2021全国甲卷理数.pdf

20212021 全国甲卷（理数）全国甲卷（理数）一、单选题一、单选题1设集合Mx 0 x4,Nx1x5，则MN（3Bx）Ax 0 x131x43Cx 4 x 5Dx 0 x 52为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间3已知(1i)2z 32i，则z（A1）C3i2B13i23i2D3i24青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足L 5lgV已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（A1.5）（1010 1.259）B1.2C0.8D0.65 已知F1,F2是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且F1PF2 60,PF1 3 PF2，则 C 的离心率为（A）B72132C7D136在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）ABCD7等比数列an的公比为 q，前 n 项和为Sn，设甲：q 0，乙：Sn是递增数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件82020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，m）现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影A,B,C满足ACB 45，ABC 60由 C 点测得 B 点的仰角为15，BB与CC的差为 100；由 B 点测得A 点的仰角为45，则 A，C 两点到水平面ABC的高度差AACC约为（3 1.732）（）A3469若0,B373C446）D473cos,tan2，则tan（22sinB55A151513C5323D）D1534510将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（AB25）C11已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且AC BC,AC BC 1，则三棱锥O ABC的体积为（A212B312C24D3412设函数fx的定义域为 R，f2x1为奇函数，fx2为偶函数，当x1,2）9ff 0 f 3 6时，f(x)ax b若 ，则（2A94B32C74D52二、填空题2x1在点1,3处的切线方程为_x214已知向量a 3,1,b 1,0,c a kb若a c，则k _13曲线y22xy15已知F1,F2为椭圆 C：1的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称164的两点，且PQ F1F2，则四边形PFQF12的面积为_16已知函数fx 2cos(x)的部分图像如图所示，则满足条件f(x)7ff(x)44f0的最小正整数 x 为_3三、解答题17甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品甲机床乙机床合计150120270二级品5080130合计200200400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?n(adbc)2附：K(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2 kk0.0503.8410.0106.6350.00110.82818已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列an是等差数列：数列S是等差数列；an2 3a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19已知直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB BC 2，E，F 分别为AC和CC1的中点，D 为棱A1B1上的点BF A1B1（1）证明：BF DE；（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?20抛物线 C 的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：x 1交 C 于 P，Q 两点，且OP OQ已知点M2,0，且M与 l 相切（1）求 C，M的方程；（2）设A1,A2,A3是 C 上的三个点，直线A1A2，A1A3均与M相切判断直线A2A3与M的位置关系，并说明理由xa21已知a 0且a 1，函数f(x)x(x0)a（1）当a 2时，求fx的单调区间；（2）若曲线y fx与直线y 1有且仅有两个交点，求 a 的取值范围22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为1,0，M 为 C 上的动点，点 P 满足AP 的轨迹C1的参数方程，并判断 C 与C1是否有公共点 2AM，写出23已知函数f(x)x2,g(x)2x3 2x1（1）画出y fx和y gx的图像；（2）若fx a gx，求 a 的取值范围参考答案1B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为M x|0 x 4,N x|故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定 ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定 C.【详解】因为频率直方图中的组距为 1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户的比率估计值为0.020.04 0.066%,故 A 正确；该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%,故B 正确；该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的比例估计值为11 x 5，所以MNx|x4,330.100.140.202 0.64 64%50%,故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02 7.68(万元)，超过 6.5 万元，故 C 错误.