2021年高考理科数学全国乙卷：答案解析.pdf

二零二一年（乙卷）理科数学（乙卷）答案详解适用地区为：河河南南、安、安 徽徽、江、江 西西、山、山 西西、陕、陕 西西、黑、黑 龙龙江江、吉、吉 林林、甘、甘 肃肃、内、内 蒙蒙古古、青青海海、宁宁夏夏、新新疆疆。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（复数）（复数）设2(z z)3(z z)46i，则 zA.12i【答案】C【解析】设z abi，则22a32bi 4a6bi 4a6i，a b 1，z 1i.2.（集合）（集合）已知集合 Ss|s2n1,nZ，Tt|t4n1,nZ，则 STA.【答案】C【解析】S T，ST T.3.（简单逻辑）（简单逻辑）已知命题 p：xR，sinx1；命题 q：xR，e1，则下列命题中为真命题的是A.pq【答案】A【解析】根据正弦函数的性质可知，命题 p 是真命题；对于任意 xR，x 0，根据指数函数的性质可知，e1，故 q 是真命题，pq 是真命题，pq 是假命题，p q 是假命题，(pq)是假命题.4.（函数）（函数）设函数f(x)A.f(x1)1xxB.12iC.1iD.1iB.SC.TD.ZB.pqC.p qD.(pq)1x，则下列函数中为奇函数的是1xB.f(x1)1C.f(x1)1D.f(x1)1第 1 页 共 17 页二零二一年（乙卷）【答案】B【解析】f(x)1x221，由此可知原函数f(x)是由奇函数g(x)向左平移 11x1xx2，故选 B.x个单位再向下平移 1 个单位得到，故原函数f(x)向右平移 1 个单位再向上平移 1个单位即可得到g(x)5.（立体几何）（立体几何）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 B1D1的中点，则直线 PB 与 AD1所成的角为A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】解法一：解法一：建立图 A5 左的直角坐标系，设 AB 为一个单位，A 为原点，AB为 x 轴 的正方向，AD为 y 轴的正方向，AA1为 z 轴的正方向，则有A(0,0,0)，B(1,0,0)，1 1 1 1D1(0,1,1)，P(,1)，所以AD1(0,1,1)，BP(,1)，故2 22 2 AD1BPcos AD1,BP AD1BP.61132，2322直线 PB 与 AD1所成的角为图 A5解法二：解法二：如图 A5 右，连接 C1P、C1B，计算出 C1P、C1B、BP 的长，在 C1BP 中，利用余弦定理，即可得到答案.具体计算过程请同学们自己练习.第 2 页 共 17 页二零二一年（乙卷）6.（概率统计）（概率统计）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有A.60 种【答案】C【解析】故本任务可以分为两步完成：从 5 名志愿者中任意选出 2 名，组成一个小组，其余 3 名志愿者各自为一个小组，共四个小组，有C5种选法；再将四个小组分配到 4 个项目中，有A4种排法.故不同的分配方案共有C5A4 240种.7.（函数）（函数）把函数 yf(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的曲线向右平移4242B.120 种C.240 种D.480 种1倍，纵坐标不变，再把所得2个单位长度，得到函数ysin的图像，则 f(x)x34x7 x A.sinB.sin2122127C.sinD.2xsin 2x1212【答案】B逆向变换.第一步：向左平移个单位长度，得到43ysinxsinx的图象；第二步：图象上所有点的横坐标伸长到3412x原来的 2 倍，纵坐标不变，得到ysin的图象，即为 yf(x)的图象，所212x以f(x)sin.21278.（概率统计）（概率统计）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1 个数，则两数之和大于的概率为（）472392A.B.C.D.432329【解析】由已知的函数ysinx【答案】B【解析】如图 A8 所示，设从区间(0,1)、(1,2)中随机取出的数分别为 x、y，则所有结果构成区域为 x,y|0 x 1,1 y 2，其面积为S1设事件 A 表示两数之和第 3 页 共 17 页二零二一年（乙卷）大于77，则构成的区域为Ax,y|0 x1,1y2,xy，即图中的阴影44S2313323，所以P(A)A.S3224432部分，其面积为SA1图 A89.（三角函数）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点 E、H、G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和 EH 都称为“表目距”，GC与 EH 的差称为“表目距的差”。则海岛的高 AB表高表距表高表目距的差表高表距C.表距表目距的差A.【答案】A【解析】由平面相似可知，表高表距表高表目距的差表高表距D.表距表目距的差B.DEEHFGCG,，而DE FG，ABAHABACDEEHCGCGEHCGEH所以，ABAHACACAHCH而CH CE EH CGEH EG，即第 4 页 共 17 页二零二一年（乙卷）ABCG EH EGDEEGDECGEHCGEHDE表高表距表高.表目距的差10.（函数）（函数）设 a0，若 xa 为函数f(x)a(xa)2(xb)的极大值点，则A.ab【答案】D【解析】若 ab，则f(x)a(xa)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故 ab.f(x)有 xa 和 xb 两个不同零点，且在 xa 左右附近是不变号，在 xb 左右附近是变号的.xa 为函数f(x)的极大值点，在 xa 左右附近都是小于零的.