2021年全国统一新高考数学试卷(新高考Ⅱ卷).pdf

20212021 年全国统一高考数学试卷年全国统一高考数学试卷（新高考卷）（新高考卷）一选择题：本题共一选择题：本题共1212 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的2i1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（13iA.第一象限A.3A.1B.第二象限B.1,6B.2）C.第三象限2.设集合U 1,2,3,4,5,6,A 1,3,6,B 2,3,4，则AUB（C.5,6C.2 223.若抛物线y 2px(p 0)的焦点到直线y x 1的距离为2，则p（D.第四象限）D.1,3）D.44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为，则S占地球表面积的百分比约为（S 2r2(1cos)（单位：km2）A.26%B.34%C.42%5.正四棱台的上下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（A.2012 3B.28 2C.）D.50%）D.）6.某物理量的测量结果服从正态分布N 10,2，下列结论中不正确的是（56328 23A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.越小，该物理量在一次测量中大于 10的概率为 0.5C.越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等7.已知a log52，b log83，c A.c b a8.已知函数fx的定义域为R R，fx2为偶函数，f2x1为奇函数，则（A.f1，则下列判断正确的是（2B.b a cC.a c bB.f10）D.a bc）D.f4 0102C.f2 0二选择题：本题共二选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分9.下列统计量中，能度量样本x1,x2,xn的离散程度的是（）A.样本x1,x2,xn的标准差C.样本x1,x2,xn的极差的是（）B.样本x1,x2,xn的中位数D.样本x1,x2,xn的平均数10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足MN OPA.B.C.D.11.已知直线l:axbyr 0与圆C:x y r，点A(a,b)，则下列说法正确的是（2222）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离12.设正整数na02a12ak12（A.2nnC.8n54n3）0k1B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离ak2k，其中ai0,1，记n a0a1ak则B.2n3n1D.D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切2n1 n三填空题：本题共三填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分x2y213.已知双曲线221a0,b0的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_ab14.写出一个同时具有下列性质的函数fx:_fx1x2 fx1fx2；当x(0,)时，f(x)0；f(x)是奇函数 a 1b c 215.已知向量abc 0，abbcca _x16.已知函数f(x)e 1,x1 0,x2 0，函数f(x)的图象在点Ax,fx和点Bx,fx的两条1122切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则|AM|取值范围是_|BN|四解答题：本题共四解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.记Sn是公差不为 0 的等差数列an的前n项和，若a3（1）求数列an的通项公式an；（2）求使Sn an成立的n的最小值 S5,a2a4 S418.在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b a1，c a2.（1）若2sinC 3sin A，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由19.在四棱锥Q ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD 2,QD QA5,QC 3（1）证明：平面QAD 平面ABCD；（2）求二面角B QD A的平面角的余弦值x2y2620.已知椭圆C的方程为221(ab0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为ab3（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x的充要条件是|MN|2 y2b2(x 0)相切证明：M，N，F三点共线321.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X i)pi(i 0,1,2,3)（1）已知p0 0.4,p1 0.3,p2 0.2,p3 0.1，求E(X)；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0 p1x p2x p3x x的一个最小正实根，求证：当E(X)1时，p 1，当E(X)1时，p 1；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义22.已知函数23f(x)(x1)exax2b（1）讨论f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点1e2 a,b 2a；2210 a,b 2a220212021 年全国统一高考数学试卷年全国统一高考数学试卷（新高考全国卷）（新高考全国卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题：本题共一选择题：本题共1212 小题，每小题小题，每小题5 5 分，共分，共6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的2i1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（13iA.