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高中数学经典创新题精选 60 题1在实数集 R R 上定义运算*：x*yx(1y)若关于 x 的不等式 x*(xa)0 的解集是集合x|1x1的子集，则实数 a 的取值范围是()A0，2C0，1)(1，2B2，1)(1，0D2，0解析：选 D.依题意可得 x(1xa)0.因为其解集为x|1x1的子集，所以当 a1 时，01a1 或11a0，即1a0 或2a1.当 a1 时，x(1xa)0 的解集为空集，符合题意所以2a0.故选 D.2A，B，C 三个学生参加了一次考试，A，B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65 分已知命题 p：若及格分低于70 分，则 A，B，C 都没有及格则下列四个命题中为p 的逆否命题的是()A若及格分不低于 70 分，则 A，B，C 都及格B若 A，B，C 都及格，则及格分不低于70 分C若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于70 分D若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分高于70 分解析：选 C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题 p 的逆否命题是若 A，B，C 至少有一人及格，则及格分不低于70 分故选 C.3在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 p 是“第一次射击击中目标”，命题 q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()A(p)(q)为真命题C(p)(q)为真命题Bp(q)为真命题Dpq 为真命题解析：选 A.命题 p 是“第一次射击击中目标”，命题 q 是“第二次射击击中目标”，则命题p 是“第一次射击没击中目标”，命题q 是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(p)(q)为真命题，故选 A.4若函数 yf(x)对定义域 D 中的每一个 x1，都存在唯一的 x2D，使 f(x1)f(x2)1 成立，则称 f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：()“影子函数”f(x)的值域可以是 R R；“影子函数”f(x)可以是奇函数；若yf(x)，yg(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则yf(x)g(x)是“影子函数”上述命题正确的序号是()ACBD解析：选 B对于：假设“影子函数”的值域为 R R，则存在 x1，使得 f(x1)0，此时不存在 x2，使得 f(x1)f(x2)1，所以错；1对于：函数 f(x)x(x0)，对任意的 x1(，0)(0，)，取 x2，则 f(x1)f(x2)x11，又因为函数 f(x)x(x0)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，正确；1对于：函数 f(x)x(x0)，g(x)(x0)都是“影子函数”，但 F(x)f(x)g(x)1(x0)x不是“影子函数”(因为对任意的 x1(0，)，存在无数多个 x2(0，)，使得 F(x1)F(x2)1)，所以错综上，应选 B5 设 f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f g)(x)：xR R，(fg)(x)f(g(x)若x，x0，ex，x0，f(x)2g(x)则()x，x0，ln x，x0，A(ff)(x)f(x)C(gf)(x)g(x)B(fg)(x)f(x)D(gg)(x)g(x)f（x），f（x）0，解析：选 A.对于 A，(ff)(x)f(f(x)2当 x0 时，f(x)x0，(ff)(x)f（x），f（x）0，f(x)x；当 x0，(ff)(x)f(x)x2；当 x0 时，(ff)(x)f2(x)002，因此对任意的 xR R，有(ff)(x)f(x)，故 A 正确，选 A.f（x）6如果函数yf(x)在区间 I 上是增函数，且函数y在区间 I 上是减函数，那么x1称函数 yf(x)是区间 I 上的“缓增函数”，区间 I 叫做“缓增区间”若函数 f(x)x2x23 是区间 I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为()2A1，)C0，1B0，3D1，313解析：选 D.因为函数 f(x)x2x 的对称轴为 x1，所以函数 yf(x)在区间1，22f（x）13131)上是增函数，又当 x1 时，x1，令 g(x)x1(x1)，则 g(x)x22x22x23x23，2x22x2f（x）13由 g(x)0 得 1x 3，即函数 x1在区间1，3上单调递减，故“缓x22x增区间”I 为1，37设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数 yf(x)g(x)在 xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和 g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4 与 g(x)2xm 在0，3上是“关联函数”，则m 的取值范围为_解析：由题意知，yf(x)g(x)x25x4m 在0，3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数 ym 与 yx25x4(x0，3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2，3时，yx25x99，2，故当 m，2时，函数 ym 与 yx25x4444(x0，3)的图象有两个交点9，2答案：4f（x），f（x）K，8 设 yf(x)在(，1上有定义，对于给定的实数 K，定义 fK(x)K，f（x）K.