数学分析试题与答案.pdf
2014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2 2A A 试卷试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一一.判断题（每小题3 分，共21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若fx在a,b连续，则fx在a,b上的不定积分fxdx可表为ftdt C（）.ax2.若fx,gx为连续函数，则fxgxdx 3.若fxdxgxdx（）.aafxdx绝对收敛，gxdx条件收敛，则 fx gxdx必a然条件收敛（）.4.若1fxdx收敛，则必有级数fn收敛（）n15.若fn与gn均在区间 I 上内闭一致收敛，则fn gn也在区间 I上内闭一致收敛（）.6.若数项级数an条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于n1正无穷大（）.7.任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.若fx在a,b上可积，则下限函数fxdx在a,b上（）xaA.不连续B.连续C.可微D.不能确定2.若gx在a,b上可积，而fx在a,b上仅有有限个点处与gx不相等，则（）1A.fx在a,b上一定不可积；B.fx在a,b上一定可积,但是fxdx gxdx；aabbC.fx在a,b上一定可积，并且fxdx gxdx；aabbD.fx在a,b上的可积性不能确定.113.级数n2n1n1n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定4.设un为任一项级数，则下列说法正确的是（）A.若limun 0，则级数nun一定收敛；B.若limun11，则级数un一定收敛；nunuC.若 N,当n N时有，n11，则级数un一定收敛；unuD.若 N,当n N时有，n11，则级数un一定发散；un5.关于幂级数anxn的说法正确的是（）A.B.C.D.2a xnn在收敛区间上各点是绝对收敛的；在收敛域上各点是绝对收敛的；的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；a xnna xnnna xn在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分）11.limnn 1n 2 n nnnlnsin x2.dxcos2x四.判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1.3 x 11x x20dx32.n!nn1n 3.n11nn2nn1 2五.判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）sinnx 1.fnx,n 1,2,D,n4n2 2.nxD,22,六已知一圆柱体的的半径为 R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满 10 分）300角向斜上方切割，七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为 10 米，已知三角形底边长为20 米，高为10 米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分 10 分)5八.证明：函数fx题满分 9 分）cosnx在,上连续，且有连续的导函数（.本3n62014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2 2B B 卷卷答案答案学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一、判断题（每小题 3 分，共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.2.3.4.5.6.7.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.B;2.C;3.A;4.D;5.B三.求值与计算题（每小题 5 分，共 10 分）1.limn 0133xnx sin x e1322xdx13解：由于0 而limxnx3sin2x e2x0dx xndx-3分0n013xndx lim11 0-4分nn 13n1故由数列极限的迫敛性得：limn 0133xnx sin x e22xdx 0-5分2.设f sin x 2xx，求fxdxsin x1 x解：令x sin2t得x1 xfxdx=sin2t1sin t2f sin2t d sin2t-2 分sintt2sintcostdtcost sint7=2tsintdt-4 分=2tcost 2sin t C=2 1 x arcsinx 2 x C-5 分四.判别敛散性（每小题 5 分，共 10 分）1.1arctan x1 x20dxarctan x1 x2解：x10lim1 x12 limarctan x1 xx104 2-3 分且p 瑕积分11，由柯西判别法知，21arctan x1 x20dx收敛-5 分2.lnnn21lnn解：limlnn ,n0 N,当n n0时n有lnn e2-2 分从而 当n n011-4 分2nlnnlnn由比较判别法lnnn21lnn收敛-5 分五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5 分，共 15 分）1.fnxx 1n2,n 1,2,D 0,解：极限函数为fx lim fnx xxD-2 分n8又fnx fx1x 2x n1/n2x 1xn21-3 分n 0 sup fnx fxxD1n从而limsup fn f 0n故知 该函数列在 D 上一致收敛.-5 分xn,D 1,12.2sinn3x2解：因当xD时，unx 2 sinn-2 分33nn 2而 正项级数收敛，-4 分3由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛.-5 分3.nx1n2 n,D ,n解：易知，级数1的部分和序列Sn一致有界，-2 分而 对xD,Vnx1是单调的，又由于2x n11xD,Vnx2 0n ，-4 分x nn1所以vnx2在 D 上一致收敛于 0，x n从而由狄利克雷判别法可知，该级数在 D 上一致收敛。-5 分六.