第一象限B.第二象限【思路分析】利用复数的除法可化简）C.第三象限D.第四象限2i，从而可求对应的点的位置.13i1 12i2i13i55i1i【解析】：，所以该复数对应的点为,，2 213i10102该点在第一象限，故选：A.A.3B.1,62.设集合U 1,2,3,4,5,6,A 1,3,6,B 2,3,4，则AUB（）D.1,3【解析】：由题设可得 B 1,5,6，故A B1,6，故选：B.【思路分析】根据交集、补集的定义可求A UB.UC.5,6U23.若抛物线y 2px(p 0)的焦点到直线y x 1的距离为2，则p（）D.4A.1B.2【思路分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.C.2 2p01 p2【解析】：抛物线的焦点坐标为,0，其到直线x y 1 0的距离：，解得：d2211p 2(p 6舍去)故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为，则S占地球表面积的百分比约为（S 2r2(1cos)（单位：km2）A.26%B.34%C.42%）D.50%【思路分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【解析】：由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：2r2(1cos)1cos24r2A.2012 3164006400360000.4242%.故选：C.2）D.C.5.正四棱台的上下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为（B.28 256328 23【思路分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【解析】：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2，2，下底面面积S 16，上底面面积S 4，11282.故选：D.所以该棱台的体积V hS S S S216464333所以该棱台的高h 2 2 2 2122212126.某物理量的测量结果服从正态分布N 10,2，下列结论中不正确的是（）A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.越小，该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C.越小，该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【思路分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.内的概率越大，故 A 正确；对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于 10 的概率为0.5，故 B 正确；对于 C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故 C 正确；对于 D，因为该物理量一次测量结果落在9.9,10.0的概率与落在10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在9.9,10.2的概率与落在10,10.3的概率不同，故 D 错误.故选：D.【解析】：对于 A，所以越小，数据在10附近越集中，所以测量结果落在9.9,10.12为数据的方差，1，则下列判断正确的是（）2A.c b aB.b a cC.a c bD.a bc【思路分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.7.已知a log52，b log83，c 1 log82 2 log83 b，即a c b.故选：C.28.已知函数fx的定义域为R，fx2为偶函数，f2x1为奇函数，则（【解析】：a log52 log55 A.f）【思路分析】推导出函数fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f1 0，结合已知条件可得出结论.【解析】：因为函数fx2为偶函数，则f2 x f2 x，可得102B.f10C.f2 0D.f4 0因为函数f2x1为奇函数，则f12x f2x1，所以，f1 x fx1，fx3 f1x，所以，fx3 fx1 fx1，即fx fx4，故函数fx是以4为周期的周期函数，因为函数Fx f2x1为奇函数，则F0 f1 0，故f1 f1 0，其它三个选项未知.故选：B.二选择题：本题共二选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分9.下列统计量中，能度量样本x1,x2,xn的离散程度的是（）A.样本x1,x2,xn的标准差B.样本x1,x2,xn的中位数C.样本x1,x2,xn的极差D.样本x1,x2,xn的平均数【思路分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【解析】：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点则满足MN OP的是（）.A.B.C.D.【思路分析】根据线面垂直的判定定理可得 BC 的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断 AD的正误.【解析】：设正方体的棱长为2，对于 A，如图（1）所示，连接AC，则MN/AC，故POC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角，2，22故MN OP不成立，故 A 错误.