高等数学上学期期末考试试卷及答案四份.pdf
高等数学试卷高等数学试卷(B(B 卷）答案及评分标准卷）答案及评分标准2004200420052005 年度第一学期年度第一学期科目科目:高等数学高等数学 I I 班级：姓名：学号：成绩班级：姓名：学号：成绩:一、填空题一、填空题(35 15）ln(x 2)1 1、fx的定义域是_x 32 2、lim(x0sin2x1 xsin)2xx3x(1)3 3、limxx3lim(1)xxxe3e3214 4、如果函数f(x)asin x sin3x，在x 处有极值，则a 3335 5、cos x(sin x1)dx 2243二、单项选择题（二、单项选择题（35 15）1 1、当x 0时，下列变量中与x等价的无穷小量是（)A.A.1 cos xB B。2x x2C.C.ex1D.D.ln(1 x)sin x2 2、设f(x)在x a处可导,则下列极限中等于 f(a)的是(A).f(a h)f(a h)f(a)f(a h)B Blimh0h0hhf(a 2h)f(a h)f(a 2h)f(a)C ClimD Dlimh0h0h3hA Alim3 3、设在a,b上函数f(x)满足条件f x 0,f(x)0则曲线y fx在该区间上（）A.A.上升且凹的B B。上升且凸的C C。下降且凹的D.D.下降且凸的4 4、设函数fx具有连续的导数,则以下等式中错误的是（)A A。C.C.dxdbaf(t)dt f(x)dxaf(x)dx f(x)B B。ddxf(x)d x f(x)dxD.D.f(t)dt f(t)C5 5、反常积分0 xex2d x（）A A。发散B B。收敛于 1C C。收敛于1D D。收敛于122三、算题（三、算题（68 48）tan x sin x1 1、求极限limx0sin3x2 2、求limx2ln(sin x)2(2x)x sintt 3 3、求曲线在当处的切线方程和法线方程4y cos2t4 4、已知函数5 5、求积分6 6、求积分7 7、计算曲线y sin x,0 x 与x轴围成的图形面积，并求该图形绕 y 轴所产生的旋转体体积.y xsinx,x 0，计算dydxxedxe1eln xdx8 8、计算星型线x asin3t,y acos3t,0 t 2,a 0的全长.四、四、求函数求y x312x 10的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（7)1上连续，且0 f(x),证明：方程x f(t)dt 1在0,1上有五、五、设f(x)在0，0 x且仅有一根（5)dx22t f(x t)dt（5）六、六、设 f(x)连续，计算0dxet，t 02x设 f（t）tf(t)dt（5）七、七、,计算:F（x），t 061t答案：答案：一、填空题3xlim(1)1、（2，3)（3,+)2、23、xx34、25、cos x(sin x1)dx 22e343二、1、D2、A3、B4、A5、C三、计算题1 cos x1tan x sin xlim1、解：lim=x0 x0sin2xsin3x22 2 4 41cosxcosxln(sin x)1sinxlimlimlim2、解：解：=28x4(2x)x(2x)x4(2x)2223、解:当t 曲线过点(4d y2,0)，由于d x24 2 2,4 4 所以，当t 处的切线方程和法线方程分别为：y 242(x 2)1 12y 22(x)1 1 42dyd(esin xln x)sin xsin x4、解:esin xln x(cosxln x)xsin x(cosxlnx)dxdxxx解：令u x,dx 2udu,则:1 1 解：令u x,dx 2udu，则:1 1 5、令u x,dx 2udu，xedxux=2ue du 2ue 2e du 2(u 1)e c 2(x 1)e6 6、解:uuu cee1e1e1e21eln xdx=1lnxdx lnxdx xlnx dx xlnx dx 211111eee7 7、解：面积s sin xdx 22 20体积微分元dV 2xsin xdx1 1 所求体积V 2xsin xdx 2xcosx02cosxdx 423 3008 8、解:弧微分ds 弧长s 203asin 2t dt2 223asin2t dt 6a2sin2tdt 6a4 4 022y 3x 12,令y 0,得驻点x1 2,x2 21 1四、解：四、解：y 6x,令y 0,得点x3 0由上可知：函数的单调增区间为:（-,-2),（2，+）；函数的单调减区间为:(-2，2)2函数的极大值点:（2，26），极小值点(2,-6）1凹区间为:(0，+）,凸区间为：（-，0)1拐点为:(0，10)五、证：构造函数(x)x f(t)dt 1，函数在0，1上连续,在区间内可导0 x1(0)1,(1)f(x)dx 0，01由连续函数的零点定理知,存在在(0，1)内使()02 2又因为(x)1 f(x)0所以函数在（0,1）的零点唯一.2原命题得证。