当 a0 时，由 xb，f(x)0，画出f(x)的图象如图 A10 左所示，由图可知ba，a0，故 aba2.B.abC.aba2D.aba2图 A10 当 a0 时，由 xb，f(x)0，画出f(x)的图象如图 A10 右所示，由图可知ba，a0，故 aba2.综上所述，aba2成立.x2y211.（解析几何）（解析几何）设 B 是椭圆 C：221（ab0）的上顶点，若 C 上的任意一点 Pab都满足PB 2b，则 C 的离心率的取值范围是第 5 页 共 17 页二零二一年（乙卷）A.2，121B.，12C.0，221D.0，2【答案】Cx02y02【解析】设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为221，a2b2c2，所以abPBx02y0b22y02c2b3b422a12y0b 2y022a2b2，bbcc，即时，即，符合2因为，当题意，由可得，即；当，即时，即，化简得，显然该不等式不成立故选 C12.（函数）设a 2In1.01，b In1.02，c 1.04 1，则A.abc【答案】D【解析】a 2In1.01 In1.01 In1.0201 In1.02b，a b.下面比较 c 与 a、b 的大小关系.记f(x)2In(x1)2B.bcaC.bacD.cab14x 1，则f(0)0，214xx122f(x)，x114xx114x由于14x(1 x)2 2x x2 x(2 x)，所以当 0 x2 时，所以f(x)在0,2上单调递增，所以，即，即 ac；，即，第 6 页 共 17 页二零二一年（乙卷）令，则，由于所以即综上，bca.，即函数，在 x0 时，在0，+)上单调递减，所以，即 bc；二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。x213.（解析几何）（解析几何）已知双曲线 C：y21（m0）的一条渐近线为3xmy 0，则 Cm的焦距为【答案】4.b233b3【解析】由渐近线方程3xmy 0化简得y 即，同时平方得22，x，ammam又双曲线中a2 m2，b21，故132，解得m 3，m 0（舍去），mm故c2 a2b2 4，c2，故焦距 2c4.14.（平面向量）（平面向量）已知向量 a a（1，3），b b（3，4），若（a ab b）b b，则【答案】.353【解析】ab (13,3 4)，（a ab b）b b，3(13)4(34)0，解得.515.（三角函数）（三角函数）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 3，B60，a2c23ac，则 b【答案】2 2第 7 页 共 17 页.二零二一年（乙卷）【解析】由正弦定理可得S 113acsinB ac3，解得ac 4，222则a2c23ac 12，由余弦定理有，b2 a2c22accosB 1224解得b 2 2.16.（立体几何）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为求的一组答案即可）.（写出符合要18，2【答案】（答案不唯一，如）【解析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.如图 A16 所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC2，BB11，E、F 分别为棱 B1C1、BC 的中点，则三棱锥 E-ADF 的正视图为、侧视图为、俯视图为，故答案为.图 A16第 8 页 共 17 页二零二一年（乙卷）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（概率统计）（12 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备新设备9.810.110.310.410.010.110.210.09.910.19.810.310.010.610.110.510.210.49.710.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为s12和 s22（1）求x，y，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）x 10，y 10.3，s12 0.036，s22 0.04；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】（1），.（2）依题意，第 9 页 共 17 页二零二一年（乙卷），所以，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.（立体几何）(12 分)如图，四棱锥PABCD 的底面是矩形，PD底面 ABCD，PDDC1，M 为 BC 的中点，且 PBAM，（1）求 BC；（2）求二面角 A-PM-B 的正弦值。【答案】（1）2；（2）70.14【解析】（1）因为 PD平面 ABCD，且矩形ABCD 中，ADDC，故以点 D 为坐标原点，DA、DC、DP 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图 A18 的空间直角坐标系 D-xyz，设 BC2a，则D(0,0,0)、P(0,0,1)、B(2a,1,0)、M(a,1,0)、A(2a,0,0)，所以PB (2a,1,1)，AM (a,1,0)，PBAM，第 10 页 共 17 页二零二一年（乙卷）PBMA 2a21 0，解得a 故BC 2a 2.2，2图 A18（2）设平面 PAM 的法向量为m (x1,y1,z1)，2由（1）有AM (,1,0)，AP (2,0,1)，2 2mAM x1y10故，取，可得m (2,1,2).x 221 mAP 2x1z10设平面 PBM 的法向量为n (x2,y2,z2)，由（1）有BM (2，,0,0)BP (2,1,1)，2 2mBM x20由，取y21，可得n (0,1,1)，2 mBP 2xyz0222 mn33 14则cos m,n ，1472mn 70702所以sin m,n 1cosm,n，即二面角 A-PM-B 的正弦值为.1414第 11 页 共 17 页二零二一年（乙卷）19.