【2015年】高考全国卷1理科数学试题及答案.pdf

20152015 年高考理科数学试卷全国卷年高考理科数学试卷全国卷 1 11设复数 z 满足1 z=i，则|z|=（）1 z（A）1（B）2（C）3（D）22sin 20ocos10ocos160osin10o=（）（A）3311（B）（C）（D）22222n3设命题p：nN,n 2，则p为（）2n（A）nN,n 2（B）nN,n 22n2n（C）nN,n 2（D）nN,n=22n4投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312x2 y21上的一点，F1,F2是 C 上的两个焦点，若5已知 M（x0,y0）是双曲线 C：2MF1MF20，则y0的取值范围是（）（A）（-3333，）（B）（-，）33662 22 22 32 3，）（D）（，）3333（C）（6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）（A）14 斛（B）22 斛（C）36 斛（D）66 斛7设D为ABC所在平面内一点BC 3CD，则（）（A）AD 1414ABAC（B）AD ABAC3333（C）AD 4141AB AC（D）AD ABAC33338函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）试卷第 1 页，总 15 页1313,k),k Z（B）(2k,2k),k Z44441313（C）(k,k),k Z（D）(2k,2k),k Z4444（A）(k9执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的 n=（）（A）5（B）6（C）7（D）82510(x x y)的展开式中，x y的系数为（）52（A）10（B）20（C）30（D）6011圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则 r=（）（A）1（B）2（C）4（D）812 设函数f(x)=e(2x1)axa,其中 a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)则a的取值范围是（）（A）-x0，333333，1）（B）-，）（C），）（D），1）2e2e42e42e13若函数 f（x）=xln(xa x2)为偶函数，则 a=x2y21的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标14一个圆经过椭圆164准方程为 .x1 0y15若x,y满足约束条件x y 0，则的最大值为 .xx y4 016在平面四边形ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则AB 的取值范围是 .217（本小题满分 12 分）Sn为数列an的前n项和.已知an0，an an=4Sn3.试卷第 2 页，总 15 页（）求an的通项公式；（）设bn1,求数列bn的前n项和.anan118如图，四边形ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC.（）证明：平面 AEC平面 AFC；（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw(x x)ii182(w w)ii182(x x)(y y)(w w)(y y)iiiii1i18846.656.36.8289.81.61469108.81表中wixi，w=8wii18（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）试卷第 3 页，总 15 页（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，(un,vn),其回归线v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：x220（本小题满分 12 分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y kx a（a40）交与 M,N 两点，（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.21（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）=x3ax1,g(x)ln x.4（）当 a 为何值时，x 轴为曲线y f(x)的切线；（）用minm,n表 示m,n中 的 最 小 值，设 函 数h(x)minf(x),g(x)(x 0)，讨论 h（x）零点的个数.22（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交于 E.（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是（）若OA 的切线；3CE，求ACB 的大小.23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1:x=2，圆C2：x1y 21,以坐标原点试卷第 4 页，总 15 页22为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为4R，设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.24（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围.【答案解析】【答案解析】1.【答案】A【解析】由1 z1i(1i)(1i)=i，故|z|=1，故选 A.i得，z(1i)(1i)1i1 z考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.2.【答案】D【解析】原式=sin 20ocos10ocos20osin10o=sin30o=考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3.【答案】C【解析】p:nN,n 2，故选 C.考点：本题主要考查特称命题的否定4.【答案】A【解 析】根 据 独 立 重 复 试 验 公 式 得，该 同 学 通 过 测 试 的 概 率 为2n1，故选 D.2C320.620.4 0.63=0.648，故选 A.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5.【答案】A2x02 y01，所 以MF1MF2=【解 析】由 题 知F1(3,0),F2(3,0)，2222 y03 3y01 0，解得(3x0,y0)(3x0,y0)=x033 y0，33故选 A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为 r，则116，所以米堆的体积为23r 8=r 431116320320，故堆放的米约为1.6222，故选 B.3()25=43399试卷第 5 页，总 15 页考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7.【答案】A【解析】由题知1114AD AC CD AC BC AC(AC AB)=ABAC，故选 A.3333考点：平面向量的线性运算8.【答案】D1+42=【解析】由五点作图知，解得，所以=f(x)cos(x)，5344+42令2kx间为（2k 4 2k,k Z，解得2k 13x2k，kZ，故单调减区4413，2k），kZ，故选 D.44考点：三角函数图像与性质9.