（或者易得OP在上底面的射影为MN，故MN OP不成立）在直角三角形OPC，OC2，CP 1，故tanPOC 1对于 B，如图（2）所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ NT，PQ MN，由正方体SBCM NADT可得SN 平面ANDT，而OQ 平面ANDT，故SN OQ，而SN MN N，故OQ平面SNTM，又MN 平面SNTM，OQ MN，而OQ PQ Q，所以MN 平面OPQ，而PO 平面OPQ，故MN OP，故 B 正确.对于 C，如图（3），连接BD，则BD/MN，由 B 的判断可得OP BD，故OP MN，故 C 正确.对于 D，如图（4），取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC,PQ,OQ,PK,OK，则AC/MN，因为DP PC，故PQ/AC，故PQ/MN，所以QPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，1AC 2，OQ AO2 AQ212 3，2222PO PK2OK2415，QO PQ OP，故QPO不是直角，故PO,MN不垂直，故 D 错误.故选：BC因为正方体的棱长为 2，故PQ 11.已知直线l:axbyr20与圆C:x2 y2 r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是（B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离.）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离的位置关系即可得解.【解析】：圆心C0,0到直线l的距离d222D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切222【思路分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a b,r的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆r2ab22，若点Aa,b在圆C上，则a b r，所以d则直线l与圆C相切，故 A 正确；若点Aa,b在圆C内，则a2b2 r2，所以d则直线l与圆C相离，故 B 正确；若点Aa,b在圆C外，则a2b2 r2，所以d则直线l与圆C相交，故 C 错误；r2abr2abr2ab222222=r，r，r，若点Aa,b在直线l上，则a2b2r2 0即a2b2=r2，所以dr222ab0k1k12.设正整数na02a12ak12ak2，其中ai0,1，记n a0a1ak则=r，直线l与圆C相切，故 D 正确.故选：ABD.（A.2nnC.8n54n3）B.2n3n1D.【思路分析】利用n的定义可判断 ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断 B 选项的正误.【解析】：对于 A 选项，n a0a1ak，2na02a12ak12ak212kk12n1 n，所以，2n a0a1akn，A 选项正确；对于 B 选项，取n 2，2n37 120121122，7 3，而2 020121，则21，即721，B 选项错误；对于 C 选项，8n5a02a12ak2所以，8n5 2a0a1ak，34k35120122a023a124ak2k3，所以，4n3 2a0a1ak，因此，8n54n3，C 选项正确；对于 D 选项，2n120212n 1，故2 1 n，D 选项正确.n4n3a022a123ak2k23120121a022a123ak2k2，故选：ACD.三填空题：本题共三填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分x2y213.已知双曲线221a0,b0的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为_abb2【思路分析】由双曲线离心率公式可得23，再由渐近线方程即可得解.ax2y2【解析】：因为双曲线221a0,b0的离心率为 2，abb2a2b2所以e2，所以23，2aab所以该双曲线的渐近线方程为y x 3x.故答案为：y 3x.ac2a2【归纳总结】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14.写出一个同时具有下列性质的函数fx:_【思路分析】根据幂函数的性质可得所求的fx.44fx1x2 fx1fx2；当x(0,)时，f(x)0；f(x)是奇函数44【解析】：取fx x，则fx1x2x1x2 x1x2 fx1fx2，满足，f x 4x3，x 0时有f x 0，满足，f x 4x3的定义域为R，34又f x 4x f x，故f x是奇函数，满足.故答案为：fx x（答案不唯一，fx x2n*nN均满足）【归纳总结】熟悉常见基本初等函数的基本性质有利于进行构造.a 1b c 215.已知向量abc 0，abbcca _2【思路分析】由已知可得abc0，展开化简后可得结果.2222 【解析】：由已知可得abc a b c 2 abbcca 9 2 abbcca 0，99因此，abbcca .故答案为：.22【归纳总结】三个数的完全平方的式子要熟悉.x16.已知函数f(x)e 1,x1 0,x2 0，函数f(x)的图象在点Ax,fx和点Bx,fx的两条1122|AM|取值范围是_|BN|【思 路 分 析】结 合 导 数 的 几 何 意 义 可 得x1 x2 0，结 合 直 线 方 程 及 两 点 间 距 离 公 式 可 得切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则AM 1e2x1 x1，BN 1e2x2 x2，化简即可得解.xx1e,x0e,x0【解析】：解法一：由题意，fxe1x，则fxx，e1,x0e,x0 xxxx所以点Ax1,1e1和点B x2,e21，kAM e1,kBN e2,x所以e1exx2 1,x1 x2 0，xx1221x1所以AM:y 1e1 e所以AM x x1,M0,exx1ex111，x e x11e2x1 x1，同理BN 1e2x2 x2,AM1e2x1x11e2x11e2x1x1e0,1.