给出函数 f(x)2x 14x，若对于任意 x(，1，恒有 fK(x)f(x)，则()AK 的最大值为 0BK 的最小值为 0CK 的最大值为 1DK 的最小值为 1解析：选 D.根据题意可知，对于任意 x(，1，若恒有 fK(x)f(x)，则 f(x)K 在 x1上恒成立，即 f(x)的最大值小于或等于K 即可令 2xt，则 t(0，2，f(t)t22t(t1)21，可得 f(t)的最大值为 1，所以 K1，故选 D.9如图，矩形 ABCD 的周长为 8，设 ABx(1x3)，线段 MN 的两端点在矩形的边上滑动，且 MN1，当 N 沿 ADCBA 在矩形的边上滑动一周时，线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G，记 G 围成的区域的面积为 y，则函数 yf(x)的图象大致为()解析：选 D.法一：由题意可知点 P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个82x1角均是半径为 的扇形 因为矩形 ABCD 的周长为 8，ABx，则 AD224x，所以 yx(4x)(x2)24(1x3)，显然该函数的图象是二次函数44图象的一部分，且当 x2 时，y4(3，4)，故选 D.4法二：在判断出点 P 的轨迹后，发现当 x1 时，y3(2，3)，故选 D.4110已知点 A(1，0)，点 B 在曲线 G：yln x 上，若线段 AB 与曲线 M：y 相交且交x点恰为线段 AB 的中点，则称B 为曲线 G 关于曲线 M 的一个关联点那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为_解析：设B(x0，ln x0)，x00，线段AB的中点为C，则Cx01ln x02，2，ln x024又点 C 在曲线 M 上，故，即 ln x0.此方程根的个数2x01x01可以看作函数yln x 与 y4的图象的交点个数 画出图象(如图)，x1可知两个函数的图象只有1 个交点答案：111已知奇函数 f(x)是 R R 上的单调函数，若函数 yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数 的值是()1A.47C81B.83D8解析：选 C.因为函数 yf(2x21)f(x)只有一个零点，所以方程 f(2x21)f(x)0 只有一个实数根，又奇函数 f(x)是定义在 R R 上的单调函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，所以方程 2x2x710 只有一个实数根，所以(1)242(1)0，解得 .故选 C.812曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy80 的最短距离是_解析：设 M(x0，ln(2x01)为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线 2xy80 平行时，M 点到直线的距离即为曲线yln(2x1)上的点到直线 2xy80 的最短距离因为 y22，所以2，解得 x01，所以 M(1，0)记点 M 到直线 2xy82x12x01|28|2 5.410 的距离为 d，则 d答案：2 51213 若函数 f(x)x3x2 在区间(a，a5)上存在最小值，则实数 a 的取值范围是()33A5，0)C3，0)B(5，0)D(3，0)解析：选 C.由题意，f(x)x22xx(x2)，故 f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，122令 x3x2 得，x0 或 x3，3333a0，则结合图象可知，解得 a3，0)a50，14函数 f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a 的取值范围是_解析：f(x)3x23a23(xa)(xa)，由 f(x)0 得 xa，当axa 时，f(x)a 或 x0，函数单调递增，所以 f(x)的极大值为 f(a)，极小值为 f(a)所以 f(a)a33a3a0 且 f(a)a33a3a2.22，.2所以 a 的取值范围是答案：2，215已知圆 O 与直线 l 相切于点 A，点 P，Q 同时从 A 点出发，P沿着直线 l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点 A 时，点 P 也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是_解析：设运动速度为 m，运动时间为t，圆O 的半径为 r，则AQAPtm，根据切线的11性质知 OAAP，所以 S1 tmrS扇形AOB，S2 tmrS扇形AOB，所以 S1S2恒成立22答案：S1S216已知 为直线 y3x5 的倾斜角，若 A(cos，sin)，B(2cossin，5cossin)，则直线 AB 的斜率为()A31C.3解析：选 D.由题意知 tan3，kAB故选 D.17已知(0，)，且 sincosm，m(0，1)，则 tan的可能取值为()A31C3B31D.3B41D45cossinsin52tan1.42cossincos1tan3解析：选 A.