数学分析试题及答案.pdf

数 学 分 析 试 题 及 答 案 7(总 8 页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-（二十一）数学分析期终考试题（二十一）数学分析期终考试题一一 叙述题叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）1开集和闭集2函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件二二计算题计算题：（每小题 7 分，共 35 分）1、x31 xdx192、求x2(y b)2 b2(0 a b)绕x轴旋转而成的几何体的体积1n2n3、求幂级数(1)x的收敛半径和收敛域nn14、limx0y0 x2 y21 x y1225、f(x,y,z)x xy2 yz2，l为从点P0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求fl(P0)三三讨论与验证题讨论与验证题：（每小题 10 分，共 30 分）122(x y)sin21、已知f(x,y)x y20 x2 y2 0 x 0,y 0，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微n212、讨论级数ln2的敛散性。n 1n1xnxn1)3、讨论函数项级数(nn 1n1x1,1的一致收敛性。四四证明题证明题：（每小题 10 分，共 20 分）1若xaf(x)dx收敛，且f（x）在a,+）上一致连续函数，则有lim f(x)02设二元函数f(x,y)在开集D R2内对于变量x是连续的，对于变量y满足 Lipschitz 条件：f(x,y)f(x,y)L y y其中(x,y),(x,y)D,L为常数证明f(x,y)在D内连续。2参考答案一、1、若集合 S 中的每个点都是它的内点，则称集合 S 为开集；若集合 S中包含了它的所有的聚点，则称集合 S 为闭集。2设函数项级数un(x)满足（1）un(x)(n 1,2,)在a，b连续可n1导a)un1n(x)在a，b点态收敛于S(x)b)un1n(x)在a，b一致收敛于(x)dd则S(x)=un(x)在a，b 可导，且un(x)un(x)dxn1n1n1dx3、有界函数f(x)在a，b上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当 max(xi)0时 Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等1in二、1、令t 31 x（2 分）x31 xdx 3(1t3)t3dt 1092468（5 分）72、y1 ba2 x2,y2 ba2 x2，（2 分）所求的体积为：2(y12 y2)dx 22a2b（5 分）aa1(1)n111n)n 收敛半径为(43、解：由于lim(1n11n1een(1)(1)n 1n 11n21n1分），当x 时，(1)()(1)n1 0(n )，所以收敛域为nee1 1(,)(3 分）e e4、limx2y21x2y21x0y0lim(x2y2)(1x2y21)x02222(1x y 1)(1x y 1)y0lim(1x2y21)2x0y0（7 分）35、解：设极坐标方程为fx(2,1,2)2,fy(2,1,2)0.fz(2,1,2)4（4分）fl(2,1,2)613（3 分）111cos)2x(sin2三、1、解、fxx y2x2 y2x2 y20由于x2 y2 0 x2 y2 0（4 分）11cos当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的fy也不x2 y2x2 y2连续，（2 分）n21ln22n 11（5 分）22、解：lim收敛，所以原级数收敛（5 分）n2n 1n12n 1xn113、解：部分和Sn(x)x（3 分），0,取N ，n N时有n 1xn11Sn(x)x，所以级数一致收敛（7 分）n 1n四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1、证明：用反证法若结论不成立，则0 0,X.a,x0 X，使得f(x0)0，（3 分）又因为在f（x）在a,）上一致连续函数，0(0,1),x,x a，只要x x0，有f(x)f(x)02，（3 分）于是A0 a,令X A01，取上述使f(x0)0的点x0 X,，不妨设f(x0)0，则对任意满足x x00的x，有f(x)f(x0)A0202 0取 A 和 A分别等于x002和x002，则Af(x)dx 020有，由 Cauchy 收敛定理，af(x)dx不收敛，矛盾（4 分）2、证明：(x0,y0)D，由 Lipschitz 条件f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x,y0)f(x,y0)f(x0,y0)4 L y y0 f(x,y0)f(x0,y0)（1），（6 分）又由二元函数f(x,y)在开集D R2内对于变量x是连续的，（1）式的极限为 0，f(x,y)在(x0,y0)连续，因此f(x,y)在D内连续（4 分）（二十二）数学分析期末考试题（二十二）数学分析期末考试题一一叙述题叙述题：（每小题 5 分，共 15 分）1 Darboux 和2无穷限反常积分的 Cauchy 收敛原理3 Euclid 空间二二计算题计算题：（每小题 7 分，共 35 分）n1、nlimn!n2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积y2 2x22y x3、Inexxndx(n是非负整数）02u4、设u f(x y z,xyz),f具有二阶连续偏导数，求zx2225、求f(x)ex的幂级数展开式三三讨论与验证题讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分）1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例2、讨论级数cosnx(0 x)的绝对和条件收敛性。