec 2t d t于是2dxasec tdt sectdt ln|sec t tan t|Casectx2a222因为sectx atantx所以aadx ln|sec t tan t|Cln(xx2a2)Cln(xx2a2)C1aax2a2其中 C 1Cln a解法一设 xa tan tt那么22dxasec2tdt sectdtln|secttant|Casectx2a222ln(xx a)Cln(xx2a2)C1aa其中 C 1Cln a提示:x2a2 a2a2tan2tasectdxa sec 2t dt22提示:sectx atantxaa解法二:设 xa sh t那么dxach tdt dt tC arshxCach tax2a2lnx(x)21Cln(xx2a2)C1aa其中 C 1Cln a提示:x2a2 a2sh2ta2a ch tdxa ch t d t例 23.求dx(a0)x2a2解:当 xa 时设 xa sec t(0t)那么2x2a2 a2sec2ta2a sec2t1a tan t于是dxasecttantdt sectdt ln|sec t tan t|Catantx2a222因为tantx asectx所以aadx ln|sec t tan t|Cln|xx2a2|Cln(xx2a2)C1aax2a2其中 C 1Cln a当 xa于是dxduln(u u2a2)Cx2a2u2a2ln(xx2a2)C ln(x x2a2)C12a2Cln(x x2a2)Clnx x1a2其中 C 1C2ln a综合起来有dxln|x x2a2|C22x a解:当 xa 时设 xa sec t(0t)那么2dxasecttantdt sectdtatantx2a222ln|secttant|Cln(xx a)Caaln(x x2a2)C其中 C 1Cln a当 xa于是dxduln(u u2a2)Cx2a2u2a22a2Cln(x x2a2)Clnx xa2ln(x x2a2)C1其中 C 1C2ln a提示:x2a2 a2sec2ta2a sec2t1atant22提示:tantx asectxaa综合起来有dxln|x x2a2|Cx2a2补充公式(16)tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|C(18)secxdxln|secxtanx|C(19)cscxdxln|cscxcotx|C(20)(21)(22)(23)(24)1dx1arctanxCaaa x221dx1ln|xa|C2axax a221dxarcsinxCaa2x2dxln(x x2a2)Cx2a2dxln|x x2a2|Cx2a2 4 4 3 3分部积分法分部积分法一、教 学 目 的 与 要 求：掌 握 分 部 积 分 公 式，并 会 灵 活 运 用。二、重 点、难 点:用 分 部 积 分 公 式 时 的 u 和 dv 的 选 取三、主 要 外 语 词 汇:Divide a department integral四、辅 助 教 学 情 况：多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版（修 改）五、参 考 教 材（资 料）：同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版设函数 uu(x)及 vv(x)具有连续导数那么两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv移项得uv(uv)uv对这个等式两边求不定积分得uvdxuvuvdx或udvuvvdu这个公式称为分部积分公式分部积分过程:uvdxudvuvvduuvuvdx例 1xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxx sin xcos xC例 2xexdxxdexxexexdxxexexC例 3x2exdxx2dex x2exexdx2x2ex2xexdxx2ex2xdexx2ex2xex2exdxx2ex2xex2exCex(x22x2)C例 4xlnxdx1lnxdx21x2lnx1x21dx222x1x2lnx1xdx1x2lnx1x2C2224例 5arccosxdx xarccosxxdarccosxxarccosxx1dx1x21xarccosx1(1x2)2d(1x2)xarccosx 1x2C2111dx例 6xarctanxdx1arctanxdx2x2arctanxx22221x2111)dxx2arctanx(1221x21x2arctanx1x1arctanxC222例 7 求exsinxdx解 因为exsinxdxsinxdexexsinxexdsinxexsinxexcosxdxexsinxcosxdexexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexdcosxexsinxexcosxexsinxdx所以exsinxdx1ex(sinxcosx)C2例 8 求sec3xdx解 因为sec3xdxsecxsec2xdxsecxd tanxsecxtanxsecxtan2xdxsecxtanxsecx(sec2x1)dxsecxtanxsec3xdxsecxdxsecxtanxln|secxtanx|sec3xdx所以sec3xdx1(secxtanxln|secxtanx|)C2例 9 求Indx其中 n 为正整数(x2a2)ndx1x解I122arctanCax aa当 n1 时，用分部积分法有2dxxx22 n122 n12(n1)22 ndx(x a)(x a)(x a)x1a2dx2(n1)(x2a2)n1(x2a2)n(x2a2)n1x 2(n 1)(In1 a2In)22n1(x a)即In1于是In12x2 n1(2n3)In12a(n1)(x a)2以此作为递推公式并由I11xarctan C即可得Inaa例 10 求exdx解 令 xt 2则dx2tdt于exdx 2tetdt2et(t1)C2ex(x1)Cexdxexd(x)22xexd x2xdex2 xex2exd x2 xex2exC 2ex(x1)C第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分f(x)(x)dxf(x)d(x)令(x)uf(u)duu(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)哪些积分可以用分部积分法？