【好题】数学高考试题(带答案).pdf

【好题】数学高考试题【好题】数学高考试题(带答案带答案)一、选择题一、选择题1设集合M x log2x1 0，集合N x x 2，则M N（）Ax 2 x 221A15Bx x 2Cx x 2Dx 1 x 21 61x展开式中x2的系数为（）2xB20C30D353在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和 1，则与信息 0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A10B11C12D154一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20,60上的频率为0.8，则估计样本在40,50、50,60内的数据个数共有（）A14B15C16D175函数fx lnx1A0,12的一个零点所在的区间是()xC2,3D3,4B1,26在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A22B32C52D727甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100 米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是()A甲B乙C丙D丁8南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2，则“S1,S2总相等”是“V1,V2相等”的（）A充分不必要条件C充分必要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件9对于不等式n2 nn+1(nN*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当 n=1 时,1211+1,不等式成立.(2)假设当 n=k(kN)时,不等式成立,即k2 kk+1.那么当 n=k+1时,(k 1)k 12*k23k2 k23k2 k2(k 2)2=(k+1)+1,所以当 n=k+1 时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何 nN*,不等式均成立.则上述证法（）A过程全部正确C归纳假设不正确Bn=1 验得不正确D从 n=k 到 n=k+1 的证明过程不正确10已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100cm3C92cm3D84cm311如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点.若 M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A3B2C3D212已知a,b是非零向量且满足(a 2b)a，(b 2a)b，则a与b的夹角是（）A6B3C23D56二、填空题二、填空题13若函数f(x)x 范围是_.14已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为133122x 2ax在,上存在单调增区间，则实数a的取值232，4，则球O的表面积为_15sin50 13tan10_.16如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120，E 为CC1的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是_.17设复数z 1i(i虚数单位),z的共轭复数为z，则1 zz _.18已知四棱锥S ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于_.19已知向量a与b的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=_.20设等比数列an满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2an的最大值为三、解答题三、解答题21已知等差数列an满足：a1 2，且a1，a2，a5成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn 60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.22如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1 2 2，C1H 平面AA1B1B，且C1H 5.（）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（）求二面角A AC11 B1的正弦值；（）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN 平面A1B1C1，求线段BM的长23若不等式ax25x20的解集是x解集1 x 2，求不等式ax25xa210的2x 2txOy24在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，aR），以y 1at坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C的极坐标方程是 2 2sin.4（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）己知直线l与曲线C交于A、B两点，且AB 25已知函数fx ax1lnx，aR7，求实数a的值.()讨论函数fx的单调区间；()若函数fx在x 1处取得极值，对x0,，fxbx2恒成立，求实数b 的取值范围【参考答案】【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1B解析：B【解析】【分析】求解出集合M，根据并集的定义求得结果.【详解】M x log2x1 0 x 0 x11x 1 x 2M N x x 2本题正确选项：B【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2C解析：C【解析】【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得x2的系数.【详解】rnrr根据二项式定理展开式通项为Tr1 Cnab1 166611 x 1 x 1 x22xx rr则1 x展开式的通项为Tr1 C6x61 62 2 1 4 4211xC则展开式中的项为x6x 2C6x2x x 则1故选:C【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.1 6241x展开式中x2的系数为C6C61515302x3B解析：B【解析】【分析】【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42 6个；1第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C4 4个；0第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有C41个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111个，故选 B4B解析：B【解析】【分析】计算出样本在20,60的数据个数，再减去样本在20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在20,60的数据个数为300.824，样本在20,40的数据个数为459，因此，样本在40,50、50,60内的数据个数为24915.