六、解：令:u x2 t2,du 2tdt2dxd10222t f(x t)dtf(u)du x f(x)=20 xdxdx2七、解:当x 0时，F(x)etdt ex2 2x当当x 0时，F(x)xf(t)dt 0e dt tx0t21dt 1arctan x3631t高等数学高等数学 IV1IV1课程考试试卷课程考试试卷（A A 卷卷)学院学院 专业专业班级班级学号学号姓名姓名题号得分一二三四五六七八总分阅卷教师得分一、选择题（每小题 3 分,共 12 分）1、设f(x)3x x x,使f2(n)(0)存在的最高阶数n为（）(A)0(B）1（C)2(D)32、函数y x20(t 1)etdt有极大值点（）（A）x 1（B）x 1(C）x 1（D）x 03、已知函数f(x)的一个原函数是sin2x，则xf(x)dx（）(A)2xcos2xsin2xC（B）2xsin2xcos2xC（C）2xsin2xcos2xC（D）xsin2xcos2xC14、x 2是函数f(x)arctan的()2 x（A)连续点（B）可去间断点(C）第一类不可去间断点（D）第二类间断点得分二、填空题（每小题 3 分,共 12 分）1、函数y xex的图形的拐点是。2、曲线y 1ex0 x2的渐进线是.3、设f(x)edt，则limf(x h)f(x h).t2h0h4、lim(1 x)x 02x。x2得分三、求下列极限（每小题 6 分，共 12 分）。1cos(e1)1、lim。x0tan3xsin x11lim2、。x0ln1 xx四、计算下列微分或导数（每小题 6 分，共 18 分）.得分1、y y x xarctanarctanx x lnln 1 x x2，求dydy。2、若y (sin x)cosx,求dy。dxd yx Rcost3、设，求2。dxy Rsint2得分五、计算下列积分（每小题 6 分,共 18 分）。1、dxdx。x x(1 x x)12、求3、得分六、若0 x 1，证明不等式1 x e2x（8 分).1 x101dx。x(12ln x)x21 x2dx。得分(10 分）得分12x 与直线3x 2y 4 0所围成的平面图形,4求：（1）D 的面积 S;(2）D 绕x轴旋转一周所得的旋转体体积V。七、设D为曲线y 5dy2y(x1)2的通解(10 分）八、求微分方程。dxx1高等数学高等数学 IV1IV1统考试题统考试题(A)(A)答案及评分标准答案及评分标准一、选择（每题 3 分,共 12 分）、B、D、A、C二、填空(每题 3 分，共 12 分)、(2,2e)、y 1、2e2x24、12e三、计算下列极限（每小题6 分，共 12 分）.(ex 1)21、解：原式=lim (2 分)4x 02x2x4 lim4(4 分）x02x1(6 分）2x02、解：原式=limxln(1 x)xln(1 x)lim(3 分)2x0 xln(1 x)x1limx01x1 x lim1 x1（3 分）x02x2x2xxdx（3 分）221 x1 x四、求下列导数和微分（每小题6 分,共 18 分）.1、解：dy arctan x arctan xdx（6 分）、解：y(ecosxlnsin x)(2 分)ecosxlnsin x(sin xlnsin xcotxcosx)（4 分）=(sin x)cosx(sin xlnsin xcot xcosx)(6 分）、解:解：dy cott(3 分）dxd2y11(cot)（6 分）t23dxRsintRsin t五、计算下列积分（每小题6 分，共 18 分）.1、解：11dx（3 分)dx 221(x)x(1 x)2arctanx c（6 分）2、解：11dx x(1 2ln x)1 2ln xd ln x(2分)11d(1 2ln x)（4分）21 2ln x1ln|1 2ln x|c（6 分）23、解：令x sint,（1 分）1原式=2sin tdt 2(1 cos 2t)dt（6 分）02042六、解：即证(1 x)e2x(1 x)0,（1 分）令f(x)(1 x)e2x(1 x)，（2 分）f(x)(12x)e2x1，f(x)4xe2x,（4 分）当0 x 1时,f(x)0，f(x)且f(0)0，f(x)0.（6 分)f(x)0.（8 分)f(x)且f(0)0,12七、解：解：曲线y x 与直线3x 2y 4 0的交点为(2,1)和(4,4).(1 分)443x 411x2)dx；(5 分）（1）D=(224343x 418)2(x2)2dx。（10 分)（2)V(2245八、解：首先求对应的齐次方程的通解：dy2y 0(1 分)dxx 1dy2dxyx1y c(x1)2(4 分）用常数变易法，把c变成u(x)，即令y u(x)(x1)2，则有（5 分）dy u(x)(x1)2 2u(x)(x1)（6 分）dx代入到原方程中得1u(x)(x1)2，两边积分得3u(x)23(x1)2c,故原方程的通解为3y 23(x1)2c(x1)2(8 分）9 分）（10 分）（高等数学高等数学 A A 参考答案及评分标准参考答案及评分标准考试科目：高等数学考试科目：高等数学 A A 上上考试班级：考试班级：考试方式：考试方式：闭卷闭卷命题教师：命题教师：一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共 4 4 小题小题,每题每题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）1已知当x 0时,(1 ax)1与1 cos x是等价无穷小,则常数a.x cost2dy。