所以2x2x212x2BN1e1e1ex2故答案为：0,1()xxe1,x0e,x0，得fxx，解法二：（浙江王海雷补解）由题fxxe1,x0e,x0故kAM ex1，kAN ex2，又AMANkAMkANex1x2 1，得x1 x2 0，如图易得AEM BFN，且有BF OE，所以AMBNAEBFAEOEtanAOE，AMBN0,1故填：故填：0,1而0 tanAOE e0=1，所以【归纳总结】解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件x1 x2 0，消去一个变量后，运算即可得解.四解答题：本题共四解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.记Sn是公差不为 0 的等差数列an的前n项和，若a3（1）求数列an的通项公式an；（2）求使Sn an成立的n的最小值【思路分析】(1)由题意首先求得a3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前 n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n 的最小值.【解析】：(1)由等差数列的性质可得：S5 5a3，则：a35a3,a30，S5,a2a4 S42设等差数列的公差为d，从而有：a2a4a3 da3 d d，S4 a1 a2 a3 a4a3 2da3 d a3a3 d 2d，从而：d2 2d，由于公差不为零，故：d 2，数列的通项公式为：an a3n 3d 2n 6.(2)由数列的通项公式可得：a1 26 4，则：Snn4nn12则不等式Sn an即：n25n 2n6，整理可得：n 1n 6 0，解得：n 1或n6，又n为正整数，故n的最小值为7.差数列的有关公式并能灵活运用.2n26n，【归纳总结】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等18.在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b a1，c a2.（1）若2sinC 3sin A，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【思路分析】（1）由正弦定理可得出2c 3a，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cosC 0结合三角形三边关系可求得整数a的值.【解析】：（1）因为2sinC 3sin A，则2c 2a2 3a，则a 4，故b 5，c 6，a2+b2-c213 7，cosC=，所以，C为锐角，则sinC 1cos2C 2ab88113 715 7；absinC 452284（2）显然c b a，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，因此，SABC2a2b2c2aa1a2a22a30，由余弦定理可得cosC2ab2aa12aa122解得1 a 3，则0 a 3，由三角形三边关系可得aa1 a2，可得a 1，aZ，故a 2.19.在四棱锥Q ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD 2,QD QA5,QC 3（1）证明：平面QAD 平面ABCD；（2）求二面角B QD A的平面角的余弦值【思路分析】（1）取AD的中点为O，连接QO,CO，可证QO 平面ABCD，从而得到面QAD 面ABCD.（2）在平面ABCD内，过O作OT/CD，交BC于T，则OT AD，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD、平面BQD的法向量后可求二面角的余弦值.【解析】：（1）取AD的中点为O，连接QO,CO.因为QA QD，OAOD，则QO AD，而AD 2,QA 5，故QO 51 2.5，在正方形ABCD中，因为AD 2，故DO1，故CO 因为OC AD O，故QO 平面ABCD，因为QO 平面QAD，故平面QAD 平面ABCD.222因为QC 3，故QC QO OC，故QOC为直角三角形且QO OC，（2）解法一：在平面ABCD内，过O作OT/CD，交BC于T，则OT AD，结合（1）中的QO 平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系.则D0,1,0,Q0,0,2,B2,1,0，故BQ 2,1,2,BD 2,2,0.设平面QBD的法向量n x,y,z，nBQ02xy2z01则即，取x 1，则y 1,z，2nBD02x2y01故n1,1,.2 12cos m,n 33.而平面QAD的法向量为m 1,0,0，故122二面角B QD A的平面角为锐角，故其余弦值为.3解法二：（浙江王海雷补解）过B作BM QD于点M由（1）可知：平面QAD 平面ABCDBA ADBA面QAD在BQD中，BQ QA2 AB2 3,QD 5，BD 2 2QB2QD2BD25BM2 56 5cosBQD，即sinBQD得：BM 2QBQD5BQ552BA5即sinBMA，cosBMA3BM32即二面角B QD A的平面角的余弦值为3x2y2620.已知椭圆C的方程为221(ab0)，右焦点为F(2,0)，且离心率为ab3（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x的充要条件是|MN|2 y2b2(x 0)相切证明：M，N，F三点共线33，进而可得b2，即可得解；3；【思路分析】（1）由离心率公式可得a（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN 充分性：设直线MN:y kxb,kb 0，由直线与圆相切得b2 k21，联立直线与椭圆方程结合弦长24k2公式可得1k3，进而可得k 1，即可得解.213kc6【解析】：（1）由题意，椭圆半焦距c 2且e，所以a 3，a3x2222又b a c 1，所以椭圆方程为 y21；322（2）由（1）得，曲线为x y 1(x 0)，2当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x 1，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设Mx1,y1,Nx2,y2，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN:y k x 由直线MN与曲线x y 1(x 0)相切可得222即kx y 2k 0，2kk211，解得k 