数学物理方法复习资料及参考答案(二).pdf
数学物理方法复习资料及参考答案（二）一、选择题一、选择题：1.函数（）f(x)以z0为中心的 Taylor 展开的系数公式为：f(k)(z0)kf()dB BCkA ACk2ic(z0)k!C CCk1f()dk1c2i(z0)D DCkkf()dk1c2i(z0)2.(z a)dz（）(其中l表示以为a中心为半径的周围)。lA AiB Bix0 C CiD D03.非齐次边界条件uA A（）(t),uxl(t)，转化为齐次边界条件的方法：A(t)x B(t)B BA(t)xC CB(t)D DA(t)x2 B(t)x4.hf(t)是定义在半无界区间(0,)上的函数，f(t)0在边界条件(0 t T)(T t)（）f(0)0下，把f(t)展为实数形式傅立叶积分：C CA A2h 12h coswTB Bwwx02h sinwTwD D2h1coswTw5.齐次边界条件ux（）0,uxl 0的本征值和本征函数：n22nx,X(x)C cosA Annnll2n22nx,X(x)C sinB Bnnnll2(n 0,1,2,3,)(n 1,2,3,)11(n)22(n)x22C Cn,Xn(x)Cncos2ll11(n)22(n)x22D Dn,X(x)C sinnnll26.若集合是（），则该集合是区域。(n 0,1,2,3,)(n 0,1,2,3,)A A开集B B连通开集C C连通闭集D D连通集7.设a是f(z)的可去奇点，则有：（）存在且有限B BZaA AC Clim f(Z)Zalim f(Z)不存在f(z)在a点的主要部分只有有限项D Df(z)在a点的主要部分有无限多项第 1 页8.方程ez1f(z)2在奇点 z=0 的留数是：（）zA A 1B B 0C C -1D D 29.当 C 为（）时，dzcz 1 010.方程（）是n阶贝塞耳方程：二、简答题二、简答题：1、何谓解析函数？它有什么特点？2、简述施图姆刘维尔本征值问题的共同性质。三、基础题三、基础题：1、已知解析函数f(z)的实部u(x,y)3x2y y3，f(i)1，求虚部和这个解析函数。2、计算实变函数定积分I 20dx1 2cosx 2t13、用达朗贝尔解法求定解问题（简要给出推导过程）4、用拉普拉斯变换法求解积分方程四、综合题四、综合题：1、求解定解问题2、求解定解问题3、求解定解问题f(t)t f()sin(t )d参考答案参考答案一、选择题一、选择题：1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.A D 10.D二、简答题二、简答题：1.解析函数：若函数若f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z)在z0点解析。f(z)在区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。特点：区域B上的解析函数，其实部和虚部在该区域上为共轭调和函数。区域B上的解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，则由u(x,y)常数，v(x,y)常数，得到的xoy平面上的两族曲线是互相正交的。2.有无穷多个本征值：123y1(x),y2(x),y3(x),0ym(x)和相应地有无穷多个本征函数：所有的本征值都大于或等于零：n 相应于不同本征 值m和n的 本征 函数yn(x)，在 区 间a,b上带 权重(x)正 交，即：第 2 页baym(x)yn(x)(x)dx 0y1(x),y2(x),y3(x),是完备的。本征函数族三、基础题：1解：u 3x23y2,u 6xy（2 分）yx由C R条件，得：vu 3x2y3y2x，则：v(3x23y2)dx x33xy2(y)得：vy 6xy/(y)ux 6xy得：/(y)0,(x)C得：v x33xy2C，（C为常数）因为：f(i)1,iC 0，所以：C 0故：f(z)iz32解：令z eix，则cosx 112(z z1),dx izdz1dz则I izz 11(z z1)2idzz 1(z)(z 1)则z 和z 1为一阶极点，又11，应舍去Resf()i21则，I 2iResf()2123解：x 1()令：2，x att 12a()x at第 3 页（2 分）（2 分）（2 分）（2 分）（2 分）得：utt a uxx22u 0 (a)(a)u 0 0（2 分）txtx积分后，可得：u(x,t)f1()f2()f1(x at)f2(x at)由初始条件，得：u(x,0)f1(x)f2(x)0ut(x,0)af(x)af(x)(x)/1/2解得：1x1()d f1(x0)f2(x0)x2a02（2 分）x11f2(x)()d f1(x0)f2(x0)2ax02f1(x)故：u(x,t)4解：令：L(p)f1(x at)f2(x at)1xat()d（2 分）2axat f(t)对原式拉普拉斯变换，得：L(p)111 f(t)sint L(p)（2 分）222ppp 111p2p4（2 分）L(p)对上式拉普拉斯逆变换，得：f(t)1L(p)1四、计算题：1解：令u11311 t t（2 分）246ppx,t XxTt由分离变量法解得：(2n 1)22本征值：n2(2l)(2n 1)x（6 分）本征函数：X(x)sin2l(2n 1)at(2n 1)atT t Acos Bsin2l2l得：u(2n 1)at(2n 1)at(2n 1)xx,tA cos B sinsin（2 分）nnn02l2l2l代入初始条件有，第 4 页可得：Bnl8U0l2l(2n 1)xU0sindx 20(2n 1)a2la(2n 1)故：ux,t8U0l(2n 1)at(2n 1)xsinsin（4 分）22l2la(2n 1)n02解：极坐标系下，拉普拉斯方程的通解为：（4 分）考虑圆外自然边界条件：,u 有限值，Am Bm 0,D0 0（2 分）则可得：u(,)m0m(Cmcos m Dmsin m)（2 分）m由边界条件：u(a,)比较两边系数可得：m0a(Cmcos m Dmsin m)B 3Asin 4Asin 3C0 B,Cm 0(m 0),a1D1 3A,D1 3aA,aD3 4A,D3 4a A,Dm 0(m 1,3)故：u(,)B 3解：33（2 分）3aAsin4a3A3sin 3（2 分）由于边界条件及无关，故可以球坐标系的极轴为对称轴，则轴对称情况下拉普拉斯方程通解为：u(r,)(Alrll0BL)Pl(cos)（4 分）rl1r0考虑圆心的自然边界条件：u 有限值，Bl 0（2 分）则可得：u(r,)由边界条件：AlrlPl(cos)（2 分）l0211,A1,A2,Al 0(l 0,1,2)（2 分）3262112(cos)r P2(cos)（2 分）故：u(r,)P0(cos)rP1326比较两边系数可得：A0第 5 页
