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等比数列经典例题透析等比数列经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1等比数列an中，a1?a9?64,a3?a7?20,求 a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于 a1 和 q 的二元方程组，解出 a1 和 q，可得 a11；或注意到下标 1?9?3?7，可以利用性质可求出 a3、a7，再求 a11.总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】an为等比数列，a1=3，a9=768，求 a6。【变式 2】an为等比数列，an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46 的值。【变式 3】已知等比数列an，若 a1?a2?a3?7，a1a2a3?8，求 an。类型二：等比数列的前 n 项和公式例 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.解析：若q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.a1(1?q3)a1(1?q6)2a1(1?q9)?由 S3?S6?2S9 得，1?q1?q1?q 整理得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，341 因 q1，故 q?，所以 q?。223 3 举一反三：11【变式 1】求等比数列 1,?的前 6 项和。39【变式 2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求 S5.【变式 3】在等比数列an中，a1?an?66，a2?an?1?128，Sn?126，求 n 和 类型三：等比数列的性质例 3.等比数列an中，若 a5?a6?9,求 log3a1?log3a2?.?log3a10.举一反三：【变式 1】正项等比数列an中，若 a1a100=100;则lga1+lga2+lga100=_.827【变式 2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三 32 个数的乘积为_。类型四：等比数列前 n 项和公式的性质例 4在等比数列an中，已知 Sn?48，S2n?60，求 S3n。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。举一反三：【变式 1】等比数列an中，公比 q=2,S4=1,则 S8=_.【变式 2】已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=40,求：S30=？【变式 3】等比数列an的项都是正数，若 Sn=80,S2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求n.SS801【答案】n?，q?1(否则 n?)S2n6560S2n2a1(1?qn)Sn?=80 .(1)1?qa1(1?q2n)S2n?=6560.(2)，1?q(2)(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数，由(3)知 q1an为递增数列，an 为最大项 54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)5422a1?q?q 代入(1)得 q(1?81)?80(1?q)，8133q=3,n=4.【变式 4】等比数列an中，若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6=_.【变式 5】等比数列an中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求 a7+a8+a9 的值。类型五：等差等比数列的综合应用例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，x 可设此三数为 a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x,xy。但 y 还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数.类型六：等比数列的判断与证明例 6已知数列an的前 n 项和 Sn 满足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.【变式 2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】设数列an、bn的公比分别为 p,q，且 pq 2 为证Cn不是等比数列，只需证 C1?C3?C2.2?(a1p?b1q)2?a12p2?b12q2?2a1b1pq,C2C1?C3?(a1?b1)(a1p2?b1q2)?a12p2?b12q2?a1b1(p2?q2)2?a1b1(p?q)2,C1?C3?C2 又 pq,a10,b10,22?0 即 C1?C3?C2C1?C3?C2数列Cn不是等比数列.【变式 3】判断正误：(1)an为等比数列?a7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3)an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列；?1?2a(4)an是公比为 q 的等比数列，则 n、?仍为等比数列；?an?(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，logmb，logmc 成等差.类型七：Sn 与 an 的关系 2?5an?6，且 a1，a3，例 7已知正项数列an，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn?ana15 成等比数列，求数列an的通项 an.举一反三：【变式】命题 1：若数列an的前 n 项和 Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题 2：若数列an的前 n 项和 Sn=na-n，则数列an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为个.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