1，y x23 23联立2可得4x26 2x3 0，所以x1 x2，,x x 12x224y13所以MN 11所以必要性成立；x1 x224x1x23,充分性：设直线MN:y kxb,kb 0即kx y b 0，由直线MN与曲线x y 1(x 0)相切可得22bk211，所以b2 k21，ykxb222联立x2可得13kx 6kbx3b 3 0，2y136kb3b23所以x1x2，,x1x213k213k2所以MN1k22x1x224x1x21k23b236kb4213k213k224k23，1k213k化简得3 k 122 0，所以k 1，k1k 1所以或，所以直线MN:y x2或y x2，b 2b2所以直线MN过点F(2,0)，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|【归纳总结】解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1代，再经过一次繁殖后为第 2 代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X3i)pi(i 0,1,2,3)（1）已知p0 0.4,p1 0.3,p2 0.2,p3 0.1，求E(X)；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0 p1x p2x p3x x的一个最小正实根，求证：当E(X)1时，p 1，当E(X)1时，p 1；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义【思路分析】（1）利用公式计算可得E(X).（2）利用导数讨论函数的单调性，结合f1 0及极值点的范围可得fx的最小正零点.（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.【解析】：（1）E(X)00.410.320.230.11.（2）设fx p3x p2x p11x p0，32323因为p3 p2 p1 p01，故fx p3x p2x p2 p0 p3x p0，2若EX1，则p12p23p31，故p22p3 p0.因为f 0 p2 p0 p30，f 1 p22p3 p00，故f x有两个不同零点x1,x2，且x1 01 x2，f x3p3x22p2xp2 p0 p3，且x故fx在,x1，x2,上为增函数，在x1,x2上为减函数，若x21，因为fx在x2,为增函数且f1 0，故1为p0 p1x p2x p3x x的一个最小正实根，综上，若EX1，则p 1.23,x1x2,时，f x 0；xx1,x2时，f x 0；而当x0,x2时，因为fx在x1,x2上为减函数，故fx fx2 f10，23若x21，因为f1 0且在0,x2上为减函数，故 1 为p0 p1x p2x p3x x的一个最小正实根，若EX1，则p12p23p31，故p22p3 p0.故f x有两个不同零点x3,x4，且x3 0 x41，此时f 0 p2 p0 p30，f 1 p22p3 p00，且x,x3 x4,时，f x 0；xx3,x4时，f x 0；故fx在,x3，x4,上为增函数，在x3,x4上为减函数，而f1 0，故fx40，又f0 p0 0，故fx在0,x4存在一个零点p，且p 1.23所以p为p0 p1x p2x p3x x的一个最小正实根，此时p 1，故当EX1时，p 1.（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过 1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于 1.22.已知函数f(x)(x1)e ax b（1）讨论f(x)的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点x21e2 a,b 2a；2210 a,b 2a2【思路分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【解析】：(1)由函数的解析式可得：f x x e 2a，x当a 0时，若x,0，则f x 0,fx单调递减，若x0,，则f x 0,fx单调递增；当0 a 1时，若x,ln2a，则f x 0,fx单调递增，2若x ln2a,0，则f x 0,fx单调递减，若x0,，则f x 0,fx单调递增；当a 1时，f x0,fx在R上单调递增；21当a 时，若x,0，则f x 0,fx单调递增，2若xln2a,，则f x 0,fx单调递增；若x 0,ln2a，则f x 0,fx单调递减，(2)若选择条件：1e2由于a，故1 2a e2，则b2a1,f0b10，22b2而fb1beabb0，fln2a 2a ln2a1a ln2ab 2aln2a1aln2a2a 2aln2aa ln2a222而函数在区间,0上单调递增，故函数在区间,0上有一个零点.aln2a2ln2a，1e2由于a，1 2a e2，故aln2a2ln2a0，22结合函数的单调性可知函数在区间0,上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：1由于0 a，故2a 1，则2当b 0时，e2f0b12a10，而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点.x当b 0时，构造函数Hx e x 1，则Hx e 1，24,4a2，f2e 4ab0，x当x,0时，H当x0,时，Hx 0,Hx单调递增，x0,Hx单调递减，注意到H0 0，故Hx0恒成立，从而有：ex x1，此时：fxx1exax2bx1x1ax2b 1ax2b1，1b2时，1ax b10，1a1b1，则fx0 0，1a当x取x0 1b即：f00,f1a10，而函数在区间0,上单调递增，故函数在区间0,上有一个零点.fln2a 2aln2a1aln2ab 2aln2a1aln2a2a 2aln2aaln2a222 aln2a2ln2a，由于0 a 结合函数的单调性可知函数在区间,0上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【归纳总结】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用1，0 2a 1，故aln2a2ln2a0，2