2019年高考数学试卷及答案.pdf

20192019 年高考数学试卷及答案年高考数学试卷及答案一、选择题一、选择题exex1fx2的部分图象大致是（）x x 2ABCD2若满足sin AcosBcosC，则ABC为（）abcB有一个内角为30的直角三角形D有一个内角为30的等腰三角形A等边三角形C等腰直角三角形3为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A13B12C23D56x2y24已知F1，F2分别是椭圆C:221(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，ab使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()2A,13绩依次记为A1,A2,12B,321C,131D0,35如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1 次到第 14次的考试成A14，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）A7B8C9D106下列四个命题中，正确命题的个数为()如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线一定可以确定一个平面；若M，M，l，则M l；空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A1B2C3D47已知向量a 3,1，b是不平行于x轴的单位向量，且ab 3，则b（A3 12,2B132,2C1 3 3D4,41,08在ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是，若cAC aPAbPB 0，则ABC的形状为（）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰三角形但不是等边三角形.9设集合，则=（）A B C D10如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与 CD的位置关系为()）A相交B平行C异面而且垂直D异面但不垂直11设 A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB 的中点 M，则CM A534B532C532D132x2y212若双曲线221的离心率为3，则其渐近线方程为（）abAy=2xBy=2xCy 1x2Dy 2x2二、填空题二、填空题13如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，线段B1D1上有两个动点E,F，且EF 2，现有如下四个结论：2AC BE；EF/平面ABCD；三棱锥ABEF的体积为定值；异面直线AE,BF所成的角为定值，其中正确结论的序号是_14在区间1,1上随机取一个数 x，cosx2的值介于0,的概率为122x y 415已知实数x，y满足x2y 4，则z 3x2y的最小值是_y 016设正数a,b满足a2b 1，则17已知函数y sin(2x)(11的最小值为_ab)的图象关于直线x 对称，则的值是223_18在等腰梯形 ABCD 中,已知ABDC,AB 2,BC 1,ABC 60,点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上,且BE 21BC,DF DC,则AE AF的值为3619函数 y=32xx2的定义域是 .20从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人，组成 4 人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有_种不同的选法（用数字作答）三、解答题三、解答题x tcos21在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t 为参数，0）以坐y tsin标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24 4cos2sin()写出曲线 C 的直角坐标方程；()若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB 的长度为 25，求直线l的普通方程22已知向量a 2sin x,1，b 2,2，c sin x3,1，d 1,kxR,kR（1）若x,，且a/bc，求 x的值.2 2（2）若函数fx ab，求fx的最小值.（3）是否存在实数 k，使得ad bc？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由.23如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D,E 分别是 AB，BB1的中点.（）证明：BC1/平面 A1CD;（）设 AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱锥 C 一 A1DE 的体积.24设函数f(x)x1 x5,xR.（1）求不等式f(x)10的解集；（2）如果关于x的不等式f(x)a(x7)2在R上恒成立，求实数a的取值范围.25如图,四棱锥P ABCD中，AB/DC，ADC PD PB 6，PD BC2，AB AD 1CD 2，2（1）求证：平面PBD平面PBC；（2）在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为在，求？若存3CM的值；若不存在，说明理由CP26已知a (3cos x,cos x)，b (sin x,cos x)，函数f(x)ab.（1）求f(x)的最小正周期及对称轴方程；（2）当x(,时，求f(x)单调递增区间.【参考答案】【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1A解析：A【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除D；根据函数解析式可知定义域为x x 1,所以 y轴右侧虚线部分为 x=1，利用特殊值 x=0.01和 x=1.001代入即可排除错误选项【详解】exexexexfx=由函数解析式fx2，易知fx2x x 2x x 2exex所以函数fx2为奇函数，排除 D选项x x 2根据解析式分母不为 0可知,定义域为x x 1,所以 y轴右侧虚线部分为 x=1，当 x=0.01时，代入fx可得fx0，排除 C选项当 x=1.001时，代入fx可得fx0，排除 B 选项所以选 A【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题2C解析：C【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得tanB tanC 1，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状.【详解】sin AcosBcosCsin Asin BsinC，又，abcabc所以cos B sin B,cos C sinC，有tanB tanC 1.由正弦定理可知所以B C 45.所以A 180 45 45 90.所以ABC为等腰直角三角形.故选 C.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.3C解析：C【解析】试题分析：将 4 种颜色的花种任选2 种种在一个花坛中，余下2 种种在另一个花坛中，有6 种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4 种，故所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.2，选 C.34C解析：C【解析】如图所示，线段 PF1的中垂线经过 F2，PF2F1F22c，即椭圆上存在一点P，使得 PF22c.ac2cac.ec1,1).选 C.a3【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与a,b,c的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围。