抛物线的性质归纳及证明.pdf
抛抛 物物 线线 的的 性性 质质 归归 纳纳 及及 证证 明明(总总 1 1 0 0 页页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-抛物线的常见性质及证明抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线 y22px（p0）焦点 F 的弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),倾斜角为,中点为 C(x0,y0),分别过 A、B、C 作抛物线准线的垂线，垂足为 A、B、C.pppp1.求证：焦半径焦半径|AF|x1；焦半径；焦半径|BF|x2;21cos21cos1 11 12 22p|AFAF|BFBF|p p；弦长弦长|AB|AB|x x1 1x x2 2p p=2；特别地，当；特别地，当sinx x1 1=x=x2 2(=90=90)时，弦长时，弦长|AB|AB|最短，称为通径，长为最短，称为通径，长为 2p2p；AOBAOB 的的p2面积面积 S SOABOAB.2sinpp证明：根据抛物线的定义，|AF|AD|x12，|BF|BC|x22，|AB|AF|BF|x1x2p如图 2，过 A、B引 x 轴的垂线 AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么|RF|AD|FA1|AF|AF|cos，图 2ROCDyA(x1，y1)B1FA1B(x2，y2)x|AF|RF|p1cos1cos|RF|p同理，|BF|1cos1cos2pp2p|AB|AF|BF|.1cos1cossin2111 pSOABSOAFSOBF2|OF|y1|2|OF|y1|22(|y1|y1|)y1y2p2，则 y1、y2异号，因此，|y1|y1|y1y2|2ppp22 22pSOAB4|y1y2|4(y1y2)4y1y244m p 4p 2p221m .2sin1 11 12 2p22.求证：x1x2；y1y2p2；p p.|AFAF|BFBF|4当 ABx 轴时，有成立；AF BF p，p 当 AB与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为：y kx.代入抛物2线方程：p22p2222k 0kx 2px.化简得：k x pk 2x42k2方程（1）之二根为 x1，x2，x1x2.421x1 x2 p111111pp2AFBFAA1BB1x px px1x2x1 x2122224x1 x2 px1 x2 p2.pp2pp2px1 x2 px1 x22424y yAAA ACCK KO OF FBBB BC Cx x33.3.求证：ACB AFBRtRt.先证明：AMBAMB RtRt【证法一】延长 AM交 BC 的延长线于 E，如图 3，则ADMECM，EDyA(x1，y1)MRCONFB(x2，y2)x|AM|EM|，|EC|AD|BE|BC|CE|BC|AD|BF|AF|AB|ABE为等腰三角形，又 M是 AE的中点，BMAE，即AMBRt【证法二】取 AB 的中点 N，连结 MN，则111|MN|2(|AD|BC|)2(|AF|BF|)2|AB|，|MN|AN|BN|ABM为直角三角形，AB为斜边，故AMBRt.pppy1y2【证法三】由已知得 C(2，y2)、D(2，y1)，由此得 M(2，2).y1y2p2y12y1y2p(y1y2)p(y1y1)ppkAM，同理 kBM222py1y2y1y1p2y1p2x1222pp图 34p pp2p2kAMkBMyyy y21121 2pBMAE，即AMBRt.pp【证法四】由已知得 C(2，y2)、D(2，y1)，由py1y2此得 M(2，2).py1y2p MA(x12，2)，MB(x32，y2y12)pp(y1y2)(y2y1)MA MB(x12)(x22)42pp2(y1y2)x1x22(x1x2)442222p2p y1y2p2y1y22y1y242(2p2p)44yD1M243OFRCB图 4Axp2y1y2p2p22220MA MB，故AMBRt.