实用文档之相似三角形的判定+性质+经典例题分析.pdf
实用文档之实用文档之 相似形（一）相似形（一）板块一、课前回顾板块一、课前回顾一、比例性质一、比例性质1.1.基本性质基本性质:ac ad bc（两外项的积等于两内项积）bd2.2.反比性质：反比性质：acbd (把比的前项、后项交换)bdac3.3.合比性质合比性质：aca bc d（分子加（减）分母,分母不变）bdbd4.4.等比性质：等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果acem(b d f n 0)bdfn，那么a c e mab d f nb谈重点谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立5.5.黄金分割：黄金分割：1 内容2 尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：经典例题回顾：例题1已知a、b、c是非零实数，且-1-1-/2020ab c dba c dcb a dda b c k，求 k的值.例题 2已知1yx1y1x y，求xxy的值。板块二、新课讲解板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念知识点一、相似形的概念概念：概念：具有相同形状的图形叫相似图形相似图形谈重点：谈重点：相似图形强调图形形状相同形状相同，与它们的位置、颜色、大小位置、颜色、大小无关相似图形不仅仅指平面图形指平面图形，也包括立体图形相似立体图形相似的情况我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中 一个图形一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小另一个图形放大或缩小得到的若两个图形形状与大小都相同形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例 全等全等形形知识点二、平行线分线段成比例定理知识点二、平行线分线段成比例定理定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1l2l3。-2-2-/2020则ABBCDEEF，ABACDEDF，BCACEFDF，推论：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。定理：定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4 4推论：推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似推论4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DEBC，ABCADE；知识点三、相似三角形的判定知识点三、相似三角形的判定判定定理判定定理 1 1：两角对应相等，两三角形相似：两角对应相等，两三角形相似符号语言：拓展延伸：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。例题精讲例题精讲【重难点高效突破】【重难点高效突破】例题例题 1 1如图，直线 DE 分别与ABC 的边 AB、AC 的反向延长线相交于 D、E，由 EDBC 可以推出ADAEBDCE吗？请说明理由。（用两种方法说明）-3-3-/2020E ED DA AB BC C例题例题 2 2（射影定理）（射影定理）已知：如图，在ABC 中，BAC=90，ADBC 于D.求证：（1）AB2 BDBC；（2）AD2 BDCD；（3）AC CDCB例题例题 3 3 如图，AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高，DEDF，且 DE 和 DF 分别交 AB、AC 于 E、F.则例题例题 4 4如图，在平行四边形 ABCD 中，已知过点 B 作 BECD 于 E,连接 AE，F为 AE 上一点，且BFE=C（1）求证：ABFEAD；2A AB BD DC CAFBE吗？说说你的理由.ADBDA A（2）若 AB=4，BAE=30，求 AE 的长；（3）在（1）（2）条件下，若 AD=3，求 BF 的长。B BF FD DE EC C-4-4-/2020【即时训练即时训练】一、选择题一、选择题1如图，ABC 经平移得到DEF，AC、DE 交于点 G，则图中共有相似三角形（）A 3 对 B 4 对 C 5 对 D 6 对2如图，已知 DEBC，EFAB，则下列比例式中错误的是（）AADAE BCEEA CDEAD DEFCF.ABACCFFBBCBDABCB3.在矩形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、BC 上的点，若AEF=90，则一定有（）A ADEAEF B.ECFAEF C.ADEECF D.AEFABF4、如图，直线l1l2，AFFB=23，BCCD=21，则AEEC 是（）A.52 B.41 C.21 D.32（1 题图）（2 题图）（3 题图）（4 题图）5.如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上的一点，连结 AE 交 CD于 F，则图中共有相似三角形（）A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对AGBECDF-5-5-/2020(5 题图)(6 题图)(7 题图)(8题图)6.ABC 中，DEBC，且 ADDB=21，那么 DEBC 等于（）A.21 B.12 C.23 D.327.如图，P 是 RtABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 做直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，满足这样条件的直线共有（）A.1 条B.2 条 C.3 条 D.4 条8.如图，已知 DEBC，EFAB，则下列比例式中错误的是（）A.ADAE B.CEEA C.DEAD D.EFCFABACCFFBBCBDABCB9.