5C解析：C【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14 次考试成绩超过 90分的次数根据茎叶图可得超过 90分的次数为 9.故选：C【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题6A解析：A【解析】【分析】【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若 M，M，=l，则 Ml，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3 条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选 A7B解析：B【解析】【分析】设b x,yy 0，根据题意列出关于x、y的方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量b的坐标.【详解】设b x,y，其中y 0，则ab 3x y 3.1x2 y21x 132,.由题意得3x y 3，解得，即b 22y 0y 32故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.8C解析：C【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得；根据共面向量基本定理得：ABC为等边三角形。故答案为：等边三角形。9B解析：B【解析】试题分析：集合，故选 B.考点：集合的交集运算.10D解析：D【解析】解：利用展开图可知，线段AB 与 CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为 600，因此选 D11C解析：C【解析】试题分析：先求得 M（2,C考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用点评：简单题，应用公式计算353，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM，故选2212B解析：B【解析】bba2b2双曲线的离心率为3，渐进性方程为y x，计算得2，故渐进性aaa方程为y 2x.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.二、填空题二、填空题13【解析】【分析】对于可由线面垂直证两线垂直；对于可由线面平行的定义证明线面平行；对于可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对解析：解析：【解析】【分析】对于，可由线面垂直证两线垂直；对于，可由线面平行的定义证明线面平行；对于，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对于，由AC BD,AC BB1，可得AC 面DD1BB1，故可得出AC BE，此命题正确；对于，由正方体ABCD A1B1C1D1的两个底面平行，EF在平面A1B1C1D1内，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF/平面ABCD，此命题正确；对于，EF为定值，B到EF距离为定值，所以三角形BEF的面积是定值，又因为A点到面DD1BB1距离是定值，故可得三棱锥ABEF的体积为定值，此命题正确；对于，由图知，当F与B1重合时，此时E与上底面中心为O重合，则两异面直线所成的角是A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，此二角不相等，故异面直线AE,BF所成的角不为定值，此命题错误综上知正确，故答案为【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.14【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率1解析：解析：3【解析】试题分析：由题意得1xx22,x1,1或 x 1或1 x 223222233322(1)，因此所求概率为31.1(1)30 cos考点：几何概型概率x156【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点 A 时直线解析：6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由z 3x2y可得y 合图形可得最优解，于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示3z3zx，平移直线y x，结2222由z 3x2y可得y 平移直线y 3zx223z3zx，结合图形可得，当直线y x经过可行域内的点 A 时，直线2222在 y轴上的截距最大，此时 z取得最小值由题意得 A点坐标为(2,0)，zmin 32 6，即z 3x2y的最小值是 6故答案为 6【点睛】求目标函数z ax by(ab 0)的最值时，可将函数z axby转化为直线的斜截式：zazy x，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值解题时要注意：当bbbzzb 0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当bbzzb 0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值bb16【解析】则则的最小值为点睛:本题主要考查基本不等式解决本题的关键是由有在用基本不等式求最值时应具备三个条件：一正二定三相等一正：关系式中各项均为正数；二定：关系式中含变量的各项的和或积必须有一个解析：解析：32 2【解析】11112ba11（）（a2b）3+32 2，则的最小值a2b 1，则abababab为32 2.点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由a2b 1，有1111（）（a2b），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三abab相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.17【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A00）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.6【解析】解析：分析：由对称轴得 详解：由题意可得sin为k(kZ)，再根据限制范围求结果.62 2 1，所以k，k(kZ)，因3263，所以k 0,.2262k(k Z Z)求对称轴；(4)由2点睛：函数y Asin(x)B（A0,0）的性质：(1)ymax A B,ymin A B；(2)最小正周期T；(3)由x32k x2k(k Z Z)求增区间;由2k x2k(kZ Z)2222求减区间.18【解析】在等腰梯形ABCD中由得所以考点：平面向量的数量积29解析：解析：18【解析】在等腰梯形 ABCD 中,由ABDC,AB 2,BC 1,ABC 60,得ADBC 11,AB AD 1,DC AB,所以AE AF AB BE AD DF2222121111129 AB BCAD AB AB AD BC AD AB BC AB 131231218331818.考点：平面向量的数量积.19【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：解析：3,1【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足32x x2 0 x2 2x3 03 x 1，函数定义域为3,1考点：函数定义域20660【解析】【分析】【详解】第一类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种；第二类先选女男有种这人选人作为队长和副队有种故有种根据分类计数原理共有种故答案为解析：660【解析】【分析】【详解】312第一类，先选1女3男，有C6C2 40种，这4人选2人作为队长和副队有A412种，故22有4012 480种；第二类，先选2女2男，有C6C215种，这4人选2人作为队长和2副队有A412种，故有1512180种，根据分类计数原理共有480180660种，故答案为660.