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第三章一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。（2）倾斜角的范围：当与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0因此 0180。2、直线的斜率（1）斜率公式：K=tan（90）（2）斜率坐标公式：K=y2 y1（x1x2）x2 x1（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当=0时，k=0；当090时，k0，且越大，k 越大；当=90时，k 不存在；当90180时，k0，且越大，k 越大。二、两直线平行与垂直的判定1、两直线平行的判定：（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90，即斜率不存在，则这两直线平行；（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2122、两直线垂直的判定：（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；（2）如果两条直线1、2的斜率都存在，且都不为 0，则12 k1k2=1已知直线已知直线l经过点经过点P(x0,y0)，且斜率为，且斜率为k，则方程，则方程y y0 k(x x0)为直线的点斜式方程为直线的点斜式方程.直线直线l与与y轴交点轴交点(0,b)的纵坐标的纵坐标b叫做直线叫做直线l在在y轴上的截距轴上的截距（interceptintercept）.直线直线y kx b叫做直线的斜截式方程叫做直线的斜截式方程.已知直线上两点已知直线上两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)且且(x1 x2,y1 y2)，则通过这两点的直线方程为，则通过这两点的直线方程为y y1x x1由于这个直线方程由两点确定，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直所以我们把它叫直(x1 x2,y1 y2)，y2 y1x2 x1线的两点式方程，简称两点式线的两点式方程，简称两点式已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a 0,b 0，则xy直线l的方程1叫做直线的截距式方程.ab注意注意：直线与x轴交点（a,0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距；直线与 y 轴交点（0,b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.关于x,y的二元一次方程Ax By C 0（A，B 不同时为 0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（generalform）注意注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线直线名称点斜式斜截式两点式截距式已知条件直线方程使用范围P1(x1,y1),ky y1 k(x x1)y kx by y1x x1y2 y1x2 x1k 存在k，b(x1,y1)（x2,y2)a,bk 存在x1 x2y1 y2xy1aba 0b 022已知平面上两点已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则，则PP12(x2 x1)(y2 y1).特殊地：特殊地：P(x,y)与原点的距离为与原点的距离为OP x2 y2.：已已 知知 点点P(x0,y0)和和 直直 线线l:Ax By C 0，则则 点点P到到 直直 线线l的的 距距 离离 为为：d Ax0 By0CA B22.已知两条平行线直线已知两条平行线直线l1Ax By C1 0，l2:Ax By C2 0，则，则l1与与l2的距离为的距离为d C1C2A B221 1两直线的交点问题两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组一般地，将两条直线的方程联立，得方程组A1x B1y C1 0，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无A x B y C 0222数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行2 2直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决化为代数问题来解决.3.3.坐标法的步骤：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的坐标法的步骤：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；量；进行有关的代数运算；进行有关的代数运算；把代数运算结果把代数运算结果“翻译”“翻译”成几何关系成几何关系.点到直线距离公式的推导过程，点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，点到直线的距离公式，能把求两平行能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式线的距离转化为点到直线的距离公式一、直线与方程一、直线与方程（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角定义：x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180（2 2）直线的斜率）直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即k tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 0,90时，k 0；当90,180时，k 0；当 90时，k不存在。y y1(x1 x2)过两点的直线的斜率公式：k 2x2 x1注意下面四点：(1)当x1 x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2)k 与 P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3 3）直线方程）直线方程点斜式：点斜式：y y1 k(x x1)直线斜率 k，且过点x1,y1注意：注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是 y=y1。当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。斜截式：斜截式：y kx b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：两点式：y y1x x1（x1 x2,y1 y2）直线两点x1,y1，x2,y2y2 y1x2 x1截矩式：截矩式：y1b其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距截距分别xa为a,b。一般式：一般式：Ax By C 0（A，B 不全为不全为 0 0）1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：注意：注意：平行于 x 轴的直线：y b（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：x a（a 为常数）；（5 5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系（一）平行直线系平行于已知直线A0 x B0y C0 0（A0,B0是不全为 0 的常数）的直线系：A0 x B0y C 0（C 为常数）（二）过定点的直线系（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系：y y0 kx x0，直线过定点x0,y0；（）过两条直线l1:A1x B1y C1 0，l2:A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为，其中直线l2不在直线系中。A1x B1yC1A2x B2yC2 0（为参数）（6 6）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直当l1:y k1x b1，l2:y k2x b2时，l1/l2 k1 k2,b1 b2；l1 l2 k1k2 1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7 7）两条直线的交点）两条直线的交点l1:A1x B1y C1 0l2:A2x B2y C2 0相交A1x B1y C1 0交点坐标即方程组的一组解。A2x B2y C2 0方程组无解 l1/l2；方程组有无数解l1与l2重合（8 8）两点间距离公式：）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点，B x2,y2）则|AB|(x2 x1)2(y2 y1)2（9 9）点点到到直直线线距距离离公公式式：一点Px0,y0到直线l1:Ax By C 0的距离d Ax0 By0CA B22（1010）两平行直线距离公式）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程二、圆的方程1 1、圆的定义：、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2 2、圆的方程、圆的方程22（1 1）标准方程）标准方程x ay b r2，圆心a,b，半径为 r；（2 2）一般方程）一般方程x2 y2 Dx Ey F 0当D2 E2 4F 0时，方 程 表 示 圆，此 时 圆 心 为r 1D2 E2 4F2DE,22，半 径 为当D2 E2 4F 0时，表示一个点；当D2 E2 4F 0时，方程不表示任何图形。