下列说法：其中正确的是()所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似.A.B.C.D.二、解答题二、解答题1、如图，ABC 中，BD 是角平分线，过 D 作 DEAB 交 BC 于点 E，AB=5cm，BE=3cm，求 EC 的长.-6-6-/20202.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=90，对角线 BDDC.(1)ABC 与DCB 相似吗？请说明理由.(2)如果 AD=4，BC=9，求 BD 的长.3.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点.ADQ 与QCP 是否相似？为什么？4.如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 E，交 AB 与 F，试判定BAE 与ACE 是否相似，并说明理由。F FA AB BD DC CE E-7-7-/20205.如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm，BC=10cm，动点P 在 AB 边上由 A 向 B 作匀速运动，1 分钟可到达 B 点；动点Q 在 BC 边上由 B 向 C 作匀速运动，1 分钟可到达 C 点，若 P、Q 两点同时出发，问经过多长时间，恰好有 PQBD？C C 6.已知：如图所示，D 是 AC 上一点，BEAC，AE 分别交 BD、BC 于点 F、G，1=2.则 BF 是 FG、EF 的比例中项吗？请说明理由.7.如图，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高，BAC 的平分线分别交 BC、CD于点 E、F.ACAE=AFAB 吗？说明理由.Q QB BP PA AD D-8-8-/20208.如图，AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高，DEDF，且 DE 和 DF 分别交 AB、AFBEAC 于 E、F.则吗？说说你的理由.ADBD相似形（二）相似形（二）板块二、新课讲解板块二、新课讲解知识点知识点 1 1相似三角形的判定相似三角形的判定判定定理判定定理(2)(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理判定定理(3)(3)：三边对应成比例，两三角形相似知识点知识点 2 2直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似知识点知识点 3 3 相似三角形中的基本图形相似三角形中的基本图形BA型，X型交 错 型EDCBDCBAAEADCAEBDCA-9-9-/2020旋转型母子形例题精讲例题精讲【重难点高效突破】【重难点高效突破】例题例题 1 1如图在 44 的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上（1）填空：ABC=_，BC=_（2）判定ABC 与DEF 是否相似？并说明理由。例题例题 2.2.如图，在ABC 中，已知 BD、CE 是ABC 的高，求证：ADEABC。例题例题 3 3如图，已知 ABBD，CDBD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点 P 在 BD上由 B 点向 D 点移动，当 BP 等于多少时，ABP 与CPD 相似？C CA AE ED DC CB BA A例题例题 4.4.已知：如图，在ABC 中，C90，P 是 AB 上一点，且点 P 不与点A 重合，过点 P 作 PEAB 交 AC 于 E，点 E 不与点 C 重合，若 AB10，AC8，设 APx，四边形 PECB 的周长为 y，求 y 与 x 的函数关系式B BP PD D-10-10-/2020例题例题 5 5在三角形 ABC 中，AB=AC，ADBC 于点 D，DEAC 于点 E，M 为 DE的中点，AM 与 BE 相交于点 N，延长 AM 交 BC 于点 G，AD 与 BE 相交于点 F，求证：（1）DE=AD;CECDA A（2）BCEADM；（3）AMBE.B BF FD DN NMMG GE EC C【随堂演练】【随堂演练】A A 组组1下列命题中正确的是（）三边对应成比例的两个三角形相似 二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似一个锐角对应相等的两个直角三角形相似一个角对应相等的两个等腰三角形相似A、B、C、D、2如图，D、E 分别是 AB、AC 上两点，CD 与 BE 相交于点 O，下列条件中不能使ABE 和ACD 相似的是（）A.B=CB.ADC=AEBD.ADAC=AEABC.BE=CD，AB=AC3如图，在正方形网格上有6 个斜三角形：ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK.其中中，与三角形相似的是（）(A)(B)(C)(D)4如图，DE 与 BC 不平行，当AB=时，ABC 与ADE 相似。AC-11-11-/20205如图，平行四边形 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是 AD 的中点，在AB 上取一点F，使CBFCDE，则 BF 的长是（）A5 B8.2 C6.4 D1.8（3 题图）（4 题图）（5 题图）5如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AEBC 于 E，AFCD 于 F.(1)ABE 与ADF 相似吗？说明理由.(2)AEF 与ABC 相似吗？说说你的理由.6已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点.ADQ 与QCP 是否相似？为什么？7如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交 AB 于 F，连接FCAB AE,AEFEFC 吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。若ABCD 为矩形呢？