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归纳二重积分的计算方法归纳二重积分的计算方法摘要：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则;四则运算前言前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何物理力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.1 1.预备知识预备知识1.11.1 二重积分的定义二重积分的定义1设fx,y是定义在可求面积的有界区域D上的函数.J是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于D的任意分割T,当它的细度T 时,属于T的所有积分和都有f,iii1ni J,则称fx,y在D上可积,数J称为函数fx,y在D上的二重积分,记作J fx,yd,D其中fx,y称为二重积分的被积函数,x,y称为积分变量,D称为积分区域.1.21.2 二重积分的若干性质二重积分的若干性质1.21 若fx,y在区域D上可积,k为常数,则kfx,y在D上也可积,且kfx,yd kfx,yd.DD1.22 若fx,y,gx,y在D上都可积,则fx,y gx,y在D上也可积,且 fx,y gx,ydfx,ydgx,yd.DDD1.23 若fx,y在D1和D2上都可积,且D1与D2无公共点,则fx,y在D1积,且D1D2D2上也可fx,ydfx,ydfx,ydD1D2d1.31.3 在矩形区域上二重积分的计算定理在矩形区域上二重积分的计算定理设fx,y在矩形区域Da,bc,d上可积,且对每个xa,b,积分fx,ydy存c在,则累次积分badxfx,ydy也存在,且cbdacdDfx,yddxfx,ydy.b同理若对每个yc,d,积分fx,ydx存在,在上述条件上可得aDfx,yddyfx,ydxcadb2.2.求的二重积分的几类理论依据求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X 型Y 型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.2.12.1 在直角坐标系下在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算对一般区域二重积分的计算X 型区域:D Y 型区域:D x,yyx y yx,a x b1212x,yxy x xy,c y dby2x定理:若fx,y在X 区域D上连续,其中y1x,y2x在a,b上连续,则fx,yddxDay1xfx,ydy即二重积分可化为先对y,后对x的累次积分.同理在上述条件下,若区域为Y 型,有Dfx,yddxcdx2yx1yfx,ydy例 1 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.解：设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为x2 y2 a2与x2 z2 a2.只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以 8 即得所求的体积.第一卦限部分的立体式以z a2x2为曲顶,以四分之一圆域D:0 y a2 x2,0 x a,为底的曲顶柱体,所以aa2x2a1222V a x ddxa2 x2dy(a2 x2)dx a300083D于是V 163a.3另外,一般常见的区域可分解为有限个X 型或Y 型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质 1.23 求得即可.2.22.2 二重积分的变量变换公式二重积分的变量变换公式定理:设fx,y在有界闭域D上可积,变换T:x xu,v,y y(u,v)将平面uv由按段光滑 封 闭 曲 线 所 围 成 的 闭 区 域一 对 一 地 映 成xy平 面 上 的 闭 区 域D,函 数x xu,v,y y(u,v)在分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式Ju,v则x,y 0,u,v,u,vfx,ydxdy fxu,v,yu,vJu,vdudv.Dxyxy用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化.例 1 求eDdxdy,其中D是由x 0,y 0,x y 1所围区域.11(u v),y(u v),则22解 为了简化被积函数,令u x y,v x y.为此作变换T:x 12Ju,v12即121 0.122uveDxyxyuv11111ee11vdxdyedudv dve du v(ee)dv 0v02224例 2 求抛物线y2 mx，y2 nx和直线y x，y x所围区域D的面积(D)(0 m n,0)解D的面积(D)dxdyD为了简化积分区域，作变换T：x 面上的矩形区域 m,n,由于uu，它把xy平面上的区域D对应到uv平y 2vv1v2Ju,v1v所以2uuv34 0，u,v，uv2vn2m233dvnu(D)dxdy 4dudv 4udu 33vmv6 D2.32.3 用极坐标计算二重积分用极坐标计算二重积分x rcos定理:设fx,y在有界闭域D上可积,且在极坐标变换T：0 r ，y rsin0 2下，xy平面上有界闭区域D与r平面上区域对应，则成立fx,ydxdy frcos,rsinJ(r,)drdD其中J(r,)cossinrsinrcos r当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f x,y换二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：22时，采用该极坐标变（i）若原点OD，且xy平面上射线常数与D边界至多交与两点，则必可表示成r1()r r2()，于是有Df(x,y)dxdy dr2()r1()f(rcos,rsin)rdr类似地，若xy平面上的圆r 常数与D的边界多交于两点，则必可表示成1(r)2(r)，r1 r r2，所以Df(x,y)dxdy rdrr1r22(r)1(r)f(rcos,rsin)d.