2021年全国统一高考数学试卷(理科)答案及解析.pdf

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）一、选择题1.设2(zz)3(zz)46i，则z(）A.12iB.12iC.1iD.1i答案：C解析：设z a bi，则z a bi，2(zz)3(zz)4a6bi，所以z 1 i.2.已知集合S s|s 2n 1,n Z，T t|t 4n 1,n Z，则S T()A.B.SC.TD.Z答案：C解析：数学（理）46i，所以a 1，b1s 2n1，nZ；当n 2k，kZ时，S s|s 4k 1,k Z；当n 2k 1，kZ时，S s|s 4k 3,k Z.所以TS，S T T.故选 C.3.已知命题p:xRsin x 1；命题q:xR,e（）|x|1，则下列命题中为真命题的是A.pqpqB.pqC.D.(p q)答案：A解析：根据正弦函数的值域sin x1,1，故xR，sin x 1，p为真命题，而函数yye|x|为偶函数，且x 0时，ye|x|1，故xR，ye|x|1恒成立.，则q也为真命题，所以pq为真，选 A.1 x，则下列函数中为奇函数的是（）1 x4.设函数f(x)A.f(x 1)1B.f(x 1)1C.f(x 1)1D.f(x 1)1答案：B解析：f(x)函数.21 x2，f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x)为奇 1x1 x1 x5.在正方体ABCD（）A.B.C.A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为234D.6答案：D解析：如图，PBC1为直线PB与AD1所成角的平面角.易知A1BC1为正三角形，又P为AC1 1中点，所以PBC16.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑 冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C解析：所求分配方案数为C5A424240.1倍，纵坐标不变，再把所得曲27.把函数y f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的线向右平移A.sin(3个单位长度，得到函数y sin(x 4)的图像，则f(x)（）x7)212xB.sin()212C.sin(2 x D.sin(2 x 答案：B解析：7)1212)左移1横坐标变为原来的 2倍3y sin(x)y sin(x).逆向：y sin(x)412212故选 B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于7的概率为（）47923B.329C.322D.9A.答案：B解析：由题意记x (0,1)，y(1,2)，题目即求x y 7的概率，绘图如下所示.4故P S阴S正ABCD113311AM AN1224423.111329.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB（）A.表高表距表高表目距的差表高表距表高B.表目距的差表高表距表距C.表目距的差D.表高表距表距表目距的差答案：A解析：连接DF交AB于M，则AB AM BM.记BDM，BFM，则而tanMBMBMFMDDF.tantanFGED，tan.所以GCEHMBMB11GCEHGCEHMB()MB()MB.tantantantanFGEDED故MBEDDF表高表距表高表距表高.，所以高ABGCEH表目距的差表目距的差10.设a 0，若xa为函数A.a bB.a bC.ab a2D.ab a2答案：D解析：若a 0，其图像如图（1），此时，0ab；若a 0，时图像如图（2），此时，f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则ba0.综上，ab a2.x2y211.设B是椭圆C：221(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足，abPB 2b，则C的离心率的取值范围是（）A.2,1)212B.,1)C.(0,2212D.(0,答案：C解析：222x0y0y022由题意，点B(0,b)，设P(x0,y0)，则221x0a(12)，故abb22yc222PB x0(y0b)2a2(10)y02by0b22y02by0a2b2，2bb2y0b,b.b3由 题 意，当y0b时，PB最 大，则2b，b2 c2，a2 c2 c2，c2c c22.，c(0,a2212.设a 2ln1.01，bln1.02，cA.abcB.bcaC.bacD.cab答案：B1.041，则（）解析:设f(x)ln(1 x)12x1，则b c f(0.02)，易得f(x)121 2x(1 x).1 x2 1 2x(1 x)1 2x当x 0时，1 x(1 x)21 2x，故f(x)0.所以f(x)在0,)上单调递减，所以f(0.02)f(0)0，故b c.再设g(x)2ln(1x)14x1，则a c g(0.01)，易得g(x)241 4x(1 x).21 x2 1 4x(1 x)1 4x当0 x2时，14x 12xx21x，所以g(x)在0.2)上 0.故g(x)在0.2)上单调递增，所以g(0.01)g(0)0，故ac.综上，a cb.二、填空题x2 y21(m0)的一条渐近线为3xmy0，则C的焦距13.已知双曲线C：m为 .答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为y bx，由题意得a2 m，b21，且一条渐近线方程为ay 3x，则有m0（舍去），m3，故焦距为2c 4.m14.已知向量a (1,3)，b (3,4)，若(a b)b，则 .答案：35解析：3由题意得(a b)b 0，即1525 0，解得.515.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B 60，a2 c2 3ac，则b .答案：2 2解析：13SABCacsinB ac 3，所以ac 4，24由余弦定理，b2 a2 c2 ac 3ac ac 2ac 8，所以b 22.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：或解析：由高度可知，侧视图只能为或.侧视图为，如图（1），平面PAC平面ABC，PA PC 2，BABC 5，AC2，俯视图为.俯视图为，如图（2），PA平面ABC，PA1，AC为.AB 5，BC2，俯视图三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和己为s1和S2.（1）求x，2y，s12，s2：22y，样本方差分别（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2s12s2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否y x 210则不认为有显著提高)。