【答案】C【解析】执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m=t=0.01,是，循环，1m=0.5,S=S-m=0.5,m=0.25,n=1,S=0.522m=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，2m执行第 3 次，S=S-m=0.125,m=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，2m执行第 4 次，S=S-m=0.0625,m=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，2m执行第 5 次，S=S-m=0.03125,m=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，2m执行第 6 次，S=S-m=0.015625,m=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，2m执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，2执行第 2 次，S=S-m=0.25,m 输出 n=7，故选 C.考点：本题注意考查程序框图10.【答案】C2【解析】在(x x y)的 5 个因式中，2 个取因式中x剩余的 3 个因式中 1 个取x，25212其余因式取 y,故x y的系数为C5C3C2=30，故选 C.52考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为试卷第 6 页，总 15 页14r2r2r r22r2r=5r2 4r2=16+20，解得 r=2，故选 B.2考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12.【答案】D【解析】设g(x)=e(2x1)，y axa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y axa的下方.因为g(x)e(2x1)，所以当x 12g(x)以当x 时，max=-2e21xx11时，g(x)0，当x 时，g(x)0，所22当x 0时，g(0)=-1，g(1)3e 0，直线y axa恒过（1,0）斜率且a，故a g(0)1，且g(1)3e1 aa，解得3a1，故选 D.2e考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13.【答案】1【解析】由题知y ln(xa x2)是奇函数，所以ln(xa x2)ln(xa x2)=ln(a x x)lna 0，解得a=1.考点：函数的奇偶性14.【答案】(x)2 y22232254222【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则(4 a)a 2，解得a 圆的方程为(x)2 y23，故23225.4考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程15.【答案】3y是可行域内一点与原xy点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为 3.x【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，试卷第 7 页，总 15 页考点：线性规划解法16.【答案】（6 2，6+2）【解析】如图所示，延长BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得BCBE，即sinEsinC2BE，解得BE=6+2，平移AD，当D 与 C 重合时，AB 最短，此时与oosin30sin75AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，BFBCBF2，即，解得 BF=6 2，所以 AB 的取值sinFCBsinBFCsin30osin75o范围为（6 2，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想17.【答案】（）2n1（）【解析】试题分析：（）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列an的递推公式，可以判断数列an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列 an的通项公式；（）根据（）数列bn的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.2试题解析：（）当n 1时，a1 2a1 4S13 4a1+3，因为an 0，所以a1=3，1164n6当n 2时，22an an an1 an1=4Sn34Sn13=4an，即(anan1)(anan1)2(anan1)，因为an 0，所以anan1=2，所以数列an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，试卷第 8 页，总 15 页所以an=2n1；（）由（）知，bn=所以数1111()，(2n1)(2n3)2 2n12n3列bn前n项和为b1b211111bn=()()2355733(1111.)=64n62n12n3考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法18.【答案】（）见解析（）【解析】试题分析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB=1易证 EGAC，通过计算可证 EGFG，根据线面垂直判定定理可知 EG平面 AFC，由面面垂直判定定理知平面 AFC平面 AEC；（）以G 为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.试题解析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB=1，由ABC=120，可得 AG=GC=3.由 BE平面 ABCD，AB=BC 可知，AE=EC，又AEEC，EG=3，EGAC，在 RtEBG 中，可得 BE=2，故 DF=2.2在 RtFDG 中，可得 FG=6.23 22可得 EF=，22在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=2，DF=222EG FG EF，EGFG，ACFG=G，EG平面 AFC，EG面 AEC，平面 AFC平面 AEC.试卷第 9 页，总 15 页（）如图，以G 为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，3，0），E（1,0,2），F（1,0，10 分22），C（0，3，0），AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，）.22故cos AE,CF AE CF3.3|AE|CF|3.3所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19.【答案】（）y c dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（）y 100.668 x（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令w x，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（）（）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（）由散点图可以判断，y c dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.（）令w x，先 建 立y关 于w的 线 性 回 归 方 程，由 于试卷第 10 页，总 15 页d(w w)(yii18ii18i y)=2(w w)108.8=68，16c ydw=563-686.8=100.6.y关于w的线性回归方程为y 100.668w，y关于x的回归方程为y 100.668 x.