2019年全国卷Ⅰ高考卷(含答案).pdf
2019 年普通高等学校招生全国统一考试数学（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设z A23i，则z=12iB3C2D12已知集合U 1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B 2,3,6,7，则BI CUAA1,6B1,7C6,7D1,6,70.20.33已知a log20.2,b 2,c 0.2，则Aa b cBa c bCc a bDb c a4 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 15 10.618，（22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长2度为 26 cm，则其身高可能是A165 cm5函数 f(x)=B175 cmC185 cmD190cmsin x x在，的图像大致为cos x x2BACD6某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若46 号学生被抽到，则下面4 名学生中被抽到的是A8 号学生7tan255=A238已知非零向量 a a，b b 满足AB2+3C23D2+3B200 号学生C616 号学生D815 号学生a a=2b b，且（a ab b）b b，则 a a 与 b b 的夹角为B63C23D5619如图是求21122的程序框图，图中空白框中应填入AA=12 ABA=21ACA=112ADA=112Ax2y210双曲线 C:221(a 0,b 0)的 一条渐近线的倾斜角为130，则 C 的离心率为abA2sin40B2cos40C1sin50D1cos5014，则11.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA=A6B5C4D3bc=AF F2B 12已知椭圆 C 的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若，2 2AB BF 1，则 C 的方程为x2A y212x2y2B132x2y2C143x2y2D154二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线y 3(x2 x)ex在点(0,0)处的切线方程为_14记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若a11，S315函数f(x)sin(2x3，则 S4=_43)3cos x的最小值为_216已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为3，那么P到平面 ABC 的距离为_三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：男顾客女顾客满意4030不满意1020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？n(ad bc)2附：K(ab)(cd)(ac)(bd)2P（K2 k）k18（12 分）0.0503.8410.0106.6350.00110.828记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S9=a5（1）若 a3=4，求an的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围19.（12 分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离20（12 分）已知函数 f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为 f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点；（2）若 x0，时，f（x）ax，求 a 的取值范围21.（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB=A，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MAMP为定值？并说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）1t2x，21t在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的y 4t1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos3sin11 0（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）111 a2b2c2；abc333（2）(ab)(bc)(ca)24一、选择题1C2C3B4B20192019年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学解析文科数学解析5D6C7D8B ab b abb 02【解析】abbb 0 a b cos b 01cos即239A【解析】将 A 选项的运算公式代入程序框图，当K=1 时，A1122，当 K=2 时，A 121212即答案为 A.10Db2sin250c2a2sin2501b22 e 1e 1【解析】由题可知 tan50，即22222acos 50acos 50cos 50a即答案为 D11A2222222b c a3c3c1 ，即答案为 A.【解析】由题可知a b 4c，cos A 2bc2bc2b412B【解析】当直线斜率不存在时，如图所示：即F1A 2BF2 AB BF1即ABF1为等边三角形，由几何关系知AF1 AF2 2 3 2a即其标准为方程为 B.二、填空题13曲线y 3(x2 x)ex在点(0,0)处的切线方程为_【答案】y=3x解析：14记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若a11，S315函数f(x)sin(2x3，则 S4=_43)3cos x的最小值为_216已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为3，那么P到平面 ABC 的距离为_1415 4162三、解答题17解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为率的估计值为0.8女顾客中对该商场服务满意的比率为5840 0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概5030 0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.650100(40203010)2 4.762（2）K 505070302由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18解：（1）设an的公差为d由S9 a5得a14d 0由a3=4得a12d 4于是a18,d 2因此an的通项公式为an102n（2）由（1）得a1 4d，故an(n5)d,Sn2n(n9)d.2an等价于n 11n10 0，解得1n10由a1 0知d 0，故Sn所以n的取值范围是n|1剟 n 10,nN19解：（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME B1C，且ME 又因为N为A1D的中点，所以ND 1B1C.21A1D.2D，由题设知A1B1=DC，可得BC1=A1故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED.又MN 平面C1DE，所以MN平面C1DE.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE BC，DE C1C，所以DE平面C1CE，故DECH.从而CH平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以C1E 17，故CH 4 17.174 17.17从而点C到平面C1DE的距离为20解：（1）设g(x)f(x)，则g(x)cos x xsin x1,g(x)xcos x.当x(0,)时，g(x)0；当x2,时，g(x)0，2所以g(x)在(0,)单调递增，在2,单调递减.2又g(0)0,g 0,g()2，2故g(x)在(0,)存在唯一零点.所以f(x)在(0,)存在唯一零点.（2）由题设知f()a,f()0，可得a0.由（1）知，f(x)在(0,)只有一个零点，设为x0，且当x0,x0时，f(x)0；当xx0,时，f(x)0，所以f(x)在0,x0单调递增，在x0,单调递减.又f(0)0,f()0，所以，当x0,时，f(x)0.又当a 0,x0,时，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范围是(,0.21解：（1）因为e M过点A,B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线x+y=0上，且A,B关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线y x上，可设M(a,a).因为e M与直线x+2=0相切，所以e M的半径为r|a 2|.由已知得|AO|=2，uuu u ruuu r又MO AO，故可得2a 4 (a2)，解得a=0或a=4.故e M的半径r=2或r=6.（2）存在定点P(1,0)，使得|MA|MP|为定值.理由如下：设M(x,y)，由已知得e M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.22uuu u ruuu r由于MO AO，故可得x y 4 (x2)，化简得M的轨迹方程为y 4x.因为曲线C:y 4x以点P(1,0)为焦点，以直线x 1为准线的抛物线，22222|MP|=x+1.因为|MA|MP|=r|MP|=x+2(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.21t4t2 y 1t 21，且x 22解：（1）因为11，22221t21t1t222y21(x 1).C的直角坐标方程为x 42l的直角坐标方程为2x 3y 11 0.（2）由（1）可设C的参数方程为x cos,（为参数，）.y 2sin4cos11|2cos2 3sin11|3C上的点到l的距离为.77当 2时，4cos11取得最小值7，33C上的点到l距离的最小值为7.23解：（1）因为a b 2ab,b c 2bc,c a 2ac，又abc1，故有222222a2b2c2 abbcca 所以abbcca111.abcabc111 a2b2c2.abc（2）因为a,b,c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(ac)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2 ab)(2 bc)(2 ac)=24.所以(ab)(bc)(ca)24.333