-12-12-/2020板块三、课后作业板块三、课后作业1如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AB，BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 O，则AODO等于（）A1213 B2 55 C3 D22如图，直线 EF 交 AB、AC 于点 F、E，交 BC 的延长线于点 D，ACBC，已知ABCD=DEAC,求证：AECE=DEEF3已知：如图，在梯形ABCD 中，ABCD，B90，以 AD 为直径的半圆与 BC 相切于 E 点求证：ABCDBEEC4如图所示，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为点 B，点 D 是O上的一点，且 ADOC求证：ADBCOBBD-13-13-/2020A AF FE EB BC CD D5如图所示，在O 中，CD 过圆心 O，且 CDAB 于 D，弦 CF 交 AB 于 E求证：CB2CFCE6 已知 D 是 BC 边延长线上的一点，BC3CD，DF 交 AC 边于 E 点，且 AE2EC 试求 AF 与 FB 的比7已知：如图，在 ABC 中，BAC90，AHBC 于 H，以 AB 和 AC 为边在 RtABC 外作等边ABD 和ACE，试判断BDH 与AEH 是否相似，并说明理由-14-14-/2020相似三角形的性质及其应用相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质知识要点：相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方【重难点高效突破】【重难点高效突破】例题例题 1.1.(1)(1)两个相似三角形的面积比为s1:s2，与它们对应高之比h1:h2之间的关系为_(2)如图，已知 DEBC，CD 和 BE 相交于 O，若SABC:SCOB 9:16，则AD:DB=_AAABEDODEGFOEFACBBC(2)题图DC(4)题图(3)题图DADCCBB(5)题图-15-15-/2020(3)(3)如图，已知 ABCD,BO:OC=1:4,点 E、F 分别是 OC，OD 的中点，则 EF:AB 的值为(4)(4)如图，已知 DEFGBC,且 AD:FD:FB=1:2:3,则SABC:S四边形DFGE:S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)(5)梯形 ABCD 中，ADBC，（ADBC），AC、BD 交于点 O,若S6OAB25SABCD,则AOD 与BOC 的周长之比为_。例题例题 2 2.如图，在ABC 中，DEBC，且SADE:S四边形四边形 BCED1:2，BC26。求 DE 的长。例题例题 3.3.如图所示，已知DEBC，且与ABC 的边 CA、BA 的延长线分别相交于点 D、E，F、G 分别在边 AB、AC 上，且 AF：FB=AG：GC，求证：AFGAED。例题例题 4 4.如图，矩形 EFGH 内接于ABC，ADBC 于点 D，交 EH 于点 M，BC20，AM8，S2ABC100 。求矩形 EFGH 的面积。-16-16-/2020ADOBCD DBE EB BF F例题例题 5 5.ABC 中，D 为 AB 上一点，若ABC=ACD，AD=8，DB=6，求 AC的长。AE例题例题 6.6.已知，如图ABC 中，BAC=90，AB=AC=1,D 为 BC 上一动点（不与 B,C重合），ADE=45（1）求证ABDDCE（2）设 BD=x,AE=y,求 y 与 x 的函数关系式（3）若ADE 为等腰直角三角形时，求AE 的长例题例题 7 7、如图,在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,AD=3，BC=7，B=60，P 为下底 BC 上一点（不与 B、C 重合），连结 AP,过 P 点作 PE 交 DC 于 E,使得APE=B.（1）求证：ABPPCE；（2）求等腰梯形的腰 AB 的长；（3）在底边 BC 上是否存在一点 P,使得 DEEC=53，如果存在,求出 BP 的长,BDC0-17-17-/2020如果不存在,请说明理由.60AB【随堂演练】【随堂演练】A A 组组1.两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们周长的比为_.2若 x：y：z=3：5：7，3x2y4z9 则 xyz 的值为_.3.如图，APD90，APPBBCCD，则下列结论成立的是（）A.PABPCA B.PABPDAC.ABCDBA D.ABCDCAADA1EB第 4 题CPBCD第 3 题4.如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，1B，AEEC4，BC10，AB12，则ADE 的周长为_5 某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得 1 5 米长的竹竿影长 0 9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是24 米，留在墙上部-18-18-/2020P第 7 题图A A分的影高是 1.5 米，则松树的高度为_米6.如图，C 为线段 AB 上的一点，ACM、CBN 都是等边三角形，若AC3，BC2，则MCD 与BND 的面积比为。7如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC、BD 交于 O 点，SAOD:SCOB1:9，则 SDOC:SBOC板块三、课后作业板块三、课后作业1.已知：如图，ABC 中，A36，ABAC，BD 是角平分线(1)求证：AD2CDAC；(2)若 ACa，求 AD2已知：如图，ABCD 中，E 是 BC 边上一点，且BE于 F 点(1)求BEF 的周长与AFD 的周长之比；(2)若BEF 的面积 SBEF6cm2，求AFD 的面积 SAFD1EC,BD,AE相交2-19-19-/20203已知：如图，RtABC 中，AC4，BC3，DEAB(1)当CDE 的面积与四边形 DABE 的面积相等时，求 CD 的长；(2)当CDE 的周长与四边形 DABE 的周长相等时，求 CD 的长-20-20-/2020