t22，则12cosudu(t 0)dxy tcost 12 u1233微分方程ydx(x24x)dy 0的通解为。4e1dx。2x(2ln x)二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中，本填在题末的括号中，本大题共大题共 4 4 小题小题,每题每题 4 4 分，共分，共 1616 分）分）axe,x 01如果f(x)处处可导，则（）.2b(1 x),x 0(A)a b 1;(B)a 0,b 1；(C)a 1,b 0;(D)a 2,b 1。2函数y f(x)在x x0处连续，且取得极大值，则f(x)在x0处必有（）.(A)f(x0)0；(B)f(x0)0(C)f(x0)0或不存在；(D)f(x0)0且f(x0)0。3若ln x为f(x)的一个原函数，则xf(x)dx（）。xln x1 ln x112ln x(A)C；(B)C(C)C(D)C。；xxxxx24微分方程y sin x的通解是()。1(A)y cos x C1x2C2x C3;(B)y cosx C1;21(C)y sin x C1x2C2x C3;(D)y 2sin2x；2三、解答下列各题解答下列各题(本大题共本大题共 2 2 小题，共小题，共 1414 分）分）1（本小题（本小题 7 7 分）分）求极限limx0 x0(et1t)2dtxsin x42（本小题（本小题 7 7 分分)设 y(x)(2 x)tanx21,(x 1)，求dy。2四、解答下列各题（本大题共解答下列各题（本大题共 4 4 小题小题,共共 2828 分分)1（本小题（本小题 7 7 分）分）F(x)t(t 4)dt，求F(x)的极值及F(x)在1,5上的最值。1x2（本小题（本小题 7 7 分）分）求x31 x2dx。3(本小题本小题 7 7 分分)设f(t)exdx，计算I tf(t)dt。1t22107 分4（本小题（本小题 7 7 分）分）求积分3 41 2arcsinxx(1 x)dx。五、解答下列各题（本大题共五、解答下列各题（本大题共 3 3 小题，共小题，共 2626 分）分）1（本小题（本小题 9 9 分）分）求由曲线y e2x，x轴及该曲线过原点的切线所围成平面图形的面积。2（本小题（本小题 9 9 分分)求微分方程y4y 4y 3e2x 2x的通解。3（本本小小题题 8 8 分分)设f(x)可导，且f(0)0，F(x)tn1f(xntn)dt，证明0 xlimx0F(x)1f(0).2n2nx答案:一、填空题1、a 3dy12 t3、2、(x 4)y4 Cx4I arctan2dx22二、选择题1、B2、C3、D4、A三、计算题1、解:limx0 x0(e 1t)dtxsin4xt2 limx0 x0(et1t)2dtx5(ex1 x)2=lim3 分x05x42(ex1 x)(ex1)2(ex1 x)x lim limx0 x020 x320 x3(ex1 x)ex11 lim lim2x0 x020 x2010 x2、解：取对数ln y tan两边对x求导:2xln(2 x)2 分y1sec2xln(2 x)tanx5 分y22x 22tanx2dy ydx (2 x)1sec2xln(2 x)tanxdx22x 22xx37 2x22 分四、1、解：F(x)t(t 4)dt 133则F(x)x24x，令F(x)x2 4x 0，解得x 0,x 4F(x)2x 4,F(0)4 0，所以x 0时，F(x)的极大值是F(4)4 0,所以x 4时，F(x)的极小值是7；325；5 分3F(1)0,F(5)6，比较得F(x)在1,5上的最大值是725,最小值是。332、解:令x sint，sin3t1dx costdt (1cos2t)d cost cost cos3t C5 分cost31 x22x3312 1 x1 xC31111112t f(t)dt3 分3、解：I tf(t)dt f(t)dt2t2f(t)10020220112t41411 t 2tedt et1(e1)020444、解：(arcsin3 41 2arcsinxx(1 x)3 41 2dx 23 41 2arcsinx(1 x)dx 23 41 2arcsinxd arcsinx4 分x)272144五、1、解：设切点为(x0,e2x0)，则切线方程y e2x0 2e2x0(x x0)1又切线过原点，将(0,0)代入得切点(,e)，则切线y 2ex5 分2S edx(e2x 2ex)dx 02x120e42、解:齐方程的特征方程r2 4r 4 0，特征根r1 r2 2齐方程的通解是Y C1e2xC2xe2x4 分设非齐次方程的一个特解为y*Ax2e2x Bx C，代入原方程311311,B,C，故y*x2e2xx 8 分222222311非齐次方程的通解y C1e2xC2xe2xx2e2xx;222解得A 3、证明：令u xntn，则du ntn1dtF(x)t0 xn1101xnf(x t)dt nf(u)du f(u)du3 分nxn0nnf(u)duF(x)f(xn)nxn1f(xn)f(0)10lim2n lim lim limf(0)2n2n1nx0 xx0 x0 x02nnxn2nx2nx8 分xn课程名称:高等数学高等数学 A(A(上上)课程类别:必修必修考试方式：闭卷闭卷注意事项：1、本试卷满分 100 分。