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5B解析：B【解析】【分析】先求出f(1)f(2)0,根据零点存在性定理得解.【详解】由题得f1 ln22=ln 22 0，12f2 ln3=ln3 1 0，2所以f(1)f(2)0,所以函数fx lnx1故选 B【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2的一个零点所在的区间是1,2.x6C解析：C【解析】【分析】利用正方体ABCD A1B1C1D1中，CD/AB，将问题转化为求共面直线AB与AE所成角的正切值，在ABE中进行计算即可.【详解】在正方体ABCD A1B1C1D1中，CD/AB，所以异面直线AE与CD所成角为EAB，设正方体边长为2a，则由E为棱CC1的中点，可得CE a，所以BE 则tanEAB 5a，BE5a5.故选 C.AB2a2【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.7C解析：C【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意故跑第三棒的是丙故选：C【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题8A解析：A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可.【详解】根据祖暅原理，当S1,S2总相等时，V1,V2相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“S1,S2总相等”是“V1,V2相等”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.9D解析：D【解析】【分析】【详解】题目中当 n=k+1时不等式的证明没有用到n=k时的不等式，正确的证明过程如下：在（2）中假设n k时有k2k k 1成立，即(k 1)2(k 1)(k 1)1成立，即n k 1时成立，故选 D点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到 k1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.10B解析：B【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4，4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角）据此即可得出体积解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角）该几何体的体积 V=663故选 B=100考点：由三视图求面积、体积11B解析：B【解析】【分析】【详解】M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍双曲线与椭圆有公共焦点，双曲线与椭圆的离心率的比值是2故答案选B12B解析：B【解析】【分析】利用向量垂直求得a b【详解】设a,b的夹角为；因为(a 2b)a，(b 2a)b，所以a b22222 2ab，代入夹角公式即可.2ab，2则a|2ab,b|2ab，a则cosab21,.223a ba故选：B【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式ab a b cos；二是向量的2平方等于向量模的平方a a.22二、填空题二、填空题13【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性1解析：解析：(,)9【解析】【分析】【详解】2211时，f(x)的试题分析：f(x)x x2a x2a当x，3242最大值为212 21f 2a，令2a 0，解得a ，所以 a 的取值范围是,99939考点：利用导数判断函数的单调性14【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为 R 球心 O 到上表面距离为 x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查解析：解析：80【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。【详解】设球半径为 R，球心 O 到上表面距离为 x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式22 x2 42+6 x，解得x 4，所以半径R2 x2 22 20因而表面积S 4R280【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。215【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择解析：解析：1【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出sin50 13 tan103sin10 sin50 cos10cos10，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.【详解】原式cos10 3sin102sin10 30sin502sin 40 cos40sin50 cos10cos10cos10sin80sin90 10cos101.cos10cos10cos10故答案为：1.【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.16【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为 120 所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴解析：【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体ABCD A1B1C1D1的体积为 120，所以ABBCCC1120，因为E为CC1的中点，所以CE 1CC1，2由长方体的性质知CC1底面ABCD，所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高，所以三棱锥EBCD的体积111111V ABBCCE ABBCCC1120 10.3232212【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.17【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和解析：解析：10【解析】分析：由z 1i，可得z 1i，代入1zz，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为z 1i，所以z 1i，1 zz 11i1i2i1i 3i 91 10，故答案为10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题解题时一定要注意i2 1和abicdiacbdad bci18【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于 O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析：解析：1015【解析】【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的外心分别作相应面的垂线交于O，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB 平面ABCD，连接 AC,BD 交于 E，过 E 作面 ABCD 的垂线与过三角形 ABS的外心作面 ABS 的垂线交于 O，即为球心，连接 AO 即为半径，令r1为SAB外接圆半径，在三角形 SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则 cosSBA 2,3sinSBA 399AD51,，2r1，r1，又 OF=sinSBA52 523811011，2020101.5222可得R r1OF，计算得，R 22所以S 4R 故答案为101.5【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.19【解析】【分析】【详解】平面向量与的夹角为 故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：解析：2 3【解析】【分析】【详解】b 1平面向量a与b的夹角为600，a 2，ab 21cos6001.a 2b(a 2b)2a24ab(2b)2444 2 3故答案为2 3.