2020年全国卷Ⅲ理数高考试题(含答案).pdf
2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。*1已知集合A(x,y)|x,yN N,y x，B(x,y)|x y 8，则AB中元素的个数为A22复数1的虚部是13i310B3C4D6AB110C110D43103在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为p1,p2,p3,p4，且pi1，则下面四种情形中，对i1应样本的标准差最大的一组是Ap1 p4 0.1,p2 p3 0.4Cp1 p4 0.2,p2 p3 0.3Bp1 p4 0.4,p2 p3 0.1Dp1 p4 0.3,p2 p3 0.24Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)（t的单位：天）的 Logistic 模型：I(t)=K1e0.23(t53)，其中K为最大确诊病例数 当I(t*)0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19 3)A60B63C66D6925设O为坐标原点，直线x=2 与抛物线C：y 2px(p 0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为1A(,0)41B(,0)2C(1,0)D(2,0)6已知向量a a，b b满足|a a|5，|b b|6，a ab b6，则cos a a,a a b b=A3135B1935C1735D19357在ABC中，cosC=A192，AC=4，BC=3，则 cosB=311BC32D238下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A6+4 29已知 2tantan(+A2B4+4 2C6+2 3D4+2 3)=7，则 tan=4B1C1D210若直线l与曲线y=x和x2+y2=Ay=2x+11都相切，则l的方程为511By=2x+Cy=x+122Dy=11x+22x2y211设双曲线C：221（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5P是C上一点，ab且F1PF2P若PF1F2的面积为 4，则a=A1B2C4D812已知 5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则AabcBbacCbcaDca400nadbc附：K2=，ab cd)acbd2P（K2k）k0.0503.8410.0106.6350.00110.82819（12 分）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E,F分别在棱DD1,BB1上，且2DE ED1，BF 2FB1（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB 2，AD 1，AA13，求二面角A EF A1的正弦值20（12 分）15x2y2已知椭圆C:，A，B分别为C的左、右顶点21(0m5)的离心率为425m（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线x 6上，且|BP|BQ|，BP BQ，求APQ的面积21（12 分）设函数f(x)x3bx c，曲线y f(x)在点(（1）求b（2）若f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于 111，f()处的切线与y轴垂直22（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x2tt2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t1），C与坐标轴交于A、2y23ttB两点（1）求|AB|；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程23选修 45：不等式选讲（10 分）设a，b，cR，abc 0，abc1（1）证明：abbcca0；（2）用maxa,b,c表示a，b，c的最大值，证明：maxa,b,c3420202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考理科数学试题参考答案选择题答案选择题答案一、选择题选择题1C2D3B5B6D7A9D10D11A非选择题答案非选择题答案二、填空题填空题137142401523三、解答题三、解答题17解：（1）a2 5,a3 7,猜想an 2n 1,由已知可得an1(2n3)3(an(2n1)，an(2n1)3(an1(2n1)，a25 3(a13).因为a1 3，所以an 2n 1.（2）由（1）得2nan(2n1)2n，所以Sn32522723(2n1)2n.从而2Sn322523724(2n1)2n1.4C8C12A16 得Sn3222222322n(2n1)2n1，所以Sn(2n1)2n12.18解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：空气质量等级概率的估计值10.4320.2730.2140.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100（3）根据所给数据，可得22列联表：人次400空气质量好空气质量不好根据列联表得100(3382237)2K5.820554570302人次4003783322由于5.820 3.841，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 19解：设AB a，AD b，AA1 c，如图，以C1为坐标原点，C1D1的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1 xyz 2111（1）连结C1F，则C1(0,0,0)，A(a,b,c)，E(a,0,c)，F(0,b,c)，EA (0,b,c)，C1F (0,b,c)，3333 得EA C1F因此EAC1F，即A,E,F,C1四点共面，所以点C1在平面AEF内 A(2,1,3)E(2,0,2)F(0,1,1)A(2,1,0)（2）由已知得，1，AE (0,1,1)，AF (2,0,2)，A1E (0,1,2)，A1F (2,0,1)设n n1(x,y,z)为平面AEF的法向量，则 n nAE0,yz0,1即可取n n1(1,1,1)设n n2为平面A1EF的法向量，则 2x2z0,n n1AF0,1n n2A1E0,同理可取n n2(,2,1)2n n2A1F0,因为cosn n1,n n2 n n1n n2742，所以二面角A EF A1的正弦值为|n n1|n n2|772x2y225125m152m 20解：（1）由题设可得，得，所以C的方程为2525.165416（2）设P(xP,yP),Q(6,yQ)，根据对称性可设yQ 0，由题意知yP 0，由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y 122(x5)，所以|BP|yP1 yQ，|BQ|1 yQ，yQ因为|BP|BQ|，所以yP1，将yP1代入C的方程，解得xP 3或3.由直线BP的方程得yQ 2或 8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(3,1),Q2(6,8).110A(5,0)PQPQy x|PQ|10，直线的方程为，点到直线的距离为，故APQ111111的面1132积为110510.222710130 x，点A到直线P2Q2的距离为，故AP2Q2的9326|P2Q2|130，直线P2Q2的方程为y 面积为511305APQ.综上，的面积为.1302226213221解：（1）f(x)3x b依题意得f()0，即b 0.24故b 343311x c，f(x)3x2.令f(x)0，解得x 或x.44223（2）由（1）知f(x)x f(x)与f(x)的情况为：xf(x)f(x)1(，)2121 1(，)2 2121(，+)2+0c 140c 14+111因为f(1)f()c，所以当c 时，f(x)只有大于1的零点.244111因为f(1)f()c，所以当c 时，f（x）只有小于1的零点244由题设可知当c=当1111 c，当c=时，f(x)只有两个零点和1.444211时，f(x)只有两个零点1和.421111 11 c 时，f(x)有三个等点x1，x2，x3，且x1(1，)，x2(，)，x3(，1)4422 22综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.22选修 44：坐标系与参数方程解：（1）因为t1，由2t t2 0得t 2，所以C与y轴的交点为（0，12）；由23t t2 0得t=2，所以C与x轴的交点为(4,0)故|AB|4 10（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为xy1，将x cos，y sin代入，412得直线AB的极坐标方程3cossin12 023选修 45：不等式选讲解：（1）由题设可知，a，b均不为零，所以11ab bc ca(a b c)2(a2b2 c2)(a2b2 c2)0.22(bc)2（2）不妨设 maxa，b，c=a，因为abc 1,a (b c)，所以a0，b0，c0.由bc，可4a3得abc，故a 34，所以maxa,b,c34.4