（ii）若原点为D的点，D的边界的极坐标方程为r r()，则可表示成0 r r()，0 2.所以Df(x,y)dxdy d02r()0f(rcos,rsin)rdr.(iii)若原点O在D的边界上,则为0 r r(),于是f(x,y)dxdy dDr()0f(rcos,rsin)rdr例 1 计算I e(xD2y2)d,其中D为圆域:x2 y2 R2.解 利用极坐标变换,由公式得I 20R0rerdr(1eR).22与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：x arcos0 r ，0 2，T：y brsinJ(r,)acosbsinarsinbrcos abrx2y2z2如求椭球体2221的体积时，就需此种变换abc2.42.4 利用二重积分的几何意义求其积分利用二重积分的几何意义求其积分当f(x,y)0时，二重积分f(x,y)dxdy在几何上就表示以z f(x,y)为曲顶，D为底的曲D顶体积当f(x,y)1时，二重积分f(x,y)dxdy的值就等于积分区域的面积D例 6 计算：I Dx2y2x2y2122d，其中D：221ababx2y2解因为被积函数z 1220，abx2y2所以I表示D为底的z 122为顶的曲顶柱体体积ab由平行xoy面的截面面积为A(x)ab(1 z)，(0 z 1)，根据平行截面面积为已知的立体体积公式有11I ab(1 z)dz ab032.52.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算.利用变量代换计算利用变量代换计算设D为有界闭域，它的边界曲线，(t)且D(x,y)a x b,c y y(x)，当x a时，t；当x b时，t。设f(x,y)在D上连续，且存在P(x,y)，(x,y)D使得P f(x,y)，则yf(x,y)dxdy P(t),(t)P(t),c(t)dtD.利用格林公式计算定理若函数P(x,y)，Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有(DQP)dxyLPdxQdy这里L为区域D的边界线，并取正方向计算步骤：（）构造函数P(x,y)，Q(x,y)使应具有一阶连续偏导数；（）利用格林公式化曲线积分求之QP f(x,y)，但P(x,y)，Q(x,y)在D上xy例 7 计算x3y4dxdy，D是由椭圆x acos，y bsin所围成D解法一（利用变量代换）设D1为D在第一象限，则425435a3b5352x y dxdy 4x y dxdy x y dx作变换x acos,y bsina bcossin(sin)d05564DD12424解法二（利用格林公式）令P P125Q x2y4，0 x y，Q 0，则yx512512a3b525x y dxdy x y dx(acos)(bsin)(asin)dL05564D242.72.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法积分区域具有对称性的二重积分的简便算法.积分区域关于坐标轴对称积分区域关于坐标轴对称性质若f(x,y)在区域D可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则二重积分满足下列性质：D0,f(x,y)为关于（或xy）的奇函数f(x,y)dxdy 2f(x,y)dxdy,f(x,y)为关于（或xy）的偶函数D1其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称子域之一例计算222x y R，其中是由所围成的闭区域(h2x3y)dxdyDD解析由于积分区域D关于x轴y轴均对称性，只需考虑被积函数f(x,y)h2x3y关于x或y的奇偶性易见，f(x,y)关于x或y既非奇函数，也非偶函数若记f(x)2x，f(y)3y，则f(x,y)h f(x)f(y)且f(x)为x的奇函数，f(y)为y的奇函数由此dxdy 0 LDy 0y xx 由性质，有D142 x y yy2cos(x y)cos(x y)0D1D2 2cos(x y)dxdy 2dy2cos(x y)dx 02，1hdxdyhR 0D2故有Df(x,y)dxdy Df(x)dxdyDf(y)dxdy2hRhdxdyhdxdyDD.积分区域关于某直线L对称性质若f(x,y)在区域D可积，且区域D关于L对称，则二重积分满足下列性质：D0,f(x,y)为关于直线L的奇函数f(x,y)dxdy 2f(x,y)dxdy,f(x,y)为关于直线L的偶函数D1其中D1为区域D被L所分割的两个对称子域之一例求，其中D由直线y 0，y x，x 2围成解析对任意(x,y)D，有0 x y 而当0 x y 2时，cos(x y)0当2 x y 时，cos(x y)0故作直线L：x y 2，把D分成D1和D2两部分，而D1和D2关于直线L对称又cos(x y)关于直线L偶对称故cos(x y)dxdy 2cos(x y)dxdy 2dy2cos(x y)dx 4y2DD10y12.82.8 运用导数的定义求极限运用导数的定义求极限例 10 计算limln(h x)lnh(h 0)x0 xx0思路：对具有limf(x)f(x0)f(x0 h)f(x0)或lim形式的极限，可由导数的h0 x x0h定义来进行计算.解：原式=(lnx)|xh1h2.92.9 运用定积分的定义求极限运用定积分的定义求极限31例 11 计算lim 1cos 1cosn0nn2 1cosnn11ni思路：和式极限，利用定积分定义limf()f(x)dx求得极限.0n0nni1解：原式1ni lim1 cosn 0nni11011 cos(x)dx2 cosx20dx 222.102.10 运用微分中值定理求极限运用微分中值定理求极限exesinx例 12：计算limx0 xsin x思路：对函数f(x)在区间sin x,x上运用拉格朗日中值定理，即可求得.解：原式 lime1（其中在sin x,x区间）0总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的.参考文献参考文献:1华东师大学数学系.数学分析（第五版）M.高等教育，2001.2钱志良.谈极限的求法J.信息职业技术学院学报，2003.3 占光.函数极限的计算方法J.民政职业技术学院学报，2004.
