2019年高考数学试题及答案.pdf

20192019 年高考数学试题及答案年高考数学试题及答案一、选择题一、选择题1一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（）ABCD2甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，事件B为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则P(A|B)等于（）A49B29C12D133如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1 次到第 14次的考试成绩依次记为A1,A2,A14，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）A7C9B8D104抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为()A14B13C12D235已知全集U 1,3,5,7，集合A 1,3，B 3,5，则如图所示阴影区域表示的集合为（）A3C3,7B7D1,3,56下列四个命题中，正确命题的个数为()如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线一定可以确定一个平面；若M，M，l，则M l；空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A17函数B2C3D4f(x)sin(2x)的图象与函数g(x)的图象关于直线x 对称，则关于函数822y g(x)以下说法正确的是（）A最大值为 1，图象关于直线x C在对称B在0,上单调递减，为奇函数43,上单调递增，为偶函数88D周期为，图象关于点3,0对称88已知i为虚数单位，复数z满足(1i)z i，则z（）A14B12C22D29已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A108cm3B100cm3C92cm3D84cm310一个样本a,3,4,5,6 的平均数是b，且不等式x26xc0 的解集为(a，b)，则这个样本的标准差是()A1C3B2D211设 A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB 的中点 M，则CM A534B532C532D13212将函数y sin2x的图象沿轴向左平移则的一个可能取值为()AB个单位后，得到一个偶函数的图象，8DC04二、填空题二、填空题13如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶 600m后到达 处，测得此山顶在西偏北_ m.的方向上，仰角为，则此山的高度14事件A,B,C为独立事件，若PAB111,PBC,PABC，则688PB_15在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，c 4，a 4 2sin A，且C为锐角，则ABC面积的最大值为_.16已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是 54，则 n=_.17已知函数f(x)x(ln x ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是_18等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C ABD的余弦值为3，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于319高三某班一学习小组的A,B,C,D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，A不在散步，也不在打篮球；B不在跳舞，也不在散步；“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；D不在打篮球，也不在散步；C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_.20设等比数列an满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2an的最大值为三、解答题三、解答题21如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，连接BD，其中DA DP，BA BP.（1）求证：PA BD；（2）若DA DP，ABP 600，BA BP BD 2，求二面角D PC B的正弦值.22如图，已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形，AB/CD,AC BD,垂足为H，PH是四棱锥的高（）证明：平面PAC平面PBD;（）若AB,求四棱锥P ABCD的体积6,APBADB601x t223在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）.在以y 3t 12坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是 2 2sin.4（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点P0,1.若直l与曲线C相交于两点A,B,求PA PB的值.24若不等式ax25x20的解集是x解集25如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，1 x 2，求不等式ax25xa210的2DC，SC的中点.求证：（1）直线EG/平面BDD1B1；（2）平面EFG/平面BDD1B1.26某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018 年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019 年 3 月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A,B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对A,B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：使用寿命/材料类型AB1 个月20102 个月35303 个月35404 个月1020总计100100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：yi16i 96xiyi 371i16 a bx，其中b参考公式：回归直线方程yx xy yx ynxyiiiii1nnx xii1n=i12xi1n2inx2【参考答案】【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1A解析：A【解析】【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得；无论如何都不能得.故选 A.【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.2C解析：C【解析】【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.【详解】甲独自去一个景点，则有3 个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有322 12种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有321 6种，所以P(A/【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.B)61，故选 C.1223C解析：C【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14 次考试成绩超过 90分的次数根据茎叶图可得超过 90分的次数为 9.