（数列）（12 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，bn为数列Sn的前 n 项积，已知（1）证明：数列bn是等差数列；（2）求an的通项公式.212.Snbn3，n12【答案】（1）证明见解析；（2）an.1，n2n1 n【解析】（1）证明：由已知12bn21，且bn0，bn，2得Sn2Snbn2bn1由b1S132b1，解得b1，22b11 bn为数列Sn的前 n 项积，bnS1S2Sn1Sn2bn2b12b2，2b11 2b212bn12bn2bn12b12b2，2b11 2b212bn1 2bn11bn1S1S2Sn1Sn1bn12bn1，bn2bn11又bn10，112，即bn1bn，其中nN，2bn2bn1131为首项，以d 为公差等差数列.2231nn11，222 数列bn是以b1（2）由（1）可得，bnSn2bn11，2bn1n1第 12 页 共 17 页二零二一年（乙卷）当 n=1 时，a1 S13，2111，显然对于 n=1 不成立，11 n1nn1n当 n2 时，anSnSn13，n12故an.1，n2n1 n20.（函数）（12 分）设函数f(x)In(a x)，已知 x0 是函数y xf(x)的极值点.（1）求 a；（2）设函数g(x)xf(x)，证明：g(x)1.xf(x)【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知有y xf(x)xIn(a x)，所以y In(ax)x 0是函数y xf(x)的极值点，y0 Ina 0，解得a 1.（2）由（1）得f(x)In(1 x)，g(x)x，xaxf(x)xIn(1x)(x 1且x 0)，xf(x)xIn(1x)设h(x)x In(1x)xIn(1x)x 1xIn(1x)(x 1)，则h(0)0，h(x)In(1x)，当x 0时，1 x 1，In(1 x)0，xIn(1x)0，h(x)In(1x)0，h(x)单调递减，h(x)h(0)0，即xIn(1 x)xIn(1 x)0，xIn(1 x)xIn(1 x)，第 13 页 共 17 页二零二一年（乙卷）xIn(1x)g(x)1；xIn(1x)当0 x 1时，0 1 x 1，In(1 x)0，xIn(1x)0，h(x)In(1x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)0，即xIn(1 x)xIn(1 x)0，xIn(1 x)xIn(1 x)，xIn(1x)g(x)1；xIn(1x)综上所述，g(x)1.21.（解析几何）（12 分）己知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2(y4)21 上点的距离的最小值为 4.（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求 PAB 的最大值.【答案】（1）2；（2）20 5.【解析】（1）抛物线 C 的焦点为，所以 F 与圆 M 上点的距离的最小值为，解得；（2）抛物线 C 的方程为 x24y，即，对该函数求导得，设点、，直线 PA 的方程为，即，即，同理可知，直线 PB 的方程为，第 14 页 共 17 页二零二一年（乙卷）由于点 P 为这两条直线的公共点，则，所以点 A、B 的坐标满足方程所以直线 AB 的方程为，联立，可得，由韦达定理可得所以，点 P 到直线 AB 的距离为，所以，由已知可得，所以，当PAB 的面积取最大值时，.（二）选考题：共10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，C 的圆心为 C(2,1)，半径为 1.（1）写出C 的一个参数方程；（2）过点 F(4,1)作C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.第 15 页 共 17 页二零二一年（乙卷）【答案】（1）（为参数）；（2）或.【解析】（1）由题意，C 的普通方程为，所以C 的参数方程为（为参数）；（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为即，由圆心到直线的距离等于 1，可得，解得，所以切线方程为将，或23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数f(x)x a x 3.或代入化简得.，（1）当 a1 时，求不等式f(x)6的解集；（2）若f(x)a，求 a 的取值范围.【答案】（1）【解析】；（2）.（1）当 a1 时，f(x)x 1 x 3，x1 x3表示数轴上的点到 1 和3的距离之和，则f(x)6表示数轴上的点到 1 和3的距离之和不小于 6，当x 4或x 2时所对应的数轴上的点到 1、3所对应的点距离之和等于 6，第 16 页 共 17 页二零二一年（乙卷）数轴上到 1，3 所对应的点距离之和等于大于等于 6 得到所对应的坐标的范围是或所以，的解集为.（2）依题意，即，恒成立，当且仅当故所以，或时取等号，,，解得.所以 a 的取值范围是.第 17 页 共 17 页