综上，给出结论中不正确的是 C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于3B【分析】由已知得z【详解】频率组距.组距32i，根据复数除法运算法则，即可求解.2i(1i)2z 2iz 32i，z32i(32i)i23i3 1i.2i2ii22故选：B.4C【分析】根据L,V关系，当L 4.9时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解.【详解】由L 5lgV，当L 4.9时，lgV 0.1，则V10故选：C.5A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出PF1,PF2，结合余弦定理可得答案.【详解】因为PF1 3 PF2，由双曲线的定义可得PF1 PF2 2 PF2 2a，所以PF2 a，PF13a；因为F1PF2 60,由余弦定理可得4c29a2a223aacos60，0.11011010110.8.101.259c277整理可得4c 7a，所以e 2，即e.a42222故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.6D【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7B【分析】当q 0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当Sn是递增数列时，必有an 0成立即可说明q 0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足q 0，但是Sn不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若Sn是递增数列，则必有an 0成立，若q 0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q 0成立，所以甲是乙的必要条件故选：B【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程8B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得AB，进而得到答案【详解】过C作CH BB，过B作BD AA，故AACC AABBBH AABB100 AD100，由题，易知ADB为等腰直角三角形，所以AD DB所以AACC DB100 AB100因为BCH 15，所以CH CB在ABC中，由正弦定理得：100tan15ABCB100100，sin45sin75tan15cos15sin15而sin15 sin(4530)sin45cos30cos45sin30 62，4所以AB100422100(31)273，62所以AACC AB100373故选：B【点睛】本题关键点在于如何正确将AACC的长度通过作辅助线的方式转化为AB1009A【分析】由二倍角公式可得tan2sin22sincos1sin，再结合已知可求得，利用同4cos212sin2角三角函数的基本关系即可求解.【详解】tan2cos2sinsin22sincoscostan2，cos212sin22sin2sin110,，cos 0，sin，解得，2412sin2sin2cos1sin2故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin.10C【分析】采用插空法，4 个 1 产生 5 个空，分 2 个 0 相邻和 2 个 0 不相邻进行求解.【详解】将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可利用插空法，4 个 1 产生 5 个空，若 2 个 0 相邻，则有C5 5种排法，若 2 个 0 不相邻，则有C510种排法，所以 2 个 0 不相邻的概率为1215sin15，tan.4cos15102.5103故选：C.11A【分析】由题可得ABC为等腰直角三角形，得出ABC外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距离，进而求得体积.【详解】AC BC,AC BC 1，ABC为等腰直角三角形，AB 2，则ABC外接圆的半径为2，又球的半径为 1，2设O到平面ABC的距离为d，2 2则d12，22所以VOABC故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12D【分析】通过211122.SABCd11332212fx1是奇函数和fx2是偶函数条件，可以确定出函数解析式fx 2x22，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案【详解】因为fx1是奇函数，所以fx1 fx1；因为fx2是偶函数，所以fx2 fx2令x 1，由得：f0 f2 4ab，由得：f3 f1 ab，因为f0 f3 6，所以4abab 6 a 2，令x 0，由得：f1 f1 f10b 2，所以fx 2x 22思路一：从定义入手9551ff2f2f22221335ff1 f1 f22225f f2所以f12 f212=23f29 f23522思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期T所以f491f f223522故选：D【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果135x y 2 0【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当x 1时，y 3，故点在曲线上求导得：y 2x22x1x225x22，所以y|x15故切线方程为5x y2 0故答案为：5x y 2 01410.3【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值【详解】a 3,1,b 1,0,c a kb 3k,1,10a c,ac 33k110，解得k ,310故答案为：.3【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量p x1,y1,q x2,y2垂直的充分必要条件是其数量积x1x2 y1y2 0.158【分析】根据已知可得PF1 PF2，设|PF1|m,|PF2|n，利用勾股定理结合m n 8，求出mn，mn，即可求解.