故选：C【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题4C解析：C【解析】【分析】由题意，求得P(AB),P(A)的值，再由条件概率的计算公式，即可求解.【详解】记事件 A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则 P(AB)=,P(A)=,P(B|A)=【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，熟记条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.=，故选 C.5B解析：B【解析】【分析】先求出AB，阴影区域表示的集合为【详解】全集U 1,3，5，7，集合A1,3，B 3,5，UAB，由此能求出结果A B 1,3，5，如图所示阴影区域表示的集合为：UAB7故选 B【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题6A解析：A【解析】【分析】【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若 M，M，=l，则 Ml，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3 条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选 A7B解析：B【解析】【分析】先求出函数 y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.【详解】设点 P(x,y)是函数y gx图像上的任意一点，则点Q(x上，4,y)在函数 y=f(x)的图像y sin2(-x+)sin2x g(x)，42对于选项 A,函数 y=g(x)的最大值为 1，但是g()0 1，所以图象不关于直线x 22对称，所以该选项是错误的；对于选项 B,g(x)g(x)，所以函数 g(x)是奇函数，解2k 2x 2k+得22k4 x k+4（kZ),所以函数在0,，上单调递减，所以该选项是正确的；4对于选项 C,由前面分析得函数 y=g(x)的增区间为k+不是偶函数，故该选项是错误；对于选项 D,函数的周期为，解2x k,x 4,k3(k Z),且函数 y=g(x)4k,所以函数图像的对称中心为2（k,0)(k Z),所以该选项是错误的.2故选：B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8C解析：C【解析】由题得z ii(1i)1i11112.故选 C.i z()2()21i22222229B解析：B【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为 4，4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角）据此即可得出体积解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3 的一个三棱锥（长方体的一个角）该几何体的体积 V=663故选 B=100考点：由三视图求面积、体积10B解析：B【解析】由题意得 a34565b，ab6，解得 a2，b4，所以样本方差 s2所以标准差为2.故答案为 B.1(24)2(34)2(44)2(54)2(64)22，511C解析：C【解析】试题分析：先求得 M（2,C353，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM，故选22考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用点评：简单题，应用公式计算12B解析：B【解析】得到的偶函数解析式为y sin2x sin 2x.，显然844【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，sin2x选择合适的值通过诱导公式把sin2x转化为余弦函数44是考查的最终目的.二、填空题二、填空题131006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填 1006 考点：正弦定理及运用解析：解析：【解析】试题分析:由题设可知在中,由此可得,由正弦定理可得,解之得,应填.,又因为,所以考点：正弦定理及运用14【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题解析：解析：12【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出PB.详解：设PAa,PB b,PCc,因为PAB111,PBC,PABC，6881ab 61所以1bc 81ab 1c 8所以a 111,b,c 324所以PB12点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题15【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主解析：解析：44 2【解析】【分析】由c 4，a 4 2sinA，利用正弦定理求得C 4.，再由余弦定理可得16 a b 2ab，利用基本不等式可得ab 22168 22，从而利用三角形22面积公式可得结果.【详解】因为c 4，又所以sinC 2ca 4 2，sinCsinA2，又C为锐角，可得C.42222因为16 a b 2abcosC a b 2ab 22 ab，所以ab 168 22，22当且仅当a b 8 22时等号成立，即SABC12absinC ab 44 2，24即当a b 8 22时，ABC面积的最大值为44 2.故答案为44 2.【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题.对余弦定理一定要b2c2a2熟记两种形式：（1）a b c 2bccos A；（2）cos A，同时还要熟2bc222练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x）n 的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r3rxr含有 x2 的系数是 54r254 可得66nN*解得 n4 故答案为 4【点睛】本题考解析：解析：4【解析】【分析】利用通项公式即可得出【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1含有 x2的系数是 54，r2322nrn（3x）r3rrnxr54，可得2n6，nn126，n N*解得 n4故答案为 4【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：【解析】.fx xlnxax2x 0,f xlnx12ax，令gxlnx12ax,函数fx xlnxax有两个极值点，则gx 0在区间0,上有两个实数根，gx112ax2a，当a 0时，gx0，则函数gx在区间0,单调递xx11，令gx0，解得0 x，此时函数gx单调递增，令2a2a11，此时函数gx单调递减，当x 时，函数gx取得极2a2a增，因此gx 0在区间0,上不可能有两个实数根，应舍去，当a 0时，令gx0，解得x gx0，解得x 大值，当x近于0与x近于时，gx，要使gx 0在区间0,有两个实111 1 0，解得0 a,实数a的取值范围是0 a，故答案为数根，则g ln2a22a20 a 1.218【解析】【分析】【详解】设AB=2作CO面ABDEOHAB则CHAB CHO为二面角CABD的平面角CH=3OH=CHcos CHO=1结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为1解析：解析：6【解析】【分析】【详解】设 AB=2,作 CO面 ABDEOHAB，则 CHAB，CHO为二面角 CABD 的平面角，CH=3，OH=CHcosCHO=1，结合等边三角形 ABC与正方形 ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，AN EM CH 3,AN11(AC AB),EM AC AE221AN EM 21故 EM,AN所成角的余弦值21，3 3619画画【解析】以上命题都是真命题对应的情况是：则由表格知 A 在跳舞B 在打篮球C 在散步是 A 在跳舞的充分条件C 在散步则 D 在画画故答案为画画解析：画画【解析】以上命题都是真命题，对应的情况是：则由表格知 A 在跳舞，B在打篮球，“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，C 在散步，则 D 在画画，故答案为画画20【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用解析：解析：64【解析】a18a1a310a1(1q2)10试题分析：设等比数列的公比为q，由得，解得1.