xcosxdxxexdxx2exdxxlnxdxarccosxdxxarctanxdxexsinxdxsec3xdx2xexdxexdx2eudux2exdxx2dexx2exexdx2 4 4 4 4有理函数的积分有理函数的积分一、教 学 目 的 与 要 求：会求有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分。二、重 点（难 点）：有理函数的积分。三、主 要 外 语 词 汇：Have the reason function integral四、辅 助 教 学 情 况：多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版（修 改）五、参 考 教 材（资 料）：同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版22一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:P(x)a0 xna1xn1an1xanQ(x)b0 xmb1xm1bm1xbm其中m和n都是非负整数a0a1a2 an及b0b1b2 bm都是实数并且a00b00当nm时称这有理函数是真分式而当 nm 时称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式例如x3x1x(x21)1x1x21x21x21真分式的不定积分求真分式的不定积分时如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式再积分例 1 求解x3dxx 5x62x25x6dx(x2)(x3)dx(x3x2)dxx3x3656dx5dx6ln|x3|5ln|x2|Cx3x2提示(AB)x(2A3B)x3AB(x2)(x3)x3x2(x2)(x3)AB1 3A2B3A6B5分母是二次质因式的真分式的不定积分例 2 求解x2dxx22x312x21x22x3dx(2 x22x33x22x3)dxx212x2dx31dx222x 2x3x 2x3d(x22x3)d(x1)3122x 2x3(x1)2(2)21ln(x22x3)3arctanx1C2221(2x2)3提示2x22212x2321x 2x3x 2x32 x 2x3x 2x3例 3 求解1dxx(x1)2111x(x1)2dxxx1(x1)2dx11C1dx1dx12dxln|x|ln|x1|x1xx1(x1)提示11xx11x(x1)(x1)2x(x1)2x(x1)21xx121112x(x1)(x1)xx1(x1)二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例1 1。三角函数有理式的积分。三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sin x 及 cos x 的有理式表示故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式用于三角函数有理式积分的变换:把 sin x、cos x 表成tanx的函数然后作变换utanx222tanx2tanx222usinx2sinxcosx22sec2x1tan2x1u2221tan2x21u2cosxcos2xsin2x22sec2x1u22变换后原积分变成了有理函数的积分例 4 求1sinxdxsinx(1cosx)22du1ux2u解 令utan则sinxcosxx2arctan udx2221u1u21u(12u2)2du1(u21)du1u于是1sinxdx22u2u(11u)1u2sinx(1cosx)1u21u221xx1x1 u(2uln|u|)Ctan2tanln|tan|C2242222解 令utanx则2(12u2)1u22du1sinxdx2sinx(1cosx)2u(11u)1u1u21u21(u22uln|u|)C1(u21)du222u1xx1xtan2tanln|tan|C42222说明:并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如1sinxdx1sinxd(1sinx)ln(1sinx)Ccosx12 2、简单无理函数的积分、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求x1dxx解 设x1u即 xu21则x1dxu2udu2u2duu21u21x2(112)du2(uarctanu)C1u2(x1arctanx1)C例 6 求dx13x2解 设3x2u即 xu32则2dx1u233u du311du1u1 x21u21u)du3(uln|1u|)C3(u11u233(x2)233x2ln|13x2|C2例 7 求dx(1 x)x3解 设 xt6于是 dx6t5d t从而dx6t5dt6t2dt6(11)dt6(tarctant)C1t2(13x)x(1t2)t31t26(6x arctan6x)C例 8 求1 1xdxxx1解 设1xt即x2于是t 1x2tdt11xdx(t21)t2xx(t 1)2t2122dt2(12)dtt 1t 12tln|t1|Ct121xln1x xCx1x x练习1求dx2 cosx1 t22x解作变换t tan则有dx dtcosx 1 t21 t222dt221tdx11 td 2dt3 t2t21 t22 cosx331()2 1 t2323arctant3 C 23arctan(1xtan)C23sin5x2求dxcos4x(1 cos2x)2sin5xsin4x解dx d cosx d cosxcos4xcos4xcos4x21(1)d cosxcos2xcos4x cosx 3求21 C3cosx3cos x3x 1dxx23x 23x 13x 174解2dx(dx)dx(x 2)(x 1)x3x 2x 2x 111dxdx 4x 1x 27ln|x2|4ln|x1|C 7 4.54.5 积分表的使用积分表的使用一、教 学 目 的 与 要 求：会 根 据 函 数 类 型 在 积 分 表 中 查 得 所 需 结 果。二、重 点（难 点）：对 要 查 函 数 的 变 形 和 类 型 的 判 定。