由 m(0，1)，得sincos0，所以0，.又因为(sincos4)212sincosm2，m(0，1)，从而得2sincos0，得2，.综上可3得，则 tan0，函数 f(x)2asin(2x)2ab，当 x0，时，5f(x)1.62(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)f(x)且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间27解：(1)因为 x0，所以 2x，26661所以 sin(2x)，1，所以2asin(2x)2a，a，626所以 f(x)b，3ab，又因为5f(x)1，所以 b5，3ab1，因此 a2，b5.(2)由(1)得 f(x)4sin(2x)1，67g(x)f(x)4sin(2x)14sin(2x)1，2661又由 lg g(x)0，得 g(x)1，所以 4sin(2x)11，所以 sin(2x)，6625所以 2k2x2k，kZ Z，666其中当 2k2x2k，kZ Z 时，662g(x)单调递增，即 kxk，kZ Z，6所以 g(x)的单调增区间为(k，k，kZ Z.65又因为当 2k2x2k，kZ Z 时，266g(x)单调递减，即 kx0)个单位，cd1cos x所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值为()A.3C.67B.65D.63 sin x解析：选 D.f(x)|3cos xsin x2cos(x)，向左平移 个单位得到 y61cos x2cos(x)，由题意y2cos(x)是偶函数，所以k(kZ Z)，即k6665(0)故当 k1 时，的最小值为.66523 如图，将绘有函数f(x)3sin(x)(0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，6若 A，B 之间的空间距离为 10，则 f(1)()A13C2解析：选 D.由题设并结合图形可知，ABT（3）2（3）2（）22T624B13D.22262 10，得24，则，253)3sin.2632所以 f(1)3sin(24 已知 P 为ABC 所在平面内一点，ABPBPC0 0，|AB|PB|PC|2，则ABC的面积等于()A.3C3 3B2 3D4 3解析：选 B.因为ABPBPC0 0，所以AB(PBPC)由平行四边形法则可知，以PB，PC为边组成的平行四边形的一条对角线与AB反向，且长度相等因为|AB|PB|PC|2，所以以PB，PC为边的平行四边形为菱形，且除BC 外11的对角线长为 2，所以 BC2 3，ABC90，所以 SABC ABBC 22 32 3，22故选 B.125.如图，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足 BD DC，过点 D 的直线分别交2直线 AB，AC 于不同的两点 M，N 若AMmAB，ANnAC，则()Amn 是定值，定值为2B2mn 是定值，定值为 311C.是定值，定值为 2mn21D.是定值，定值为 3mnAC1解析：选 D.法一：如图，过点 C 作 CE 平行于 MN 交 AB 于点 E.由ANnAC可得，ANnAEAC11BM1AMn2n所以，由 BD DC 可得，所以，EMCNn12ME2ABn13n1n22n因为AMmAB，所以 m，3n121整理可得 3.mn法二：因为 M，D，N 三点共线，所以ADAM(1)AN.11又AMmAB，ANnAC，所以ADmAB(1)nAC.又BD DC，所以ADAB AC221212112 AD，所以AD AC AB.比较系数知 m，(1)n，所以 3，故选 D.23333mn26在如图所示的方格纸中，向量 a a，b b，c c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，x若 c c 与 xa ayb b(x，y 为非零实数)共线，求 的值y解：设 e e1，e e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量 c ce e12e e2，a a2e e1e e2，b b2e e12e e2，由 c c 与 xa ayb b 共线，得 c c(xa ayb b)，所以 e e12e e22(xy)e e12（xy）1，(x2y)e e2，所以所以（x2y）2，x65则y的值为5.y2，3x，27 已知 P 为ABC 所在平面内一点，ABPBPC0 0，|AB|PB|PC|2，则ABC的面积等于()A.3C3 3B2 3D4 3解析：选 B.因为ABPBPC0 0，所以AB(PBPC)由平行四边形法则可知，以PB，PC为边组成的平行四边形的一条对角线与AB反向，且长度相等因为|AB|PB|PC|2，所以以PB，PC为边的平行四边形为菱形，且除BC 外11的对角线长为 2，所以 BC2 3，ABC90，所以 SABC ABBC 22 32 3，22故选 B.28.已知 a a，b b，e e 是平面向量，e e 是单位向量若非零向量 a a 与 e e 的夹角为，向量 b b 满3足 b b24e eb b30，则|a ab b|的最小值是()A 31C2B 31D2 3解析：选 A法一：设 O 为坐标原点，a aOA，b bOB(x，y)，e e(1，0)，由b b24e eb b30 得 x2y24x30，即(x2)2y21，所以点 B 的轨迹是以 C(2，0)为圆心，1 为半径的圆因为 a a 与 e e 的夹角为，所以不妨令点 A 在射线 y 3x(x0)上，如图，数形结3合可知|a ab b|min|CA|CB|31.