高中数学一轮复习人教A版 平面向量的数量积 教案.pdf

第三节 平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系知识点一平面向量的数量积1数量积的定义：已知两个非零向量 a a 和 b b，它们的夹角为 ，则数量_叫做 a a 与 b b 的数量积，记作a ab b，即 a ab b_.2向量的投影：设 为 a a 与 b b 的夹角，则_(|b b|cos)叫做向量 a a 在 b b 方向上(b b 在 a a 方向上)的投影3数量积的几何意义：数量积 a ab b 等于 a a 的长度|a a|与 b b 在 a a 的方向上的投影_的乘积答案1|a a|b b|cos|a a|b b|cos2|a a|cos3.|b b|cos1判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是0，2.()答案：(1)(2)(3)2 已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BDCD()32A2a32C.4a32B4a32D.2a解析：由菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60得BCD120，ABD30，在BCD 中，由余弦定理得BD 3a，所以BDCD 332BDBA 3aacos30 3aa22a.答案：D3已知|a a|4，|b b|3，a a 与 b b 的夹角为 120，则 b b 在 a a 方向上的投影为_解析：b b 在 a a 方向上的投影为13|b b|cos1203(2)2.3答案：2知识点二平面向量数量积的运算律与性质1平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，为向量 a a，b b 的夹角(1)数量积：a ab b|a a|b b|cosx1x2y1y2.2(2)模：|a a|a aa a x21y1.x1x2y1y2a ab b(3)夹角：cos22.2|a a|b b|x1y1x2y22(4)两非零向量 a ab b 的充要条件：a ab b0 x1x2y1y20.(5)|a ab b|a a|b b|(当 且 仅 当a a b b时 等 号 成 立)|x1x2y1y2|x21y21x22y22.2平面向量数量积的运算律(1)a ab bb ba a(交换律)(2)a ab b(a ab b)a a(b b)(结合律)(3)(a ab b)c ca ac cb bc c(分配律)4判断正误(1)(a ab b)c ca a(b bc c)()(2)a ab ba ac c(a a0)，则 b bc c.()答案：(1)(2)5(必修P107 例 6 改编)设 a a(3，1)，b b1，量 a a，b b 的夹角为()A30B60C120D150解析：由题意，得|a a|312.|b b|112 333，33，则向32 3a ab b 333.设向量 a a 与 b b 的夹角为，2 33a ab b1则 cos.|a a|b b|2 3223因为 0180，所以 60.答案：答案：B B第第 1 1 课时课时平面向量的数量积平面向量的数量积热点一平面向量的数量积运算【例1】(1)(2016天津卷)已知ABC是边长为1的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接DE 并延长到点 F，使得DE 2EF，则AFBC的值为()5A81B.81C.411D.8(2)(2017蚌埠模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边 上的动点，DEDC的最大值为_3【解析】(1)如图，设ACm m，ABn n，根据已知得，DF4m m，3 131所以AFADDF4m m2n n，BCm mn n，AFBC(4m m2n n)(m m3113111n n)4m m2 22n n24mmn n4288.(2)如图所示，以 AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系，设 E(t,0)，0t1，则 D(0,1)，C(1,1)，DE(t，1)，DC(1,0)所以DEDCt1.【答案】(1)B(2)1 1在本例题(2)中，试求DECE的取值范围解：由本例题(2)的规范解答知，DE(t，1)，CE(t1，1)，t0,1，1232所以DECEt(t1)1t t1t24，3 因为 t0,1，所以4DECE1，3即DECE的取值范围为4，1.2本例题(2)中，当 E 是 AB 的中点时，试求DE在DC上的投影解：方法 1：如图，过点 E 作 EFDC，垂足为 F，由投影的定1义知，DE在DC上的投影是2.方法 2：如图，向量DE与DC的夹角是EDC，所以DE在DC上的投影是|DE|cosEDC11412.11412【总结反思】求向量数量积的方法(1)定义法；(2)坐标法；(3)由向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另一向量模的积.