四边形PFQF12面积等于【详解】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，所以四边形PFQF12为矩形，设|PF1|m,|PF2|n，则m n 8,m2 n2 48，所以64 (m n)2 m22mn n2 482mn，mn8，即四边形PFQF12面积等于8.故答案为：8.162【分析】先根据图象求出函数f(x)的解析式，再求出f(得最小正整数或验证数值可得.7),f()的值，然后求解三角不等式可43【详解】由图可知23133，所以 2；T，即T41234由五点法可得2，即；326所以f(x)2cos2x.6因为f(7 )2cos1f()2cos，0；4332所以由(f(x)f(74)(f(x)f()0可得f(x)1或f(x)0；43因为f1 2cos2 2cos1，所以，6260，6方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)0，即cos2x解得k5xk,kZ，令k 0，可得 x，3636可得x的最小正整数为 2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足f(x)0，又f(2)2cos4合题意，可得x的最小正整数为 2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.（1）75%；60%；17（2）能.【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可【详解】0，符6（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%,200乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%.200400106.635,39（2）K240015080120502701302002002故能有 99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18答案见解析【分析】选作条件证明时，可设出Sn，结合an,Sn的关系求出an，利用an是等差数列可证a2 3a1；选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出Sn，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出Sn anb，结合an,Sn的关系求出an，根据a2 3a1可求b，然后可证an是等差数列.【详解】选作条件证明：设Sn anb(a 0)，则Snanb，2当n 1时，a1 S1ab；当n 2时，anSnSn1anbanab a2ana 2b；因为an也是等差数列，所以ab a2aa 2b，解得b 0；2222所以an a22n1，所以a2 3a1.选作条件证明：因为a2 3a1，an是等差数列，所以公差d a2a1 2a1，所以Snna1nn12dn2a1，即Sna1n，因为Sn1Sn所以na1n1a1na1，S是等差数列.2选作条件证明：设Sn anb(a 0)，则Snanb，当n 1时，a1 S1ab；当n 2时，anSnSn1anbanab a2ana 2b；因为a2 3a1，所以a3a 2b3a b，解得b 0或b 22224a；3当b 0时，a1 a,an a时an为等差数列；当b 222n1，当n 2时，an-an-1 2a2满足等差数列的定义，此4a4a时，Sn anb=ana，S1 0不合题意，舍去.333综上可知an为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19（1）见解析；（2）B1D【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案【详解】因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以BB1底面ABC，所以BB1 AB因为A1B1/AB，BF A1B1，所以BF AB，又BB1BF B，所以AB 平面BCC1B1所以BA,BC,BB1两两垂直12以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所以B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,B10,0,2,A12,0,2,C10,2,2，E1,1,0,F0,2,1由题设Da,0,2（0 a 2）（1）因为BF 0,2,1,DE 1a,1,2，所以BF DE 01a 2112 0，所以BF DE（2）设平面DFE的法向量为m x,y,z，因为EF 1,1,1,DE 1a,1,2，mEF0 xyz0所以，即1a xy2z0mDE0令z 2a，则m 3,1a,2 a BCC B因为平面11的法向量为BA2,0,0，设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为，mBA63 则cos22mBA22a2a142a2a14当a 127时，2a22a4取最小值为，2236此时cos取最大值为2732所以sin此时B1D【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出Da,0,2（0 a 2），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步20（1）抛物线C:y2 x，M方程为(x2)2 y21；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与x 1相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,Q坐标，由OP OQ，即可求出p；由圆M与直线x 