故选 A法二：由 b b24ebeb 30 得 b b24eb4eb 3e3e2 2(b be e)(b b3e3e)0.设 b bOB，e eOE，3e eOF，所以 b be eEB，b b3e3eFB，所以EBFB0，取 EF 的中点为 C，则 B 在以 C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图 设 a aOA，作射线 OA，使得AOE，所以|a ab b|(a a2e2e)(2e2eb b)|a a2e2e|2e2eb b|CA|BC|31.故选 A329已知直线 xya 与圆 x2y22 交于 A，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA OBOC，则 a 的值为()A1B 2C 3D2解析：因为 A，B，C 均为圆 x2y22 上的点，故|OA|OB|OC|2，因为OAOBOC，所以(OAOB)2OC2，即OA22OAOBOB2OC2，即 44cosAOB2，故AOB120则圆心 O 到直线 AB 的距离 d 2cos60故选 A A30若，是一组基底，向量 x y(x，yR R)，则称(x，y)为向量 在基底 ，下的坐标，现已知向量 a a 在基底 p p(1，1)，q q(2，1)下的坐标为(2，2)，则 a a 在另一组基底 m m(1，1)，n n(1，2)下的坐标为()A(2，0)C(2，0)B(0，2)D(0，2)2|a|，则|a|1，即 a122解析：选 D.因为 a a 在基底 p p，q q 下的坐标为(2，2)，即 a a2p p2q q(2，4)，令 a axm myn n(xy，x2y)，xy2，x0，所以即x2y4，y2.所以 a a 在基底 m m，n n 下的坐标为(0，2)31Pa a|a a（1，0）m（0，1），mR R，)Qb b|b b（1，1）n（1，1），nR R是两个向量集合，则 PQ 等于(A.（1，1）C.（1，0）D.（0，1）B.（1，1）x1，解析：选 A.设 a a(x，y)，则 P(x，y)|，所以集合 P 是直线 x1 上 ym，mR R的点的集合 同理，集合 Q 是直线 xy2 上的点的集合，即 P（x，y）|x1，yR R，Q（x，y）|xy20，所以 PQ（1，1）.故选 A.32已知向量 a a(cos x，sin x)，b b(3，3)，x0，(1)若 a ab b，求 x 的值；(2)记 f(x)abab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值解：(1)因为 a a(cos x，sin x)，b b(3，3)，a ab b，所以 3cos x3sin x.若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cos x0.于是 tan x53.又 x0，所以 x.36(2)f(x)a ab b(cos x，sin x)(3，3)3cos x 3sin x2 3cosx.67因为 x0，所以 x，6663从而1cosx.62于是，当 x，即 x0 时，f(x)取到最大值 3；665当 x，即 x时，f(x)取到最小值2 3.6633已知 E 为ABC 的重心，AD 为 BC 边上的中线，令ABa a，ACb b，过点 E 的直11线分别交 AB，AC 于 P，Q 两点，且APma a，AQnb b，则 ()mnA3C5B41D3解析：选 A由于直线PQ 是过点 E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值故可利用特殊直线确定所求值法一：如图 1，令 PQBC，222则AP AB，AQ AC，此时，mn，33311故 3.故选 Amn11法二：如图 2，直线 BE 与直线 PQ 重合，此时，APAB，AQ AC，故 m1，n，2211所以 3.故选 Amn34在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量m m(cos B，2cos2C1)，n n(c，b2a)，且 mnmn 0.2(1)求C 的大小；(2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足ADDB，|CD|7，c2 3，求ABC 的面积解：(1)因为 m m(cos B，cos C)，n n(c，b2a)，m mn n0，所以 ccos B(b2a)cos C0，在ABC 中，由正弦定理得 sin Ccos B(sin B2sinA)cos C0，sin A2sin Acos C，又 sin A0，1所以 cos C，而 C(0，)，2所以C.3(2)由ADDB知，CDCACBCD，所以 2CDCACB，两边平方得 4|CD|2b2a22bacos ACBb2a2ba28.又 c2a2b22abcos ACB，所以 a2b2ab12.由得 ab8，1所以 SABC absin ACB2 3.235 若数列an满足 a1 a2 a3 ann23n2，则数列an的通项公式为_解析：a1a2a3an(n1)(n2)，当 n1 时，a16；a1a2a3an1an（n1）（n2），当 n2 时，a1a2a3an1n（n1），n2故当 n2 时，an，n6，n1，所以 ann2*.