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离散数学必备知识点总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT总结离散数学知识点第二章 命题逻辑1.，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为 1，否定为 0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按 P,Q,R 的顺序依次写；6.真值表中值为 1 的项为极小项，值为 0 的项为极大项；7.n 个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为(02n-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则真值表法；直接证法；归谬法；附加前提法；第三章 谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有 n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含，存在量词用合取;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3，不包括 0；2.基：集合 A 中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合 A，以集合 A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合 A 有 n 个元素，幂集 P(A)有2个元素，|P(A)|=2|A|=2；5.集合的分划：(等价关系)每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合；这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，则笛卡尔 AB 的基数为 mn，A 到 B 上可以定义2种不同的关系；2.若集合 A 有 n 个元素，则|AA|=n2，A 上有2n个不同的关系；2nnmn3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素 x 组成的集合；后域(ranR)：所有元素 y 组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUIx;对称闭包：s(R)=RUR-1;传递闭包：t(R)=RURURU6.等价关系：集合 A 上的二元关系 R 满足自反性，对称性和传递性，则 R 称为等价关系；7.偏序关系：集合 A 上的关系 R 满足自反性，反对称性和传递性，则称 R 是 A 上的一个偏序关系；8.covA=|x,y属于 A，y 盖住 x；9.极小元：集合 A 中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合 A 中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合 A 中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合 A 中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B 是 A 的子集上界：A 中的某个元素比 B 中任意元素都大，称这个元素是 B 的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A 中的某个元素比 B 中任意元素都小，称这个元素是 B 的下界(若存在，可能不唯一)；23上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数1.若|X|=m,|Y|=n,则从 X 到 Y 有2种不同的关系，有n种不同的函数；2.在一个有 n 个元素的集合上，可以有2种不同的关系，有nn种不同的函数，有 n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且 m=n，则从 X 到 Y 有Am种不同的单射；n4.单射：f:X-Y，对任意x1,x2属于 X,且x1x2，若 f(x1)f(x2)；满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素 y 在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若 f 既是单射又是满射，则 f 是双射；5.复合函数：fog=g(f(x);6.设函数 f:A-B，g:B-C，那么如果 f,g 都是单射，则 fog 也是单射；如果 f,g 都是满射，则 fog 也是满射；如果 f,g 都是双射，则 fog 也是双射；如果 fog 是双射，则 f 是单射，g 是满射；第七章代数系统n2mnm1.二元运算：集合 A 上的二元运算就是A2到 A 的映射；2.集合 A 上可定义的二元运算个数就是从AA 到 A 上的映射的个数，即从从 AA 到 A 上函数的个数，若|A|=2,则集合 A 上的二元运算的个数为22*2=24=16 种；3.判断二元运算的性质方法：封闭性：运算表内只有所给元素；交换律：主对角线两边元素对称相等；幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：,满足 f(a*b)=f(a)f(b),则 f 为由到的同态映射；若 f 是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合 A 中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1)自反性 aa对偶:aa 2)反对称性 ab ba =a=b对偶:ab ba =a=b 3)传递性 ab bc =ac对偶:ab bc =ac 4)最大下界描述之一 aba对偶 avba Abb对偶 avbb 5）最大下界描述之二 ca,cb =cab对偶 ca,cb =?cavb 6)结合律 a(bc)=(ab)c对偶 av(bvc)=(avb)vc 7)?等幂律 aa=a对偶 ava=a 8)吸收律 a(avb)=a 对偶 av(ab)=a 9)ab ab=a avb=b 10)ac,bd =abcd avbcvd 11)保序性 bc =abac avbavc 12）分配不等式 av(bc)(avb)(avc)对偶 a(bvc)(ab)v(ac)13）模不等式 ac?av(bc)(avb)c3.分配格：满足 a(bvc)=(ab)v(ac)和 av(bc)=(avb)(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合 A 中的某个元素 a 大于等于该集合中的任何元素，则称 a 为格A,的全上界，记为 1；(若存在则唯一)全下界：集合 A 中的某个元素 b 小于等于该集合中的任何元素，则称 b 为格A,的全下界，记为 0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0 和 1 的格；8.补元：在有界格内，如果 ab=0,avb=1，则 a 和 b 互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有 n(n-1)/2 条边，有向完全图有 n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为 r 的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为 2 的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点vi,vj，若存在连接vi到vj的路，则称vi与vj相互可达，也称vi与vj是连通的；在有向图中，若存在vi到vj的路，则称vi到vj可达；13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，mij是vi与ej关联的次数，节点为行，边为列；无向图：点与边无关系关联数为 0，有关系为 1，有环为 2；有向图：点与边无关系关联数为 0，有关系起点为 1 终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：行：每个节点关联的边，即节点的度；列：每条边关联的节点；有向图：所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，aij是vi邻接到vj的边的数目，点为行，点为列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+A2(G)+A3(G)+A4(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1 的通路条数；A2(G)中所有数的和：表示图中路径长度为 2 的通路条数；A3(G)中所有数的和：表示图中路径长度为 3 的通路条数；A4(G)中所有数的和：表示图中路径长度为 4 的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，vi到vj有路为 1，无路则为 0，点为行，点为列；19.代价矩阵：邻接矩阵元素为 1 的用权值表示，为 0 的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为 0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：选定起始点v0；选择一个与v0邻接且未被访问过的节点v1；从v1出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：选定起始点v0；访问与v0邻接的所有节点v1,v2,vk,这些作为第一层节点；在第一层节点中选定一个节点v1为起点；重复，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法将所有权值按从小到大排列；先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；重复，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；重复，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法在图中任取一点为起点v1，连接边值最小的邻接点v2；以邻接点v2为起点，找到v2邻接的最小边值，如果最小边值比v1邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回v1，连接v1现在的最小边值(除已连接的边值)；重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例 2 求 PERT 图中各顶点的最早完成时间,最晚完成时间,缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max0+1=1 TE(v3)=max0+2,1+0=2 TE(v4)=max0+3,2+2=4 TE(v5)=max1+3,4+4=8 TE(v6)=max2+4,8+1=9 TE(v7)=max1+4,2+4=6 TE(v8)=max9+1,6+6=12最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min12-6=6 TL(v6)=min12-1=11 TL(v5)=min11-1=10 TL(v4)=min10-4=6 TL(v3)=min6-2,11-4,6-4=2 TL(v2)=min2-0,10-3,6-4=2 TL(v1)=min2-1,2-2,6-3=0缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0关键路径:v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：连通图；有 0 个或 2 个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：连通图；所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：除两个节点外，每个节点入度=出度；这两个节点中，一个节点的入度比出度多 1，另一个节点的入；度比出度少 1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中 n 个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有 v 个节点，e 条边，r 个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图 G 是 v 个节点，e 条边的简单连通平面图，若 v=3，则e=1)；深度为 k 的二叉树的节点总数最多为2k-1 个，最少 k 个(k=1)；如果有n0个叶子，n2个 2 度节点，则n0=n2+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：将给定的权值按从小到大排序；取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；重复，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0 右 1 的规则，用 0 和 1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0 和 1 组成的一排编码；