pnn1四四证明题证明题：（每小题 10 分，共 30 分）tf(t)dt1 f（x）在0，+）上连续且恒有f（x）0，证明g(x)在f(t)dt0 x0 x0，+）上单调增加2设正项级数xn收敛，xn单调减少，证明limnxn 0n1n53f(x,y)y，证明：lim f(x,y)不存在x0 x2 yy0参考答案一、1、有界函数f(x)定义在a,b上，给一种分法a x0 x1 xn b和记Mi supf(x),xi1,xi,mi inff(x),xi1,xi，则P，S(P)Mixi,S(P)mixi分别称为相应于分法i1i1nnP的 Darboux 大和和Darboux 小和。2、0.N a使得m n N，成立nmf(x)dx 3、Rn向量空间上定义内积运算x,x,y y x1y1 xnyn构成 Euclid 空间n1n!1ni 1二、1、由于limln lim(lni)nlnn)limlnlnxdx 1nnnnnn n0i1i1n（7 分）2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2 分）x24所求的面积为：(2x)dx（5 分）02323、解：Inexxndx0=xnex|0+nexxn1dx=nIn1010exxndx+exxndx（6 分）1In n!(1 分）2uu 2x(2zf11 xyf12)yf2 yz(2zf21 xyf22)4、：=2 f1x yzf2（3 分）zxx（4 分）en15、解：由于余项rn(x)x 0(n )，（3 分）所以(n1)!x2xne 1 x（4 分）2!n!xx6三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本 133 页（4 分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本 135 页（6 分）2、解：当p 1时，级数绝对收敛，（4 分）当0 p 1，由 Dirichlet 定理知级数收敛，但cosnxnpcos2nx1cos2nx|cosnx|，所以发散，即级数ppppn2n2nnn1条件收敛（4 分），当p 0时，级数的一般项不趋于 0，所以级数不收敛（2分）四、证明题证明题（每小题 10 分，共 30 分）1证明：g(x)xf(x)f(t)dt f(x)tf(t)dt00 xx(f(t)dt)0 x2f(x)(xf(t)tf(t)dt0 x(f(t)dt)0 x2 0（8分）所以函数单调增加（2 分）2证明：m,n m，有(n m)xm1xn xm由此得nxn分）由级数收敛，故 0可取定m0使得xm0，又lim得n n0时，有分）x21xf(x,y)lim21lim3、证明：lim f(x,y)lim2，所以x0 x0 x0 x x2x0 x x22yxyxnxm，（4n mn1，故n0使nn m0n 2，（4 分）于是当n n0时，有0 nxn 2，得证（2n mlim f(x,y)不存在（10 分）x0y0（二十三）数学分析期末考试题（二十三）数学分析期末考试题一一叙述题叙述题：(每小题 5 分，共 15 分）1微积分基本公式2无穷项反常积分3紧几合二二计算题计算题：(每小题 7 分，共 35 分）2dx2dtdx1、11 x4dx01t42、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积7y x 22y x3、求n(n 2)xn的收敛半径和收敛域n14、设u xeyz ez y，求偏导数和全微分5、limx0y01 xy 1xy三三讨论与验证题讨论与验证题：(每小题 10 分，共 30 分）x2y21讨论f(x,y)22的二重极限和二次极限x y(x y)22讨论1e0dx的敛散性xpln x3、讨论函数项fn(x)xn xn1(0 x 1)的一致收敛性。四 证明题：(每小题 10 分，共 20 分）1设f（x）连续，证明f(u)(x u)du 0 xx0f(x)dxduu02证明u y(x2 y2)满足yuux xuxyy参考答案一、1、设f(x)在a,b连续，F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则成立baf(x)dx F(b)F(a)。2、设函数f(x)在a,)有定义，且在任意有限区间a,A上可积。若极限limAaAf(x)dx存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散U中总存在一个有限子覆盖，即存3、如果S的任意一个开覆盖U中的有限个开集Ui在 ki1，满足Ui S，则称S为紧集i1k2dx2dtdxdx2dt2x二、1、=（7 分）11 x48dx01t4dx01t41 x82、解：两曲线的交点为（-2，4），（1，1），（2 分）19所求的面积为：(2 x x2)dx（5 分）223：limnn(n 2)1，收敛半径为 1（4 分），由于x 1时，级n数不收敛，所以级数的收敛域为（-1，1）（3 分）4：uuu=eyz=xzeyz1=xyeyz ez（4 分）yxzdu eyzdx (xzeyz1)dy (xyeyz ez)dz（3 分）5、解：limx0y01 xy 1(1 xy 1)(1 xy 1)1 lim（7 分）x0 xy2xy(1 xy 1)y0三、1、解、由于沿y kx趋于（0，0）时，0k 1x2y2，所以重极限不存在（5 分）lim(x,kx)(0,0)x2y2(x y)21k 1x2y2x2y2limlim22 0,limlim22 0，（5 分）x0 y0 x y(x y)2y0 x0 x y(x y)22：0 p 1，由于x1 p21 p21dxe 0(x 0)故0 xpln x收敛（4 分）；xpln x11p 1，由于x1e01dxe(x )（4 分）故收敛，p 1，pp0 x ln xx ln xdx，发散（2 分）。xln xn3、lim fn(x)0 f(x)（3 分），limsup fn(x)f(x)limsup xn xn1 lim(nnxnnnn)(1)0，所以函数n 1n 1列一致收敛（7 分）四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1证明：x0u0f(x)dxdu=uf(x)dxuf(u)du xf(u)du uf(u)du=00000uxxxxx0f(u)(x u)du（10 分）92、证明：uu(x2 y2)2y2(x2 y2)（6 分）2xy(x2 y2)，yxyuux x x(x2 y2)u（4 分）xyy10