，n2，nN Nn6，n1，答案：ann2*n，n2，nN N36已知二次函数 f(x)x2axa(a0，xR R)，有且只有一个零点，数列an的前 n项和 Snf(n)(nN N*)(1)求数列an的通项公式；4(2)设 cn1(nN N*)，定义所有满足cmcm10 的正整数 m 的个数，称为这个数列ancn的变号数，求数列cn的变号数解：(1)依题意，a24a0，所以 a0 或 a4.又由 a0 得 a4，所以 f(x)x24x4.所以 Snn24n4.当 n1 时，a1S11441；当 n2 时，anSnSn12n5.1，n1，所以 an2n5，n2.3，n1，(2)由题意得 cn41，n2.2n54由 cn1可知，当 n5 时，恒有 cn0.2n5113又 c13，c25，c33，c4，c5，c6，357即 c1c20，c2c30，c4c50.所以数列cn的变号数为 3.37等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设 bnan，求数列bn的前 10 项和，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，2.62.解：(1)设数列an的公差为 d，由题意有2a15d4，a15d3.2解得 a11，d.5所以an的通项公式为 an2n3(2)由(1)知，bn52n3当 n1，2，3 时，12，bn1；52n3当 n4，5 时，23，bn2；52n3当 n6，7，8 时，34，bn3；52n3当 n9，10 时，45，bn4.5所以数列bn的前 10 项和为 1322334224.38我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯()A1 盏C5 盏B3 盏D9 盏2n3.5解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，a1（127）公比 q2，依题意，得 S7381，解得 a13，故选 B.1239规定：“”表示一种运算，即ab abab(a，b 为正实数)若 1k3，则 kkx的值为_，此时函数 f(x)的最小值为_x解析：由题意得 1k k1k3，即 k k20，解得 k1 或 k2(舍去)，所以 k1，故 k 的值为 1，1xxx11又 f(x)1 x123，xxx当且仅当 x1，即 x1 时取等号，x故函数 f(x)的最小值为 3.答案：13740已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为845.若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_1解析：如图所示，设 S 在底面的射影为 S，连接 AS，SS.SAB 的面积为 SA SB sin2115ASB SA2 1cos2ASBSA25 15，所以 SA280，SA4 5.因为 SA 与216底面所成的角为 45，所以SAS45，ASSAcos 454 522 10.所以底面21周长 l2AS4 10，所以圆锥的侧面积为 4 54 1040 2.2答案：40 241如图，在矩形 ABCD 中，AB2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是_(填序号)BM 是定值；点 M 在某个球面上运动；存在某个位置，使 DEA1C；存在某个位置，使 MB平面 A1DE.1解析：取 DC 的中点 F，连接 MF，BF，则 MFA1D 且 MF A1D，2FBED 且 FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得 MB2MF2FB22MFFBcosMFB 是定值，所以 M 是在以 B 为球心，MB 为半径的球上，可得正确；由 MFA1D 与 FBED 可得平面 MBF平面 A1DE，可得正确；若存在某个位置，使 DEA1C，则因为 DE2CE2CD2，即 CEDE，因为 A1CCEC，则 DE平面 A1CE，所以 DEA1E，与 DA1A1E 矛盾，故不正确答案：42如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M在棱 DD1上运动，点 N 在正方体的底面 ABCD 内运动，则 MN 的中点 P 的轨迹的面积是_解析：连接 DN，则MDN 为直角三角形，在 RtMDN 中，MN2，P 为 MN 的中点，连接 DP，则DP1，所以点P 在以 D 为球心，半径R1 的球面上，又因为点P 只能落在11正方体上或其内部，所以点 P 的轨迹的面积等于该球面面积的，故所求面积 S 4R288.2答案：243如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；棱 A1D1始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BEBF 是定值其中正确的个数是()A1C3B2D4解析：选 C.由题图，显然是正确的，是错的；对于因为 A1D1BC，BCFG，所以 A1D1FG 且 A1D1平面 EFGH，所以 A1D1平面 EFGH(水面)所以是正确的；因为水是定量的(定体积 V)所以 S BEFBCV，1即 BEBFBCV.22V所以 BEBF(定值)，即是正确的，故选 C.BC44如图，边长为a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知ADE 是ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上；BC平面 ADE；三棱锥 A FED 的体积有最大值ACBD解析：选 C.中由已知可得平面AFG平面 ABC，所以点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上BCDE，根据线面平行的判定定理可得BC平面 ADE.