2、考试时间120 分钟。题号题号得分得分评阅人评阅人一一二二三三四四五五六六七七八八得分得分一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3 3 分，分，得分共共 1818 分）分）1.D;2C；3 B；4 B；5B;6A。二、填空题二、填空题(每小题每小题 3 3 分，共分，共 1818 分）分）得分1.limx0f(x)f(x)g(x)g(0)1；22；3(0,0),(3,12e3)1x14y(50)xsin x50cos x；5limx11xf(t)dtx2112；6y 1sin xc三、计算下列各题（每小题三、计算下列各题（每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）得分1.lim(cos xsin x)x0解：lim(cos xsin x)limex0 x01xln(cosxsin x)x（2 分)limex01sin xcosxcosxsin x（4 分）e（5 分）2.已知f(u)可导，y fln(xx2a2，求y22x a解 y f ln(xx a)(4 分）22xx a221x1x2a2f ln(xx2a2)（5 分）3。y(x)由方程y xey1确定，求y.yy解：解：两边同时求导得:y e xe y 0yeyy（2 分）1 xeyyy对上式两边同时求导得:y e y e y xey 2 xeyy 0即：(1 xe)y 2e y xeyyyy2 02e2y xe3ye2y(3 y)所以:y（5 分）y3(1 xe)(2 y)3x2142dx(x 1)(x1)x2111111解：2dx dxdxdx（3 分)2(x 1)(x1)2x12x1(x1)11ln|x21|c（5 分）2x1115xdx54x5t2t,dx dt(2 分）解:设54x t,x 4211xdx11(t25)dt（4 分)54x831113(5t t3)|1（5 分）836602e2xcos xdx解：解：2012x12ecosxdx ecosx|02e2xsin xdx（2 分）2202x11 12x12(esin x|02e2xcosxdx)（4 分）22 220202eecosxdx（5 分)52x 2exa四设四设f(x)2x bx1x 0 x 0选择合适的选择合适的a,b，使得，使得f(x)处处可导。处处可导。（本题（本题 6 6 分）分）得分解解:因为f(x)在x 0处连续，所以有x0 x2lim(2e a)lim(x bx1)x0即a 1（3 分）又因为f(x)在x 0处可导，所以有x0 xlim 2e lim(2xb)x0即b 2（6 分)五五.设设x 0，常数，常数a e，证明，证明(a x)a aax（本题（本题 6 6 分）分）解：解：设f(x)aln(xa)(a x)ln a(2 分)f(x)alna 0 xa得分所以f(x)单调减少，而f(0)0，当x 0时,f(x)f(0)（5 分）即(a x)a aax(6 分)六六设函数设函数f(x)lnsecx,x(,)，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性，讨论函数的单调区间和函数图形的凹凸性2 2（本题（本题 6 6 分分)得分 解：解：f(x)tan x（2 分)在(2,0),f(x)0，所以函数f(x)在(2,0)单调减少(3 分）在(0,),f(x)0，所以函数f(x)在(0,)单调增加（4 分）22f(x)sec2x 0，所以该函数的图形是凹的（6 分）七七解微分方程解微分方程dyy(本题本题 6 6 分）分）22dxxx y得分解解微分方程变形为dydxyxy1 1()2x（1 分）令u yduu,则u x（2 分）2xdx1 1u将上式分离变量两边积分得1 1u2u 1u2du dx（4 分）x则ln(1u21)ln|x|c即y2 2c(xc)（6 分）八八 设曲线设曲线y x2(x 0)上某点上某点A处作一切线，处作一切线，使之与曲线以及使之与曲线以及x轴围成的面积为轴围成的面积为试求试求（1 1）过切点）过切点A的切线方程的切线方程（2 2）有上述所围成的平面图形绕）有上述所围成的平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积轴一周所得旋转体的体积(本题本题 1010 分）分）解解:（1）设A的坐标为(x0,y0)，那么过A的切线方程2可表示为y 2x0 x x0(2 分)1，12得分切线与x轴的交点(x02022x0 x0,0)，所以所围成的面积为22S x dxx0(x22x0 x x0)dx 213x0(5 分）12所以x01，即A(1,1)(6 分）(2）平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积为V x dx1(2x1)dx 0214130（10 分)