1相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑A1A2斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若A1A2,A1A3,A2A3斜率存在，由A1,A2,A3三点在抛物线上，将直线A1A2,A1A2,A2A3斜率分别用纵坐标表示，再由min6 3，133212A1A2,A1A2与圆M相切，得出y2 y3,y2 y3与y1的关系，最后求出M点到直线A2A3的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线C:y 2px(p 0),P(1,y0),Q(1,y0)，2 2OP OQ,OPOQ 1 y012p 0,2p 1，所以抛物线C的方程为y2 x，M(0,2),M与x 1相切，所以半径为1，所以M的方程为(x2)2 y21；（2）设A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x 1或x 3，若A1A2方程为x 1，根据对称性不妨设A1(1,1)，则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y 1，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；若A1A2方程为x 3，根据对称性不妨设A1(3,3),A2(3,3),则过A1与圆M相切的直线A1A3为y 3 3(x 3)，3又kA1A3y1y3113,y30，x1x3y1y333y3x3 0,A3(0,0)，此时直线A1A3,A2A3关于x轴对称，所以直线A2A3与圆M相切；若直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在，则kA1A2111,kA1A3,kA2A3，y1y2y1y3y2y31xx1，y1y2所以直线A1A2方程为yy1整理得x(y1 y2)y y1y2 0，同理直线A1A3的方程为x(y1 y3)y y1y3 0，直线A2A3的方程为x(y2 y3)y y2y3 0，A1A2与圆M相切，22|2y1y2|1(y1y2)221整理得(y11)y22y1y23 y1 0，2A1A3与圆M相切，同理(y121)y32y1y33 y12 0所以y2,y3为方程(y11)y 2y1y 3 y1 0的两根，2222y13y12y2y3 2,y2y32，y11y11M到直线A2A3的距离为：3y12|22|2y2y3|y1122y1(y2y3)1(21)2y11y12121，222y11(y11)4y1所以直线A2A3与圆M相切；综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用A1A2,A1A3的对称性，抽象出|y121|y2 y3,y2 y3与y1关系，把y2,y3的关系转化为用y1表示.21（1）0,【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线y fx与直线y 1有且仅有两个交点等价转化为方程22,上单调递增；（2）1,ee,.上单调递减；ln2ln2ln xlnaa有两个不同的实数根，即曲线y gx与直线y有两个交点，xalna利用导函数研究gx的单调性，并结合gx的正负，零点和极限值分析gx的图象，进而得到0lna1，发现这正好是0 ga ge，然后根据gx的图象和单调性得到aea的取值范围.【详解】xx22x2xx22xln2x22xln2（1）当a 2时，fxx,f x,2x24x2 令f x 0得x 函数fx在0,222,当0 x 时，f x0,当x 时，f x0,ln2ln2ln222,上单调递增；上单调递减；ln2ln2ln xxalnxlna（2）fxx1axxaxlnaalnx,设函数gx,xaxa则gx1ln x,令gx0，得x e,2x在0,e内gx0,gx单调递增；在e,上gx0,gx单调递减；gxmaxge1,e又g10，当x趋近于时，gx趋近于 0，所以曲线y fx与直线y 1有且仅有两个交点，即曲线y gx与直线y个交点的充分必要条件是0lna1,这即是0 ga ge,aea有两lna所以a的取值范围是1,ee,.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.22（1）x22x322cos（2）P 的轨迹C1的参数方程为（为 y 2；y2sin2参数），C 与C1没有公共点.【分析】（1）将曲线 C 的极坐标方程化为2 2 2cos，将xcos,y sin代入可得；（2）设Px,y，设M2 2cos,2sin，根据向量关系即可求得 P 的轨迹C1的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线 C 的极坐标方程 2 2cos可得2 2 2cos，将xcos,y sin代入可得x2 y2 2 2x，即x2即曲线 C 的直角坐标方程为x2（2）设Px,y，设M2 y2 2，2 y2 2；2 2cos,2sinAP 2AM，x1,y22 2cos1,2sin 2 2cos2,2sin，x122cos2x322cos则，即，y2siny2sin故 P 的轨迹C1的参数方程为x322cos（为参数）y2sin曲线 C 的圆心为2,0，半径为2，曲线C1的圆心为32,0，半径为 2，则圆心距为32 2，32 2 22，两圆内含，故曲线 C 与C1没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M的参数坐标，利用向量关系求解.23（1）图像见解析；（2）a【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将y fx向左平移可满足同角，求得y fxa过1121A,4时a的值可求.2【详解】2x,x2f(x)x2（1）可得，画出图像如下：x2,x234,x 231g(x)2x32x14x2,x，画出函数图像如下：2214,x2（2）f(xa)|xa 2|，如图，在同一个坐标系里画出fx,gx图像，y fxa是y fx平移了a个单位得到，则要使f(xa)g(x)，需将y fx向左平移，即a 0，当y fxa过A11151,4时，|a2|4，解得a 或（舍去），2222则数形结合可得需至少将y fx向左平移1111个单位，a.22【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.