当平面 ADE平面 ABC 时，三棱锥 A FED 的体积达到最大，故选C.45如图，梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F 分别是 AB，CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF进行翻折，给出下列四个结论：DFBC；BDFC；平面 BDF平面 BCF；平面 DCF平面 BCF，则上述结论可能正确的是()ACBD解析：选 B.对于，因为 BCAD，AD 与 DF 相交但不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直，则不成立；对于，设点 D 在平面 BCF上的射影为点 P，当 BPCF 时就有 BDFC，而 ADBCAB234 可使条件满足，所以正确；对于，当点D 在平面 BCF 上的射影 P 落在 BF 上时，DP 平面 BDF，从而平面 BDF平面 BCF，所以正确；对于，因为点 D 在平面 BCF 上的射影不可能在 FC 上，所以不成立46 在矩形 ABCD 中，ABBC，现将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线AC 与直线 BD 垂直；存在某个位置，使得直线AB 与直线 CD 垂直；存在某个位置，使得直线AD 与直线 BC 垂直其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)AEBDBD解析：假设 AC 与 BD 垂直，过点 A 作 AEBD 于 E，连接 CE.则BDAC平面 AECBDCE，而在平面 BCD 中，EC 与 BD 不垂直，故假设不成立，错假设 ABCD，因为 ABAD，所以 AB平面 ACD，所以 ABAC，由 ABBC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使ABCD，故假设成立，正确假设 ADBC，因为 DCBC，所以 BC平面 ADC，所以 BCAC，即ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，而 ABBC，故矛盾，假设不成立，错综上，填.答案：47已知动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点 P(1，m)且 Q(4，0)到动直线 l12的最大距离为 3，则 的最小值为()2ac9A.2C19B.4D9解析：选 B.因为动直线 l：axbyc20(a0，c0)恒过点 P(1，m)，所以 abmc20，又 Q(4，0)到动直线 l 的最大距离为 3，所以（41）2（m）23，解得 m0，所以 ac2，1215c2a15121则 (ac)2ac222ac2222ac24当且仅当 c2a 时取等号，故选 B.348在直线 l：3xy10 上求一点 P，使得：(1)P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大；(2)P 到 A(4，1)和 C(3，4)的距离之和最小解：(1)如图，设 B 关于 l 的对称点为 B，AB的延长线交 l 于 P0，在 l 上另任取一点 P，则|PA|PB|PA|PB|AC|P1C|P1A|P1C|P1A|，故 P1即为所求又 AC所在直线的方程为 19x17y930，19x17y930，1126，.故由可得 P1773xy1049设点 P 是函数 y 4（x1）2的图象上的任意一点，点 Q(2a，a3)(aR R)，则|PQ|的最小值为()8 5A.25C.52B.57 5D.25解析：选 C.如图所示，点 P 在半圆 C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点 Q 在直线 l：x2y60 上过圆心 C 作直线 l 的垂线，垂足为点 A，则|CA|5，|PQ|min|CA|2 52.故选 C.50在平面直角坐标系xOy 中，曲线：yx2mx2m(mR R)与 x 轴交于不同的两点A，B，曲线 与 y 轴交于点 C.(1)是否存在以 AB 为直径的圆过点 C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过 A，B，C 三点的圆过定点解：由曲线：yx2mx2m(mR)，令 y0，得 x2mx2m0.设 A(x1，0)，B(x2，0)，则可得m28m0，x1x2m，x1x22m.令 x0，得 y2m，即 C(0，2m)(1)若存在以 AB 为直径的圆过点 C，则ACBC0，得 x1x24m20，即 2m4m20，1所以 m0 或 m.21由 0 得 m8，所以 m，2117，0即圆心，半径 r|CM|此时 C(0，1)，AB 的中点 M，44117xy2.故所求圆的方程为416(2)证明：设过 A，B 两点的圆的方程为 x2y2mxEy2m0，将点 C(0，2m)代入可得 E12m，所以过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2y2mx(12m)y2m0，整理得 x2y2ym(x2y2)0.2x5，x0，令可得或4x2y20，y1y5，x2y2y0，224故过 A，B，C 三点的圆过定点(0，1)和5，5.51已知直线 axy10 与圆 C：(x1)2(ya)21 相交于 A、B 两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a 的值为()1A.