【证法五】由下面证得DFC90，连结 FM，则 FMDM.又 ADAF，故ADMAFM，如图 412，同理34123218090AMBRt.接着证明：DFCDFC RtRt【证法一】如图 5，由于|AD|AF|，ADRF，5RCO2yDA(x1，y1)pF(2，0)B(x2，y2)x图 5故可设AFD ADF DFR ，同理，设BFC BCF CFR ，而AFD DFR BFC CFR 1802()180，即 90，故DFC 90py1y2【证法二】取 CD 的中点 M，即 M(2，2)y2y2pp由前知 kAMy，kCFpppy1122kAMkCF，AM CF，同理，BM DFDFC AMB 90.【证法三】DF(p，y1)，CF(p，y2)，DF CF p2y1y20DF CF，故DFC 90.【证法四】由于|RF|2p2y1y2|DR|RC|，即|DR|RF|RF|RC|，且DRF FRC 90 DRF FRCDFR RCF，而RCF RFC 90DFR RFC 90DFC 90ON1FN图 7xlM1yMDGOHyD1A(x1，y1)MRCFB(x2，y2)x图 664.C4.CA A、C CB B 是抛物线的切线是抛物线的切线pp【证法一】kAMy，AM的直线方程为 yy1y(x11yDD1A(x1，y1)y212p)与抛物线方程 y22px联立消去 x得2p y2y1yy1y(2p2p)，整理得 y22y1yy2101MRCOFB(x2，y2)x可见(2y1)24y210，故直线 AM与抛物线 y22px相切，同理 BM也是抛物线的切线，如图 8.图 8(2px)x，【证法二】由抛物线方程 y22px，两边对 x 求导，(y2)xp得 2yyx2p，yxy，故抛物线 y22px在点 A(x1，y1)处的切线的斜率p|yy1.为 k切yxy1p又 kAMy，k切kAM，即 AM是抛物线在点 A 处的切线，同理 BM也1是抛物线的切线.py1y2【证法三】过点 A(x1，y1)的切线方程为 y1yp(xx1)，把 M(2，2)代入2y1y2y2p21y1y22px1p左边y122px12，2pp2右边p(2x1)2px1，左边右边，可见，过点 A的切线经过点 M，7即 AM是抛物线的切线，同理 BM也是抛物线的切线.5.C5.C A A、C C B B 分别是分别是A A ABAB 和和B B BABA 的平的平分线分线.EDyA(x1，y1)MORCFNxB(x2，y2)【证法一】延长 AM交 BC 的延长线于E，如图 9，则ADMECM，有 ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即 AM平分DAB，同理 BM平分CBA.【证法二】由图 9 可知只须证明直线 AB的倾斜角是直线 AM 的倾斜角的py1y22倍即可，即2.且 M(2，2)y2y1y2y12ptankAB2.x2x1y2y2y y1212p2py1y2p2y12y1y2p(y1y2)p(y1y1)ptankAM2y.2py2y1p2y1p211x1222pp2py12tan2py12py12ptan 2tan2p2y21tan2p2y22y1y2y1y21(y)12，即 AM平分DAB，同理 BM平分CBA.图 986.6.ACAC、A A F F、y y 轴三线共点，轴三线共点，BCBC、B B F F、y y 轴三线共点轴三线共点【证法一】如图 10，设 AM与 DF相交于点 G1，由以上证明知|AD|AF|，AM 平分DAF，故 AG1也是 DF边上的中线，G1是 DF的中点.