三、解答题三、解答题21()x2y 1 9；（）y【解析】【分析】（I）将223x和 x=0.4x cos代入曲线C极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II）y sin将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l的普通方程.【详解】解：（）将x cos代入曲线 C 极坐标方程得：y sin22曲线 C 的直角坐标方程为：x y 4 4x2y即x2y 1 9（）将直线的参数方程代入曲线方程：22tcos2tsin122 9整理得t24tcos 2tsin4 0设点 A，B 对应的参数为t1，t2，解得t1t2 4cos2sin，t1t2 4则AB t1t2t1t224t1t24cos2sin216 2 53cos24sincos 0，因为0得2或tan33，直线 l 的普通方程为y x和 x=044【点睛】本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.22（1）x 【解析】【分析】（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x，得x值；（2）由数量积的坐标表示求出f(x)，结合正弦函数性质可得最值；（3）计算由ad bc 0得k与sin x的关系，求出k的取值范围即可【详解】（1）6；（2）0；（3）存在k5,1bc sinx1,1，a/bc，1 2sinxsinx1，即sin x .又x,，x .262 2（2）a 2sin x,1，b 2,2，fx ab 22sinx2 2sin x2.xR，1 sin x 1，0 fx4，fx的最小值为 0.（3）ad 3sinx,1k，bc sin x1,1，若ad bc，则ad bc 0，即3sinxsinx11k0，k sin2x2sin x4 sin x15，由sinx1,1，得k5,1，2存在k5,1，使得ad bc【点睛】本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质属于一般题型，难度不大23（）见解析（）VCA1DE【解析】试题分析：（）连接 AC1交 A1C 于点 F，则 DF 为三角形 ABC1的中位线，故 DFBC1再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1平面 A1CD（）由题意可得此直三棱柱的底面 ABC 为等腰直角三角形，由D 为 AB 的中点可得 CD平面 ABB1A1求得 CD 的值，利用勾股定理求得 A1D、DE 和 A1E 的值，可得 A1DDE进而求得 SA1DE 的值，再根据三棱锥 C-A1DE 的体积为 11632 1321SA1DECD，运算求得结果3试题解析：（1）证明：连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF 3 分因为 DF平面 A1CD，BC1不包含于平面 A1CD，4 分所以 BC1平面 A1CD 5 分（2）解：因为 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 AA1CD由已知 AC=CB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB又 AA1AB=A，于是 CD平面 ABB1A1 8 分由 AA1=AC=CB=2，得ACB=90，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即 DEA1D 10 分所以三菱锥 CA1DE 的体积为：=1 12 分考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积24（1）x|3 x 7；（2）,9.【解析】【分析】（1）分别在x1、1 x 5、x5三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为a fxx7，令gx fxx7，可得到分段函数gx的解析式，分别在每一段上求解出gx的最小值，从而得到gx在R上的最小值，进而利用a gxmin得到结果.【详解】（1）当x1时，fx x15 x 42x 10，解得：3 x 1当1 x 5时，fx x15 x 610，恒成立当x5时，fx x1 x5 2x410，解得：5 x 7综上所述，不等式fx10的解集为：x 3 x 7（2）由fx ax7得：a fxx7222242x,x 1由（1）知：fx6,1 x 52x4,x 5令gx fxx72x216x53,x 1x214x55,1 x 5x212x45,x 5当x1时，gxmin g1 70当1 x 5时，gx g510当x5时，gxmin g69综上所述，当xR R时，gxmin9a gx恒成立a gxmina,9【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.25（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算BC，根据勾股定理可得BCBD，结合 BCPD 得出 BC平面PBD，于是平面 PBD平面 PBC；（2）建立空间坐标系，设平面 PBD的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于得解【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为直角梯形，且AB/DC,AB AD 2,ADC 所以BD 2 2，又因为CD 4,BDC CM，计算平面 ABM和CP1，解方程得出 的值,即可22,4根据余弦定理得BC 2 2,所以CD2 BD2BC2，故BC BD.又因为BCPD,PDBD D,且BD,PD 平面PBD，所以BC平面PBD，又因为BC 平面 PBC，所以平面PBC 平面PBD（2）由（1）得平面ABCD 平面PBD,设E为BD的中点，连结PE，因为PB PD 平面ABCD平面PBD BD，6,所以PE BD,PE 2,又平面ABCD 平面PBD，PE 平面ABCD.如图，以A为原点分别以AD，AB和垂直平面ABCD的方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)，假设存在M(a,b,c)满足要求，设所以M(2-,4-3,2),易得平面PBD的一个法向量为BC (2,2,0).设n (x,y,z)为平面ABM的一个法向量，AB (0,2,0)，AM=(2-,4-3,2)CM(0 1)，即CM CP，CPnAB 02y 0由得，不妨取n (2,0,2).(2)x(43)y2z 0nAM 041因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以，32 2 42(2)22解得2,2，（不合题意舍去）.3CM2.CP3故存在M点满足条件，且【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做26(1)T；x 5 5 k（kZ）.(2)(,，,和266 63 36 6 2 2,3 3【解析】【分析】（1）化简得fx sin2x在 R 上的增区间为k【详解】解：（1）fx ab 3sinxcosxcos x21，再求函数的周期和对称轴方程；（2）先求出函数623,k6（kZ），再给 k 赋值与定义域求交集得解.3111sin2xcos2xsin2x222622,2k（kZ）26所以fx的周期T 令2x6 k2（kZ），即x 所以fx的对称轴方程为x（2）令2k解得kk（kZ）.262 2x6 2k2（kZ）36所以当k 1,0或 1 时，x k（kZ），由于x,得函数fx的单调递增区间为,【点睛】52,，和.6363本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期的求法和对称轴的求法，考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.