（3 3）求圆方程的方法：）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：一般都采用待定系数法：先设后求。先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。的位置。3 3、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线l:Ax By C 0，圆C:x a2y b2 r2，圆心Ca,b到 l 的距离 为d Aa Bb CA B22，则 有d r l与C相离；d r l与C相切；d r l与C相交（2）设直线l:Ax By C 0，圆C:x a2y b2 r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有 0 l与C相离；0 l与C相切；0 l与C相交2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0 yy0 r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r 表示半径。(3)(3)过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0 yy0 r2(课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆 上 一 点 为(x0，y0)，则 过 此 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)4 4、圆与圆的位置关系：、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1:x a12y b12 r2，C2:x a22y b22 R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当d Rr时两圆外离，此时有公切线四条；当d Rr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R r d R r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d R r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当d R r时，两圆内含；当d 0时，为同心圆。选修内容：椭圆椭圆把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距 即当动点设为M时，椭圆即为点集P M|MF1 MF2 2a椭圆的简单几何性质y2x2范围：由椭圆的标准方程可得，212 0，进一步得：a x a，同理ba可得：b y b，即椭圆位于直线x a和y b所围成的矩形框图里；对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e c叫做椭圆的离心率（0 e 1），a当e 1时，c a，b 0当e 0时，c 0，b a；椭圆图形越扁椭圆越接近于圆椭圆的第二定义c这(0 e 1)时，a个点的轨迹是椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e x2y2a2对于椭圆221，相应于焦点F(c,0)的准线方程是x 根据对称性，相应于焦caby2x2a2a2点F(c,0)的准线方程是x 对于椭圆221的准线方程是y ccab可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义由 椭 圆 的 第 二 定 义|MF|e可 得：右 焦 半 径 公 式 为da2a2|MF右|ed e|x|a ex；左焦半径公式为|MF左|ed e|x()|a excc椭圆中焦点三角形的性质及应用椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。x2y2性质一：已知椭圆方程为221(a b 0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形abPF1F2中F1PF2,则SF1PF2 b2tan2。(2c)2 F1F22 PF1 PF22PF1PF2cos22(PF1 PF2)22PF1PF2(1cos)PF1PF2(PF1 PF2)24c22(1cos)4a24c22b22(1cos)1cosSF1PF21b2PF1PF2sinsin b2tan21cos2x2y2性质二：已知椭圆方程为221(a b 0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形abPF1F2，若F1PF2最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。证明：设P(xo,yo),由焦半径公式可知：PF1 a exo，PF1 a exo在F1PF2中，cosPF1 PF1 F1F22PF1PF2222(PF1 PF2)22PF1PF24c22PF1PF24a24c24b22b211=21222PF1PF22(a exo)(a exo)a e xo2 a2a x0 axox2y2性质三性质三：已知椭圆方程为221(a b 0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形abPF1F2中F1PF2,则cos1 2e2.证明证明：设PF1 r1,PF2 r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：r12 r22 F1F2(r1 r2)22r1r24c22a22c2cos12r1r22r1r22r1r222a2 2c22a2 2c2111 2e2.命题得证。2r r2a2(12)22双曲线把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距即当动点设为M时，双曲线即为点集P M MF1 MF2 2a双曲线的简单几何性质y2x2范围：由双曲线的标准方程得，221 0，进一步得：x a，或x a 这ba说明双曲线在不等式x a，或x a所表示的区域；对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；x2y2b渐近线：直线y x叫做双曲线221的渐近线；aba离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e c叫做双曲线的离心率（e 1）aa2双曲线第二定义双曲线第二定义:当动点 M(x,y)到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线l:x 的距离之c比是常数e c1时,这个动点 M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点 F(c,0)是双曲线的一个焦焦aa2点点，定直线l:x 叫双曲线的一条准线准线，常数 e 是双曲线的离心率离心率。双曲线上任一点到c焦点的线段称为焦半径。定义图形N1K1P椭圆1 到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0e0)x2y2212ab(a b0)x acosy bsin(参数为离心角）axa，byb原点 O（0，0）(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)X 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bF1(c,0),F2(c,0)2c（其中 c=a2b2）x acosy bsin(参数为离心角）axa，byb原点 O（0，0）(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)X 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bF1(c,0),F2(c,0)2c（其中 c=a2b2）范围中心顶点对称轴焦点焦距离心率准线e c(0 e 1)ae c(0 e 1)aa2x=ca2x=c焦半径通径r aex2b2ar aex2b2a名名 称称椭椭圆圆y双双曲曲线线y图图 象象OxOx平面内到两定点F1,F2的距离的和为平面内到两定点F1,F2的距离的差的常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭绝对值为常数（小于F1F2）的动点的圆。即MF1 MF2 2a轨迹叫双曲线。即MF定定 义义1 MF2 2a当 2a2c时，轨迹是椭圆，当 2a2c时，轨迹是双曲线当 2a=2c时，轨迹是一条线段F1F2当 2a=2c时，轨迹是两条射线当 2a2c时，轨迹不存在当 2a2c时，轨迹不存在标标准准方方 程程x2y2焦点在x轴上时：221aby2x2焦点在y轴上时：221ab注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上222x2y2焦点在x轴上时：221aby2x2焦点在y轴上时：221ab注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置222常常数数a c b（符合勾股定理的结构）c a b（符合勾股定理的结构）a,b,ca b 0，c a 0c最大，可以a b,a b,a b的的关关a最大，c b,c b,c b系系