设 AD与 y轴交于点 D1，DF与 y轴相交于点G2，易知，|DD1|OF|，DD1OF，故DD1G2FOG2|DG2|FG2|，则 G2也是 DF的中点.G1与 G2重合（设为点 G），则 AM、DF、y轴三线共点，同理 BM、CF、y轴也三线共点.y2p1【证法二】AM的直线方程为 yy1y(x2p)，1y1令 x0 得 AM与 y轴交于点 G1(0，2)，y1p又 DF的直线方程为 yp(x2)，令 x0 得 DF与 y轴交于点y1G2(0，2)图 10DGOHyD1A(x1，y1)MRCFB(x2，y2)x9y1AM、DF与 y轴的相交同一点 G(0，2)，则 AM、DF、y轴三线共点，同理 BM、CF、y轴也三线共点 H由以上证明还可以得四边形 MHFG是矩形.7.7.A A、O O、B B 三点共线，三点共线，B B、O O、A A 三点共线三点共线.y1y12p【证法一】如图 11，kOAx2y，1y112py22y22py22py22pkOCppp2y1y2y12kOAkOC，则 A、O、C 三点共线，同理 D、O、B三点也共线.【证法二】设 AC 与 x轴交于点 O，ADRFBC|RO|CO|BF|OF|CB|AD|CA|AB|，|AF|AB|，|RO|OF|又|AD|AF|，|BC|BF|，|AF|AF|RO|OF|，则 O与 O重合，即 C、O、A三点共线，同理 D、O、B三点也共线.|OF|AF|【证法三】设 AC 与 x轴交于点 O，RFBC，|CB|AB|，|CB|AF|BF|AF|OF|AB|AF|BF|111|AF|BF|p2【见证】DyA(x1，y1)RCOFB(x2，y2)x图 11O与 O重合，则即 C、O、A三点共线，同理 D、O、B三点也共线.10p【证法四】OC(2，y2)，OA(x1，y1)，y2pppy1y1y2y1py1p2y112y1x1 y22y12py222p22p0OC OA，且都以 O为端点A、O、C 三点共线，同理 B、O、D三点共线.【推广】过定点 P(m，0)的直线与抛物线 y22px（p0）相交于点 A、B，过 A、B两点分别作直线 l：xm的垂线，垂足分别为 M、N，则 A、O、N三点共线，B、O、M 三点也共线，如下图：yMA yMBNANOBPxPOx8.8.若若|AFAF|：|BFBF|m m：n n，点，点 A A 在第一象限，在第一象限，为直线为直线 ABAB 的倾斜角的倾斜角.则则 coscos m mn n；m mn n【证明】如图 14，过 A、B分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 D，C，过 B作 BEAD于 E，设|AF|mt，|AF|nt，则|AD|AF|，|BC|BF|，|AE|AD|BC|(mn)tROCFB图 14yDEAx11l|AE|(mn)tmn在 RtABE中，cosBAE|AB|(mn)tmnmncoscosBAE.mn【例 6】设经过抛物线 y22px的焦点 F的直线与抛物线相交于两点 A、B，且|AF|：|BF|3：1，则直线 AB的倾斜角的大小为 .【答案】60或 120.9.9.以 AF为直径的圆与 y轴相切，以 BF为直径的圆与 y轴相切；以 AB为直径的圆与准线相切;AB为直径的圆与焦点弦 ABAB 相切.y yAAMMMMx xK KO OF FBBB By yAAA Ay yAAA AA ACCC Cx xCCK KO OF FBBB BC Cx xO OF F【说明】如图 15，设 E是 AF的中点，p2x12y1，2)，p2x1212|AF|则 E的坐标为(则点 E到 y轴的距离为 d故以 AF为直径的圆与 y轴相切，同理以 BF为直径的圆与 y轴相切.【说明】如图 15，设 M是 AB的中点，作 MN准线 l 于 N，则12111|MN|2(|AD|BC|)2(|AF|BF|)2|AB|1则圆心 M到 l 的距离|MN|2|AB|，故以 AB为直径的圆与准线相切.10.10.MNMN 交抛物线于点交抛物线于点 Q Q，则，则 Q Q 是是 MNMN 的中点的中点.y2y2p12【证明】设 A(2p，y1)，B(2p，y1)，则 C(2，py2)，D(2，y1)，y1y2py1y2M(2，2)，N(4p，2)，222y21y2图 16py1y224py1y2设 MN 的中点为 Q，则 Q(，2)222y1y22py1y224p2p2y2y2 2y1y2y2y22121228p8p2p点 Q 在抛物线 y22px上，即 Q 是 MN的中点.13