所2a2a45q a1q(1q)52以a1a2an a qn12(n1)117 n2 n1n(n21)22，于是当n 3或时，a a8()24122nan取得最大值26 64.考点：等比数列及其应用三、解答题三、解答题21(1)见解析；(2)sin【解析】试题分析：.（1）取AP中点M，易证PA 面DMB，所以PA BD，（2）以4 37MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，平面DPC的法向量n1 3,1,3，设平面PCB的法向量n2=即sin3,1,3，cosn1,n2n1n2n1n21，74 3.7试题解析：（1）证明：取AP中点M，连DM,BM，DA DP，BA BPPA DM，PA BM，DM BM MPA 面DMB，又BD 面DMB，PA BD（2）DA DP，BA BP，DA DP，ABP 600DAP是等腰三角形，ABP是等边三角形，AB PB BD 2，DM 1，BM 3.BD2 MB2MD2，MD MB以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A1,0,0，B 0,3,0，P1,0,0，D0,0,1从而得DP 1,0,1，DC AB 1,3,0，BP 1,3,0，BC AD 1,0,1设平面DPC的法向量n1x1,y1,z1 x1 z1 0n1DP 0则，即，n1 3,1,3，n1DC 0 x13y1 0设平面PCB的法向量n2x2,y1,z2，n2BC 0 x2 z2 0由，得，n2n2BP 0 x23y2 0cosn1,n23,1,3n1n2n1n2174 37设二面角DPCB为，sin1cos2n1,n2点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22（）证明见解析；（）【解析】【分析】【详解】试题分析：（）因为 PH是四棱锥 P-ABCD的高所以 ACPH,又 ACBD,PH,BD都在平面 PHD内,且 PHBD=H.所以 AC平面 PBD.故平面 PAC平面 PBD.（）因为 ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=6.所以 HA=HB=3.因为APB=ADR=600所以 PA=PB=6,HD=HC=1.可得 PH=3.等腰梯形 ABCD的面积为 S=所以四棱锥的体积为 V=32 3.31AC x BD=2+3.2132 3x（2+3）x3=33考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算在计算问题中，有“几何法”和“向量法”利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤23（1）3x y 1 0，(x1)(y 1)2；（2）2 3 1.22【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线l的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用 x y,cos x,sin y，即可得曲线C的直角坐标方程；222（2）直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.【详解】（1）将直线 l 的参数方程消去参数 t 并化简，得直线 l 的普通方程为3x y 1 0.22将曲线 C 的极坐标方程化为 2 22sin2cos.22即 2sin 2cos.x2+y2=2y+2x.故曲线 C 的直角坐标方程为x1y1 2.（2）将直线 l 的参数方程代入x1y1 2中，得2222 13t 2 2.t 122化简，得t 12 3 t 3 0.0，此方程的两根为直线l 与曲线 C 的交点 A，B 对应的参数 t1，t2.由根与系数的关系，得t1t2 2 31，t1t2 3，即 t1，t2同正.由直线方程参数的几何意义知,222PA PB t1 t2t1t2 2 31.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos和sin换成x和y即可.12424x 3 x 2【解析】【分析】由不等式的解集和方程的关系，可知1，2是方程ax5x20的两根，利用韦达定理2求出a，再代入不等式ax25xa210，解一元二次不等式即可.【详解】解：由已知条件可知a 0，且方程ax5x20的两根为1，2；255a2由根与系数的关系得解得a 221a所以原不等式化为2x5x30解得3 x 所以不等式解集为x 3 x 1212【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值.25（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合几何体，因为E,G分别是BC,SC的中点，所以EG/SB.，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由F,G分别是DC,SC的中点，得FG/SD.由线面平行的判定定理FG/平面BDD1B1.，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB，E,G分别是BC,SC的中点，EG/SB.又SB 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1，所以直线EG/平面BDD1B1.（2）连接SD,F,G分别是DC,SC的中点，FG/SD.又SD平面BDD1B1,FG 平面BDD1B1,FG/平面BDD1B1.又EG 平面EFG,FG 平面EFG,EGFG G，平面EFG/平面BDD1B1.【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.2x9,31百万元；(2)B型新材料.26(1)y【解析】【分析】(1)根据所给的数据，做出变量x,y的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a的值，写出线性回归方程；将x 11代入所求线性回归方程，求出对应的y的值即可得结果；(2)求出A型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.【详解】（1）由折线图可知统计数据x,y共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得x 123456 3.5，6161y i69 166i1所以bni1iin2ii1x y nxy2x nx37163.516 2，17.516 23.5 9，y bxa 2x 9.所以月度利润y与月份代码x之间的线性回归方程为y 2119 31.当x 11时，y故预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为31百万元.（2）A型新材料对应产品的使用寿命的平均数为x1 2.35，B型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为x22.7，【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：依据样应该采购B型新材料.x1 x2，；写出,b本数据确定两个变量具有线性相关关系；计算x,y的值；计算回归系数a a bx；回归直线过样本点中心x,y是一条重要性质，利用线性回回归直线方程为y归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.