设平面区域 D 是由圆x2 y2 2，抛物线y x2及 x 轴所围第一象限部分，求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分 10 分）9x2 y2 2222x y 2y x解：解方程组得圆与抛物线在第一象限2y x的交点坐标为：1,1，-3 分则所求旋转体得体积为：V 2 y2dy ydy-7 分1100=-7=-10 分6七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分 10 分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为 x 轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为：dW 52xdx 25xdx-5 分故所求为：W 215100 xdx-8 分=1250=12250（千焦）-10 分八 设unx n 1,2是a,b上的单调函数，证明：若una与unb都绝对收敛，则unx在a,b上绝对且一致收敛.（本题满分 9 分）证明：unx n 1,2是a,b上的单调函数，所以有unx una unb-4 分又由una与unb都绝对收敛，所以una unb收敛，-7 分由优级数判别法知：ux在a,b上绝对且一致收敛.-n102013-2014 学年度第二学期数学分析数学分析 2 2A A 试卷试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一一.判断题（每小题2 分，共16 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若f(x)在a,b上可导，则f(x)在a,b上可积.()2.若函数f(x)在a,b上有无穷多个间断点，则f(x)在a,b上必不可积。（）3.若af(x)dx与g(x)dx均收敛，则 f(x)g(x)dx一定条件收aa敛。（）4.若fnx在区间 I 上内闭一致收敛，则fnx在区间 I 处处收敛（）5.若an为正项级数（an 0），且当n n0时有：n1an11，则级数anan1n必发散。（）6.若fx以2为周期，且在,上可积，则的傅里叶系数为：an120fxcosnxdx（）7.若an s，则an an1 2s a1（）n1n1 8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（）二二.单项选择题（每小题 3 分，共 18 分）1.下列广义积分中，收敛的积分是（）11A101xdxB11xdxC0sin xdxD11x3dx12.级数an收敛是an部分和有界的（）n1n1A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D无关条件3.正项级数un收敛的充要条件是（）A.limun 0B.数列un单调有界nC.部分和数列sn有上界D.limnn11nun4.设liman1 a则幂级数anxbnb 1的收敛半径 R=（）nan1b11bA.aB.aC.D.aa15.下列命题正确的是（）Aan1n(x)在a,b绝对收敛必一致收敛Ban1n(x)在a,b一致收敛必绝对收敛C 若lim|an(x)|0，则an(x)在a,b必绝对收敛nn1Dan1n(x)在a,b条件收敛必收敛6.若幂级数anxn的收敛域为1,1,则幂级数anxn在1,1上12A.一致收敛B.绝对收敛C.连续D.可导三三.求值或计算（每题 4 分，共 16 分）1.2.3xx1 ln xdx；1dxsin xcosx11x xe xdx.4.设fx在0,1上连续，求limfn01xdxn13四四.（16 分）判别下列反常积分和级数的敛散性.1.dx13；2x43x23 2.1101 x ln(1x)dx 3.lnnnn2n 1；4.enn!nn1n14五五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题 5 分，共 10 分）1.fn(x)x2 n4,n 1,2,;x(,)2(1)n1 2.；x D,0.50.5,nn3xn1六六.应用题型（14 分）1.一容器的内表面为由y x2绕 y 轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现有水（m3），若再加水 7（m3），问水位升高了多少米？152.把由y ex，x 轴，y 轴和直线x 0所围平面图形绕 x 轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积V，并求满足条件Va七七证明题型（10 分）已知fx与gx均在a,b上连续，且在a,b上恒有fx gx，但fx不恒等于gx，证明：1lim V的a.2baf(x)dx g(x)dxab162013-2014 学年度第二学期数学分析数学分析 2 2B B 试卷试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一、判断题（每小题 2 分，共 18 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.对任何可导函数fx而言，f xdx fxC成立。（）2.若函数fx在a,b上连续，则Fx ftdt必为fx在a,b上的x原函数。（）3.若级数an收敛，必有limnan 0。（）n1bx4.若limnnan1，则级数an发散.n15.若幂级数anxn在x 2处收敛，则其在-2,2上一致收敛.（）n16.如果fx在以 a,b 为端点的闭区间上可积，则必有bafxdx fxdx.（）ab7.设fx在1,上有定义，则1fxdx与级数fn同敛散.（）n18.设fx在a,b任子区间可积，b 为fx的暇点，则fxdx与ab1ba1 1f b 2dt同敛散.（）tt179.设fnx在D a,x0 x0,b上一致收敛，且lim fnx ann Nxx0存在，则lim lim fnx lim lim fnx.n xx0 xx0n二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.函数f(x)在a,b上可积的必要条件是（）A 连续B 有界C 无间断点D 有原函数2.下列说法正确的是（）A.an1n和bn收敛，anbn也收敛n1n1B.an1nn和bn发散，(anbn)发散n1n1C.an1收敛和bn发散，(anbn)发散n1n1D.an1nn收敛和bn发散，anbn发散n1n13.an1(x)在a,b收敛于a(x)，且an(x)可导，则（）A.a(x)axB.a(x)可导nn1baC.n1an(x)dx a(x)dxD.aban1n(x)一致收敛，则a(x)必连续11 4.级数n2n1n1n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定2nnx5.幂级数的收敛域为：2n01 n18 A.（-0.5,0.5）B.-0.5,0.5 C.0.5,0.5 D.0.5,0.5三.求值与计算题（每小题 4 分，共 16 分）sin xcosx1.dx22sin x2.3.lim4.2x a bdxabx xx 12dx1nnn 1n n 1nn19四.