（）（）由（）知，当x=49 时，年销售量y的预报值y 100.668 49=576.6，z 576.60.249 66.32.（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值z 0.2(100.668 x)x x13.6 x 20.12，当x=13.6=6.8，即x 46.24时，z取得最大值.2故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12 分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20.【答案】（）ax y a 0或ax y a 0（）存在【解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用a表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（）由题设可得M(2 a,a)，N(2 2,a)，或M(2 2,a)，N(2 a,a).x21y x，故y 在x=2 2a处的到数值为a，C 在(2 2a,a)处的切线方程为42y a a(x 2 a)，即ax y a 0.x2故y 在x=-2 2a处的到数值为-a，C 在(2 2a,a)处的切线方程为4y a a(x 2 a)，即ax y a 0.故所求切线方程为ax y a 0或ax y a 0.（）存在符合题意的点，证明如下：试卷第 11 页，总 15 页设 P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为k1,k2.将y kx a代入 C 得方程整理得x24kx4a 0.x1 x2 4k,x1x2 4a.k1 k2y1by2b2kx1x2(a b)(x1 x2)k(ab)=.x1x2x1x2a当b a时，有k1k2=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以P(0,a)符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力3353；（）当a 或a 时，h(x)由一个零点；当a 4444553或a 时，h(x)有两个零点；当 a 时，h(x)有三个零点.44421.【答案】（）a【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（）根据对数函数的图像与性质将x分为x 1,x 1,0 x 1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.试题解析：（）设曲线y f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)0，13x ax 01300即，解得x0,a.4243x2a 00因此，当a 3时，x轴是曲线y f(x)的切线.4（）当x(1,)时，g(x)ln x 0，从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0，h(x)在（1，+）无零点.55，则f(1)a 0，h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x=14455是h(x)的零点；若a ，则f(1)a 0，h(1)minf(1),g(1)f(1)0,44当x=1 时，若a 故x=1 不是h(x)的零点.当x(0,1)时，g(x)ln x 0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.（）若a 3或a 0，则f(x)3x a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)215，f(1)a，所以当a 3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当44试卷第 12 页，总 15 页a 0 时，f(x)在（0，1）无零点.（）若3 a 0，则f(x)在（0，aa）单调递减，在（，1）单调递增，33故当x=aa1a2a.时，f(x)取的最小值，最小值为f()=33343若f(3a)0，即a0，f(x)在（0,1）无零点.343a)=0，即a ，则f(x)在（0,1）有唯一零点；34315a)0，即3 a ，由 于f(0)，f(1)a，所 以 当3444若f(若f(535 a 时，f(x)在（0,1）有两个零点；当3 a 时，f(x)在（0,1）444有一个零点.10 分3535或a 时，h(x)由一个零点；当a 或a 时，h(x)有444453两个零点；当 a 时，h(x)有三个零点.44综上，当a 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22.【答案】（）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由OA 23CE得，AB=2 3，设 AE=x，由勾股定理得BE 12x，由直角三角形射影定理可得AE2 CE BE，列出关于x的方程，解出x，即可求出ACB 的大小.试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB，在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE 是圆 O 的切线.2（）设 CE=1，AE=x,由已知得 AB=2 3，BE 12x，由射影定理可得，AE2 CE BE，22x 12x，解得x=3，ACB=60.试卷第 13 页，总 15 页考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23.【答案】（）cos 2,2cos4sin4 0（）【解析】212C2的极坐标方程；试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C1，（）将将=4代入2cos4sin4 0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即2可求出C2MN的面积.试题解析：（）因为x cos,y sin，C1的 极 坐 标 方 程 为cos 2，C2的 极 坐 标 方 程 为22cos4sin4 0.5 分（）将=423 2 4 0，解得代入2cos4sin4 0，得21=2 2，2=2，|MN|=12=2，因为C2的半径为 1，则C2MN的面积1121sin45o=.22考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24.【答案】（）x|【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式f（x）1 化为一元一次不等式组来解；（）将f(x)化为分段函数，求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.试题解析：（）当 a=1 时，不等式f（x）1 化为|x+1|-2|x-1|1，2（2，+）x 2（）3等 价 于x 11 x 1x 1或或，解 得x12x2 1x12x2 1x12x2 12 x 2，3所以不等式f（x）1 的解集为x|2 x 2.3试卷第 14 页，总 15 页x12a,x 1（）由题设可得，f(x)3x12a,1 x a，x12a,x a所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a1,0)，32B(2a1,0)，C(a,a+1)，所以ABC 的面积为(a1)2.32由题设得(a1)26，解得a 2.3所以a的取值范围为（2，+）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法试卷第 15 页，总 15 页