三、主 要 外 语 词 汇：Integral calculus form四、辅 助 教 学 情 况：多 媒 体 课 件 第 四 版 和 第 五 版（修 改）参 考 教 材（资 料）：同 济 大 学 高 等 数 学 第 五 版积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂 为了实用的方便 往往把常用的积分公式汇集成表 这种表叫做积分表 求积分时 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后 在表内查得所需的结果积分表一、含有 axb 的积分1dx1ln|axb|Caxba2(axb)dx34567891(axb)1C(1)a(1)xdx1(axbbln|axb|)Caxba2x2dx11(axb)22b(axb)b2ln|axb|Caxba32dx1lnaxbCx(axb)bxdxx2(axb)1alnaxbC2bxbxx1ln|axb|bCdx(axb)2a2axbx2dx1axb2bln|axb|b2C(axb)2a3axbdx11lnaxbC22x(axb)b(axb)bx例 1 求xdx(3x4)2解 这是含有 3x4 的积分 在积分表中查得公式x1b(axb)2dxa2ln|axb|axbC现在 a3、b4 于是x14(3x4)2dx9ln|3x4|3x4C二、含有axb的积分2(axb)3C1axbdx3a2(3ax2b)(axb)3C2x axbdx15a23x2axbdx452(15a2x212abx8b2)(axb)3C105a3xdx2(ax2b)axbC3a2axbx2dx2(3a2x24abx8b2)axb C15a3axb6dxx axb1lnaxb bC(b0)baxb b2arctanaxbC(b0)bb7dxaxbadxbx2bx axbx2axb8axbdx2 axbbdxxx axb9ax2bdxaxbadxxx2x axb三、含 x2a2的积分123dxx2a21arctanxCaadxx2n3dx(x2a2)n2(n1)a2(x2a2)n12(n1)a2(x2a2)n1dx1lnxaCx2a22axa四、含有 ax2b(a0)的积分 1abarctandx12ax b1ln2 abaxC(b0)bax bC(b0)ax b234567xax2bdx1ln|ax2b|C2ax2dxxbdx2ax baaax2bdx1lnx2Cx(ax2b)2b|ax2b|dxx2(ax2b)1dx1a2bxb ax bdxaln|ax2b|1Cx3(ax2b)2b2x22bx2dxx11dx(ax2b)22b(ax2b)2b ax2b五、含有 ax2bxc(a0)的积分六、含有x2a2(a0)的积分12345678dxarshxC ln(xx2a2)C122ax adxxC(x2a2)3a2x2a2xdx x2a2Cx2a2x1dxC(x2a2)3x2a2x2dxxx2a2a2ln(xx2a2)C22x2a2x2xdxln(x x2a2)C22 322(x a)x a22dx1lnx a aC|x|x x2a2ax22a2dxx2Ca xx2a22xx2a2aln(xx2a2)C9x2a2dx22例 3 求dxx 4x29解 因为dxdx1x 4x292x x2(3)22所以这是含有x2a2的积分 这里a3 在积分表中查得公式2dx1lnx2a2aCx x2a2a|x|x2(3)23dx22C1ln4x293C12ln于是|x|32|x|x 4x292 3七、含有x2a2(a0)的积分1dxx2a2x|x|arch|x|aC1ln|x x2a2|C2dx(x2a2)3xa2x2a2C3xx2a2dxx2a2C4x(x2a2)3dx1x2a2C5x2a2dxxx2a2a2ln|xx2x222a2|C6x2(x2a2)3dxxx2a2ln|x x2a2|C7dxx x2a21aarccosa|x|C8dxx2a2x2a2x2a2xC9x2a2dxx2x2a2a22ln|xx2a2|C八、含有a2x2(a0)的积分1dxa2x2arcsinxaC2dxx(a2x2)3a2a2x2C3xa xdx a2x222C4x1(a2x2)3dxa2x2C5678x2dxxa2x2a2arcsinxC22aa2x2x2xdxarcsinxCa(a2x2)3a2x222dx1lna a xC|x|x a2x2ax222dxa2xCa xa2x229a2x2dxxa2x2aarcsinxC22a九、含有ax2bxc(a0)的积分十、含有xa或(xa)(xb)的积分xb十一、含有三角函数的积分1secxdxln|secxtanx|C2cscxdxln|cscxcotx|C3secxtanxdxsecxC4cscxcotxdxcscxCx15sin2xdxsin2xC24x16cos2xdxsin2xC241n1sinn2xdx7sinnxdxsinn1xcosxnn1n1cosn2xdx8cosnxdxcosn1xsinxnn9sinaxcosbxdx1cos(ab)x1cos(ab)xC2(ab)2(ab)10sinaxsinbxdx11cosaxcosbxdx1sin(ab)x1sin(ab)xC2(ab)2(ab)1sin(ab)x1sin(ab)xC2(ab)2(ab)atanxbdx22C(a2b2)12arctanabsinxa2b2a2b2atanxb b2a2dx22lnC(a2b2)1322absinxb aatanxb b2a2214dx2abarctanabtanxC(a2b2)abcosxababab2abbaC(a2b2)abbatanxdxabln2142abcosxabbatanx2例 2 求dx54cosx解 这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式abarctanabtanxC(a2b2)abab2这里 a5、b4 a2b2 于是abcosxabdx2dx254cosx5(4)5(4)5(4)arctantanxC5(4)5(4)22xarctan3tanC32例 求sin4xdx解 这是含三角函数的积分 在积分表中查得公式1n1sinn2xdxsin2xdxx1sin2xCsinnxdxsinn1xcosxnn24这里 n4 于是1313 x1sin4xdxsin3xcosxsin2xdxsin3xcosx(sin2x)C4444 24