判别敛散性（每小题 4 分，共 16 分）1.xarctanx11 x3dx；2.1x01 xdx13.nnn1n1n1.4.n11cosn1n20五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1(n1)x,0 x 1/(n1)1.fnxn 1,2,.x0,10,1/(n1)x 12.(xn11n12n)nx(,)六.应用题型（16 分）1.试求由曲线y x2及曲线y 2 x2所平面图形的面积.211cosxdx表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可0 x2使之误差不超过十万分之一.2.将1七.（9 分）证明：若函数项级数unx满足：（）xD,n（）an收敛.则函数项级数un(x)ann 1,2；ux在 D 上一致收敛.22014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2 2A A 卷卷答案答案三三.判断题（每小题 3 分，共 21 分）1.2.3.4.5.6.7.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）B,C,C,D,A三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分）12n1.解：原式=limn111nnnnnk 1=limexpln1-2 分nk1nnnk 1=explimln1-3 分nk1nn=expln xdx=4e211-5 分2.原式=lnsin xdtan x-2 分=lnsin xtan x tan xcot xdx-4 分=lnsin xtan x x C-5 分四.判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1.lim xx323 x 11x x2 3-2 分31-3 分2且p 由柯西判别法知，2.由比式判别法3 x 11x x20dx收敛。-5 分23limn故该级数收敛.-5 分 3.解：由莱布尼兹判别法知，交错级数n1an1nann1!n1n1limnn!limn1 e11-4 分n11/n1n收敛-2 分n2n111知其单调且有界，-4 分又0 1 2n1 2n故由阿贝尔判别法知，级数收敛.-5 分五.1.解：极限函数为fx lim fnx 0 xD-2 分n又fnx fxsinnx1-4 分nnlimsup fn f 0故知 该函数列在 D 上一致收敛.-5 分nn2n2n2 2.解：因当xD时，unxnnn-3 分x2xn2而 正项级数n收敛，-4 分2由优级数判别法知，该函数列在 D 上一致收敛.-5 分六 已知一圆柱体的的半径为 R，由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300角向斜上方切割，求所切下这块立体的体积。（本题满分 10 分）解:在底圆面上以所截直径线为 x 轴，底圆的圆心为原点示坐标系，24过 x 处用垂直 x 轴的平面取截该立体，所得直角三角形的面积为：1SxR2 x2tan300R2 x2-5 分23R2 x26故所求立体的体积为：V RR322 33R x2dx-7 分=R-10 分69七.解：建立图示坐标系(竖直方向为 x 轴)则第一象限等腰边的方程为x y 10-3 分压力微元为：dF 210 x10 xdx 2100 x2dx故所求为F 2 100 x2dx-7 分1001333.33吨13066.67千牛-10 分八.证明：unx又unxcosnxn3n 1,2每一项在,上连续，cosnx11而收敛333nnn25cosnx在,上一致收敛，-3 分n3故由定理结论知cosnxfx3在,上连续，-5 分n所以x再者unsinnx11而n2收敛n2n2x在,上的连续性x在,上一致收敛，所以un结合un可知fxcosnx在,上有连续的导函数.-9 分3n262014-2015 学年度第二学期数学分析数学分析 2 2B B 试卷试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分二、判断题（每小题 3 分，共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.若fx为偶函数，则fxdx必为奇函数（）.2.y sgnx为符号函数，则上限函数 y=sgntdt在,上连续ax（）.3.若afxdx收敛，必有lim fx 0（）.x4.若fn在区间 I 上内闭一致收敛，则fn在区间 I 上处处收敛（）.5.若un(x)在a,b上内闭一致收敛，则un(x)在a,b上一致收敛（）.n1n16.若数项级数an绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝对n1收敛，并且其和不变（）.(x)在a,b上一致7.若函数项级数un(x)在a,b上的某点收敛，且un收敛，则un(x)也在a,b上一致收敛（）.二.单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.函数f(x)是奇函数，且在a,a上可积，则（）ACaaaf(x)dx 2f(x)dxB0aaaf(x)dx 0aaf(x)dx 2f(x)dxD0aaf(x)dx 2 f(a)27 2.关于积分1sin xx 1 x20dx，正确的说法是（）A.此为普通积分 B.此为瑕积分且瑕点为 0 C.此为瑕积分且瑕点为 1 D.此为瑕积分且瑕点为 0,113.就级数2p（p 0）的敛散性而言，它是（）n ln nA.收敛的B.发散的C.仅p 1时收D.仅p 1时收敛4.函数列fn在区间I上一致收敛于 0 的充要条件是（）A.xI,lim fnx 0B.xnI,lim fxn 0nnC.n Nlim fnx 0D.limsupfnx 0 xnxI2nnx5.幂级数的收敛域为：2n01 n A.（-0.5,0.5）B.-0.5,0.5 C.0.5,0.5 D.0.5,0.5三.求值与计算题（每小题 5 分，共 10 分）1.limn 0133xnx sin x e22xdx282.设f sin x 2xx，求fxdxsin x1 x四.判别敛散性（每小题 5 分，共 10 分）1.1arctan x1 x20dx2.lnnn21lnn29五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题 5 分，共 15 分）1.fnxx 1n2,n 1,2,D 0,2.2nsinx3n,D 1,13.x1n2 n,D ,30六.设平面区域D是由圆x2 y2 2，抛物线y x2及x轴所围第一象限部分，求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分 10 分）七.现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分 10 分）31八 设unxn1,2是a,b上的单调函数，证明：若una与unb都绝对收敛，则unx在a,b上绝对且一致收敛.（本题满分 9 分）32
