衡水中学高中数学知识点、公式、典型题总结.pdf
高高 中中 数数 学学 总总 复复 习习（五五）复习内容：高中数学第五章-平面向量复习范围：第五章1.长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.注意：若a,b为单位向量，则a b.（）单位向量只表示向量的模为 1，并未指明向量的方向.若a b，则ab.（）2.a=aa a aa b a b设a x1,y1,b x2,y2,Ra b x1 x2,y1 y2a b x1 x2,y1 y222（向量的模，针对向量坐标求模）a x1,y2ab x1x2 y1y2a x1 y1平面向量的数量积：ab a b cosab b aab ab aba b c ac b c 注意：ab c a b c不一定成立；ab b c a c.向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.长度为 0 的向量叫零向量，记0，零向量与零向量相等，且0 0.0与任意向量平行，0的方向是任意的，若有一个三角形 ABC，则0；此结论可推广到n边形.若ma na（m,nR），则有m n.（）当a等于0时，ma na 0，而m,n不一定相等.a，|ab|a|b|.a=|a|2，|a|=a2（针对向量非坐标求模）当a 0时，由ab 0不能推出b 0，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有ab=0.若ab，bc，则ac（）当b等于0时，不成立.3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b a（平行向量或共线向量）.当 0,a与b共线同向：当 0,a与b共线反向；当a b（）b则为0,0与任何向量共线.注意：若a,b共线，则若c是a的投影，夹角为，则cos设a=x1,y1，b x2,y2a c，cos a c（）高中数学高考总复习高三数学总复习九向量 1 ab x1y2 x2y1 0 a b ab a bab ab 0 x1x2 y2y1 0设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则 A、B、C 三点共线=（0）（x2 x1,y2 y1）=（x3 x1,y3 y1）（0）（x2 x1）（y3 y1）=（x3 x1）（y2 y1）两个向量a、b的夹角公式：cosx1x2 y1y22x12y22y12x2线段的定比分点公式：（0和1）1PPP1）（x1,y1）,(x,y),(x2,y2)，则设1P=PP2（或P2P=，且P1,P,P2的坐标分别是推广 1：当y y2y 121时，得线段P1P2的中点公式：x x2x 12BMAPy1y2y 1x x1x21推广 2：AM则PM PAPB（对应终点向量）.1MBx x2 x3x 13三角形重心坐标公式：ABC 的顶点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，重心坐标Gx,y：y y1 y2 y33注意：在ABC 中，若 0 为重心，则OAOB OC 0，这是充要条件.x xh平移公式：若点 Px,y按向量a=h,k平移到 Px,y，则y yk4.正弦定理：设ABC 的三边为 a、b、c，所对的角为 A、B、C，则abc 2R.sin Asin BsinCa2 b2c22bccos A222余弦定理：b ac 2accos B2c b2a22abcosCA B2正切定理：abA Babtan2tan三角形面积计算公式：设ABC 的三边为 a，b，c，其高分别为 ha，hb，hc，半周长为 P，外接圆、内切圆的半径为 R，r.S=1/2aha=1/2bhb=1/2chcS=PrS=abc/4RS=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinAS=PP aP bP c海伦公式S=1/2（b+c-a）ra如下图=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb注：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心.高中数学高考总复习高三数学总复习九向量 2 如图：图 1 中的 I 为 SABC的内心，S=PrA图 2 中的 I 为 SABC的一个旁心，S=1/2（b+c-a）raCDFbBEAAcbcacABaDICrararaFbOFEaBEIC附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.已知O 是ABC 的内切圆，若 BC=a，AC=b，AB=c 注：s 为ABC 的半周长,即N1图图2图3图4CBa bc2则：AE=s a=1/2（b+c-a）BN=sb=1/2（a+c-b）FC=s c=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4）.特例：已知在 RtABC，c 为斜边，则内切圆半径 r=abcab（如图 3）.2abctan Atan B tanC，结论！1tan Atan BA在ABC 中，有下列等式成立tan AtanBtanC tan AtanBtanC.证明：因为A B C,所以tanA B tanC，所以2AC2BD AB2BC在ABC 中，D 是 BC 上任意一点，则AD BDDC.BC证明：在ABCD 中，由余弦定理，有AD2 AB2BD22 ABBDcosBAB2BC2AC2在ABC 中，由余弦定理有cosB，代入，化简2ABBCAC2BD AB2BC可得，AD BDDC（斯德瓦定理）BC2BDC图 5若 AD 是 BC 上的中线，ma若 AD 是A 的平分线，ta若 AD 是 BC 上的高，haABC 的判定：12b2 2c2a2；22bc ppa，其中p为半周长；bcppapbpc，其中p为半周长.2ac2a2b2ABC 为直角A+B=2c2a2b2ABC 为钝角A+B2高中数学高考总复习高三数学总复习九向量 3 c2a2b2ABC 为锐角A+B附：证明：cosC 2a2b2c2，得在钝角ABC 中，cosC 0 a2b2c2 0,a2b2c22ab平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.a b2a b2 2(a2b2)高中数学高考总复习高三数学总复习九向量 4