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)a aa常用来求向量的模20【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用解析：解析：64【解析】a18a1a310a1(1q2)10试题分析：设等比数列的公比为q，由得，解得1.所2a2a45q a1q(1q)52以a1a2an a qn12(n1)117 n2 n1n(n21)8()222，于是当n 3或4时，a1a22nan取得最大值26 64.考点：等比数列及其应用三、解答题三、解答题21(1)通项公式为an 2或an 4n2;(2)当an 2时，不存在满足题意的正整数n；当an 4n2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.【解析】【详解】（1）依题意，2,2 d,2 4d成等比数列，故有2d 224d，d24d 0，解得d 4或d 0.an 2n14 4n2或an 2.（2）当an 2时，不存在满足题意的正整数n；当an 4n2，Sn2n24n22 2n2.令2n2 60n800，即n230n400 0，解得n40或n10（舍去），最小正整数n41.22（）【解析】【分析】（）以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BB1所在直线为y轴，建立坐标系，设异面直线AC与A1B1所成角为，算出AC,A1B1，再利用cos|cosAC,A1B1|计算即可；（）分别求出平面AA1C1的法向量m与平面B1AC11的法向量n，再利用向量的夹角公式算得cosm,n即可；（）设M(a,b,0)，由MN 平面A1B1C1，得标，再由模长公式计算BM的长.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BB1所在直线为y轴，由题意，3 5102；（）；（）743MN A1B1 0，进一步得到M的坐MN A1C1 0B(0,0,0),A(2 2,0,0),C(2,2,5),A1(2 2,22,0),B1(0,2 2,0),C1(2,2,5)，（）AC (2,2,5),A1B1(2 2,0,0)，所以cosAC,A1B1 AC A1B142，3|AC|A1B1|32 2设异面直线AC与A1B1所成角为，则cos|cosAC,A1B1|2，3所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为2.3（）易知AA1(0,2 2,0),AC11(2,2,5)，设平面AA1C1的法向量m (x,y,z)，2x2y5z 0m AC11 0则，即，m AA 012 2y 0令x 5，则z 2，所以m (5,0,2)，同理，设平面B1AC11的法向量n (x,y,z)，n A1C1 0 2x2y5z 0则，即，n A1B1 02 2x 0令y 5，则z 2，所以n (0,5,2)，所以cosm,n mn22，|m|n|7 77设二面角A AC11 B1的大小为，则sin1()2273 5，7所以二面角A AC11 B1的正弦值为3 5.72 3 25BCN,（）由N为棱11的中点，得，222设M(a,b,0)，则MN 23 25a,b,，222MN A1B1 0ABC由MN 平面111，得，即MN AC 0112a(2 2)02，3 225a(2)b(2)5 02222a 22222,0，因此BM,0，解得，故M2424b 24所以线段BM的长为|BM|10.4【点睛】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.12323x 3 x 2【解析】【分析】由不等式的解集和方程的关系，可知1，2是方程ax5x20的两根，利用韦达定理2求出a，再代入不等式ax25xa210，解一元二次不等式即可.【详解】解：由已知条件可知a 0，且方程ax5x20的两根为1，2；255a2由根与系数的关系得解得a 221a所以原不等式化为2x5x30解得3 x 12所以不等式解集为x 3 x 12【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.24（1）l的普通方程ax y 2a1 0；C的直角坐标方程是x2 y2 2x 2y 0；（2）33【解析】【分析】（1）把直线l的标准参数方程中的 t 消掉即可得到直线l的普通方程，由曲线C的极坐标方程为 22sin（2），展开得2 2 2（sin+cos），利用42x cos即可得出曲线C的直角坐标方程；y sin（2）先求得圆心C到直线AB的距离为d，再用垂径定理即可求解【详解】x 2t（1）由直线l的参数方程为，所以普通方程为ax y 2a1 0y 1at由曲线C的极坐标方程是 2 2sin，42 2 2sin所以 2sin 2cos，4所以曲线C的直角坐标方程是x y 2x2y 0（2）设AB的中点为M，圆心C到直线AB的距离为d，则MA 圆C:x1y1 2，则r 22227，22，C1,1，d MC r2|MA|22由点到直线距离公式，d 71,42a12a1a21aa2112解得a 【点睛】33.，所以实数a的值为33本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题25(1)当a 0时，f(x)的单调递减区间是(0,)，无单调递增区间；当a 0时，f(x)的单调递减区间是0,1 1 1,b1，单调递增区间是(2)ae2a【解析】【分析】【详解】分析：（1）求导f x，解不等式f x 0，得到增区间，解不等式f x 0，得到减区间；（2）函数 f（x）在 x=1 处取得极值，可求得 a=1，于是有 f（x）bx21+1xlnx1lnxb，构造函数 g（x）=1+，g（x）min即为所求的 b 的值xxx详解：（1）在区间0,上，f x a1ax1，xx当a 0时，f x 0恒成立，fx在区间0,上单调递减；当a 0时，令f x 0得x 1，a1 在区间0,上，f x 0，函数fx单调递减，a在区间 1,上，f x 0，函数fx单调递增.a综上所述：当a 0时，fx的单调递减区间是0,，无单调递增区间；当a 0时，fx的单调递减区间是0,1 1,，单调递增区间是aa（2）因为函数fx在x 1处取得极值，所以f 1 0，解得a 1，经检验可知满足题意由已知fxbx2，即x1lnx bx2，即1+1lnx b对x0,恒成立，xx1lnx，xx令gx1则gx 11lnxlnx2，x2x2x222e易得gx在0,e 上单调递减，在,上单调递增，所以gxmin g e 1e1，即b1e1222.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f(x)0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min 0，若f(x)0恒成立，转化为f(x)max0;（3）若f(x)g(x)恒成立，可转化为f(x)min g(x)max