(1)已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()3 2A.23 2C23 15B.23 15D2(2)(2017云南昆明质检)设 D 为ABC 所在平面内一点，|AB|2，1|AC|1，ACBC，CD3BC，则ADCD()A1C11B.31D3解析：(1)AB(2,1)，CD(5,5)由定义知AB在CD方向上的投 ABCD153 2影为2.5 2|CD|(2)在ABC 中，因为ACBC，所以 BC AB2AC2 3，所111以|BC|3，所以 ADCD(ACCD)CD(AC3BC)3BC3 11122ACBC9BC 09(3)3，故选 B.答案：(1)A(2)B热点二平面向量数量积的性质应用考向 1平面向量的模1【例 2】已知 e e1 1，e e2 2是平面单位向量，且e e1 1 e e2 22.若平面向量b b 满足 b be e1 1b be e2 21，则|b b|_.1【解析】e e1 1 e e2 22，1|e e1 1|e e2 2|cose e1 1，e e2 22，e e1 1，e e2 260.又b be e1 1b be e210，b b，e e1 1b b，e e2 230.由 b be e1 11，得|b b|e e1 1|cos301，|b b|12 33.322 3【答案】3考向 2平面向量的夹角13【例 3】(2016新课标全国卷)已知向量BA(2，2)，BC31(2，2)，则ABC()A30C60B45D120 BABC【解析】由两向量的夹角公式，可得 cosABC|BA|BC|1331222232，则ABC30.11【答案】A考向 3平面向量的垂直问题【例 4】(1)(2016新课标全国卷)已知向量 a a(1，m)，b b(3，2)，且(a ab b)b b，则 m()A8C6B6D8(2)已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，则实数 的值为_【解析】(1)由向量的坐标运算得 a ab b(4，m2)，由(a ab b)b b，得(a ab b)b b122(m2)0，解得 m8，故选 D.(2)BCACAB，由于APBC，所以APBC0，即(ABAC)(ACAB)AB2AC2(1)ABAC194(1)32270，解得 12.7【答案】(1)D(2)12【总结反思】平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosa ab b，要注意 0，|a a|b b|(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ab ba ab b0|a ab b|a ab b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a a2a aa a|a a|2或|a a|a aa a.|a ab b|a ab b2 a a22a ab bb b2.若 a a(x，y)，则|a a|x2y2.(1)(2017云南第一次统测)已知平面向量 a a(3,6)，b b(x，1)，如果 a ab b，那么|b b|()A.55B.2C33D.2(2)(2017新疆维吾尔自治区检测)已知向量 a a，b b 满足 a ab b，|a a|2，|b b|3，且 3a a2b b 与 a ab b 垂直，则实数 的值为()3A.23C23B2D1(3)(2017湖南郴州第一次质量检测)已知ABC 的外心 P 满足AP13(ABAC)，则 cosA()1A.21C33B.23D.31解析：(1)由题意，得 6x3，则 x2，则|b b|15142，故选 B.(2)因为 a ab b，所以 a ab b0.又(3a a2b b)(a ab b)，所以(3a a2b b)(a ab b)3a a23a ab b2a ab b2b b212180，3解得 2.(3)取 BC 的中点 D，连接 AD，PD，则1APADDP2(ABAC)DP，1又AP3(ABAC)，1所以PD6(ABAC)1由PDBC6(ABAC)(ACAB)0，得|AB|AC|.又AP2PD，1所以 P 又是重心，所以ABC 是等边三角形，所以 cosAcos602，故选 A.答案：(1)B(2)A(3)A1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a a|2a a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧4明确两个结论：(1)两个向量 a a 与 b b 的夹角为锐角，则有 a ab b0，反之不成立(因为夹角为 0 时不成立)；(2)两个向量 a a 与 b b 的夹角为钝角，则有 a ab b0，反之不成立(因为夹角为 时不成立)