或17C1 或1B1D12，2解析：选 C.由题意得圆心(1，a)到直线 axy10 的距离为|aa1|2所以，21a2解得 a1，故选 C.52已知抛物线 C：x22py(p0)和定点 M(0，1)设过点 M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线的交点为 N.(1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值；(2)若ABN 的面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程解：设直线 AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线 AB 的方程代入抛物线C 的方程得 x22pkx2p0，则 x1x22pk，x1x22p.xx1x22(1)由 x22py 得 y，则 A，B 处的切线斜率的乘积为2，ppp因为点 N 在以 AB 为直径的圆上，所以ANBN，2所以 1，所以 p2.px1x2(2)易得直线 AN：yy1(xx1)，直线 BN：yy2(xx2)，ppyy p（xx），联立，得xyy p（xx），11222x1xpk，结合式，解得即 N(pk，1)y1，|AB|1k2|x2x1|1k2（x1x2）24x1x2 1k24p2k28p，|kxN1yN|pk22|点 N 到直线 AB 的距离 d，1k21k21则ABN 的面积 SABN|AB|d p（pk22）32 2p，当 k0 时，取等号，2因为ABN 的面积的最小值为 4，所以 2 2p4，所以 p2，故抛物线 C 的方程为 x24y.153已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在 AB 上，且 AM，点 P 在平面3ABCD 内，且动点P 到直线 A1D1的距离与动点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则动点P 的轨迹是()A直线C双曲线B圆D抛物线解析：选 D.在平面 ABCD 内过点 P 作 PFAD，垂足为 F，过点 F 在平面 AA1D1D 内作 FEA1D1，垂足为 E，连接 PE，则有 PEA1D1，即 PE 为点 P 到 A1D1的距离由题意知|PE|2|PM|21，又因为|PE|2|PF|2|EF|2，所以|PF|2|EF|2|PM|21，即|PF|2|PM|2，即|PF|PM|，所以点 P 满足到点 M 的距离等于点 P 到直线 AD 的距离由抛物线的定义知点 P 的轨迹是以点 M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点 P 的轨迹为抛物线54若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为 8，则称曲线 C 为“好曲线”以下曲线不是“好曲线”的是()Axy5x2y2C.1259Bx2y29Dx216y解析：选 B.因为 M 到平面内两点 A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为 8，所以 Mx2y2的轨迹是以 A(5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为 1.169A 项，直线xy5 过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x2y29 的圆心为x2y2(0，0)，半径为 3，与 M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，1 的右顶点为(5，0)，259x2y2y2满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入 1，可得 y 1，即 y29y90，1699所以 0，满足题意，为“好曲线”55.如图，斜线段AB 与平面 所成的角为 60，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB30，则点 P 的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支解析：选 C.母线与中轴线夹角为 30，然后用平面 去截，使直线 AB与平面 的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆故选C.56 若 m，n 均为非负整数，在做 mn 的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而 mn 称为有序对(m，n)的值，那么值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是_解析：第 1 步，110，101，共 2 种组合方式；第 2 步，909，918，927，936，990，共 10 种组合方式；第 3 步，404，413，422，431，440，共 5 种组合方式；第 4 步，202，211，220，共 3 种组合方式根据分步乘法计数原理，值为1 942 的“简单的”有序对的个数为 21053300.答案：30057 已知 P 是ABC 所在平面内一点，PBPC2PA0 0，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC 内的概率是()1A.42C.31B.31D.2解析：选 D.以 PB，PC 为邻边作平行四边形PBDC，则PBPCPD，因为PBPC2PA0 0，