答案：见解析解析：（1）各项所求值如下所示.1(9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.110.2 9.7)10.0，101y(10.110.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5)10.3，101s12(9.7 10.0)2 2(9.8 10.0)2(9.9 10.0)2 2(10.0 10.0)2(10.110.0)210 x 2(10.2 10.0)2(10.3 10.0)20.036，2s21(10.0 10.3)2 3(10.110.3)2(10.3 10.3)2 2(10.4 10.3)2102(10.5 10.3)2(10.6 10.3)20.04.22s12 s2s12s2 0.34.显然y x 2（2）由（1）中数据得y x 0.3,21010.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。18.如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD DC 1,M为BC的中点，且PBAM.（1）求BC；（2）求二面角APMB的正弦值.答案：见解析解析：（1）因为PD平面ABCD，且矩形ABCD中，AD DC.所以以DA，DC，DP分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D xyz.设BC t，ttA(t,0,0)，B(t,1,0)，M(,1,0)，P(0,0,1)，所以PB(t,1,1)，AM (,1,0)222，所以BC 2.t2因为PBAM，所以PBAM 10所以t 2(2)设 平 面APM的 一 个 法 向 量 为m (x,y,z)，由 于 AP(2,0,1)，则 mncosm,n|m|n|m AP 2x z 0.令x 2，的m(2,1,2).设平面PMB的一个法向量为 2x y 0m AM 2 nCB 2x0n(x,y,z)，则.令y 1，的n(0,1,1).所以nPB 2x y z07033 14，所以二面角APMNB的正弦值为.14147 219.记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知（1）证明：数列bn是等差数列；（2）求an的通项公式.答案：见解析解析：（1）由已知212.Snbnb212，则n Sn(n 2)，Snbnbn12bn11122bn122bnbnbn1(n2)，b13，bnbn2231为首项，为公差的等差数列.22故bn是以（2）由（1）知bn22n231n 22S，则，(n1)nSnn2n1222n2n1n 1时，a1 S13，n 2时，anSnSn12n1n1，n(n1)3,n 12故an.1,n 2n(n 1)20.设函数f(x)ln(a x)，已知x 0是函数y xf(x)的极值点.（1）求a；（2）设函数g(x)答案：见解析解析：（1）令h(x)xf(x)xln(a x)则h(x)ln(a x)x f(x)，证明：g(x)1.xf(x)x.a xx 0是函数y xf(x)的极值点.h(0)0.解得：a 1；（2）由（1）可知：f(x)ln(1 x)g(x)x f(x)11，xf(x)f(x)x1111 x1 0（x 1且x 0）f(x)xln(1 x)x要证g(x)1，即证x(1 x)ln(1 x)0.xln(1 x)当x 0时，xln(1 x)0.当0 x 1时，xln(1 x)0.只需证明x(1 x)ln(1 x)0令H(x)x(1 x)ln(1 x)，且易知H(0)0.则H(x)1ln(1 x)1(1 x)ln(1 x)1 x（i）当x 0时，易得H(x)0，则H(x)在(,0)上单调递减，H(0)0，H(x)H(0)0，得证.（ii）当0 x 1时，易得H(x)0，则H(x)在(0,1)上单调递增.H(0)0，H(x)H(0)0，得证.综上证得g(x)1.21.已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，且F与圆M：x2(y4)21上点的距离的最小值为4.（1）求p；A，B是切点，求PAB面积的（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，最大值.答案：见解析解析：22pp)到x(y4)1的最短距离为 3 4，所以p 2.221（2）抛物线y x2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，得4lPA：y 1x1(x x1)y11x1x 1x121x1x y1，2242lPB：y 1x2x y2，且x02y028y015，2（1）焦点F(0,1y x1x0 y102lPA，lPB都过点P(x0,y0)，则，y 1x x y02022故lAB：y011x0 x y，即y x0 x y0，22122y x0 x y0联立，得x 2x0 x4y00，4x016y0，2x2 4yx02所以AB 1 4x0216y04 x02x024y0，4dPABx024y0 x024，所以SPAB11AB dPABx02 4y0 x02 4y022331212(x04y0)2(y012y015)2.22而y05,3，故当y05时，SPAB达到最大，最大值为20 5.22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为C(2,1)，半径为1.（1）写出C的一个参数方程;（2）过点F(4,1)作C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）C的参数方程为x 2cos（为参数）y 1sin22（2）C的方程为(x2)(y 1)1当直线斜率不存在时，直线方程为x 4，此时圆心到直线距离为2 r，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为y 1 k(x4)，化简为kx y 4k 1 0，此时圆心C(2,1)到直线的距离为d|2k 14k 1|k 12 r 1，化简得2|k|k21，两边平方有4k k 1，所以k 223.3代入直线方程并化简得x3y 3 4 0或x3y 3 4 0化为极坐标方程为cos3sin 43 sin(或cos3sin 43 23.已知函数f(x)|xa|x3|.5)4366sin()43.（1）当a 1时，求不等式f(x)6的解集；（2）若f(x)a，求a的取值范围.答案：见解析解析：当a 1时，f(x)6|x1|x3|6，当x 3时，不等式1 x x3 6，解得x 4；当3 x 1时，不等式1 x x3 6，解得x；当x 1时，不等式 x1 x3 6，解得x 2.综上，原不等式的解集为(,42,).（2）若f(x)a，即f(x)min a，因为f(x)|xa|x3|(xa)(x3)|a3|（当且仅当(xa)(x3)0时，等号成立），所以f(x)min|a3|，所以|a3|a，即a3 a或a3 a，解得3a(,).2