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-概率统计概率统计-第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布一、一维离散随机变量一、一维离散随机变量定义 4：如果随机变量量，并称分布列的性质：（1）1.一维离散2.一维连续3.一维函数的分布是 random variable 的缩写的取值为一列离散的点，为随机变量的分布列.；（2），我们就称 为一个离散随机变二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数为一个随机变量，我们称为随机变量的分布函数.定义 5：设分布函数的性质：（1）（2）（3）三、一维连续型随机变量三、一维连续型随机变量定义 6：如果随机变量则称的分布函数可以写成称为，（2）的密度函数.，那么为的右连续函数为的不减函数为一个连续型随机变量，密度函数的性质：（1）连续型随机变量求概率：设（1）为连续型随机变量的密度函数，；质量=不是概率，有可能大于 1【例 21解答题】设随机变量【答疑编号 911302101】解：的分布列为，求的分布函数.【例 22解答题】设为曲线与 x 轴所围成的区域，在中等可能地投点，该点到轴的距离为，求的分布函数.【答疑编号 911302102】解：当当的取值范围时，时，当时，【例 23选择题】下列四个函数，哪个是分布函数（A）（B）（C）（D）【答疑编号 911302103】答案：（D）【例 24选择题】设函数（A）是随机变量，则的分布函数；（B）不是分布函数；（C）离散型分布函数；（D）连续型分布函数.【答疑编号 911302104】不是右连续的，所以不是分布函数答案：（B）是随机变量的的分布函数，是既不离散也不连续的随机变量的概率密度是偶函数，是其分布函数，则对于任意【例 25选择题】设随机变量实数，有（A）；（）（B）（C）（D）；.【答疑编号 911302105】分析：答案：（C）【例 26选择题】下列论断正确的是（A）连续型随机变量密度是连续函数；（B）连续型随机变量等于 0 的概率是 0；（C）连续型随机变量密度（D）两连续型随机变量之和是连续型的.【答疑编号 911302106】分析：不是连续函数，所以（A）错设 是连续的，令，也是连续的，但它们的和为0，不是连续型，所以（D）错误.两个相互独立的连续型随机变量之和是连续型的.答案：（B）【例 27选择题】假设是只有两个可能值的离散型随机变量，是连续型随机变量，且相互独立，则随机变量的分布函数（A）是阶梯函数；（B）恰好有一个间断点；（C）是连续函数；（D）恰好有两个间断点.【答疑编号 911302107】答案：（C）常见的离散随机变量：【例 28解答题】在 重独立试验中，假设事件 在每一次试验中发生的概率均为，令在这次试验当中 发生的次数，求的分布列.【答疑编号 911302108】解：，表示首和表示【例 29解答题】假设某人对一目标进行连续射击，每次击中目标的概率均为，令次击中目标时的射击次数，求【答疑编号 911302109】解：如果令1.二项分布：如果随机变量我们称随机变量服从参的取值范围：的分布列.，表示第三次命中时的射击次数，则，的分布列为：，数为 的二项分布，记为时的二项分布的分布列为：称为 01 分布2.01 分布：我们把3.泊松分布：如果随机变量我们称随机变量，服从参数为的泊松分布，记为的分布列为：，服从参数为的几何分布.4.几何分布：如果随机变量我们称随机变量的分布列为：5.超几何分布：如果随机变量我们称随机变量服从参数为常见的连续型随机变量的超几何分布，记为，.1.均匀分布：若随机变量X 的密度函数为间上的均匀分布，记为.，则称随机变量 X 服从区2.指数分布：若随机变量 X 的密度函数为则称随机变量 X 服从参数为的指数分布，记为.3.正态分布：若随机变量X 的密度函数为则称随机变量 X 服从参数为的正态分布，记为.特别，当时，称为标准正态分布，其密度函数记为，分布函数记为正态分布的基本性质：1.若，则.2.正态分布的标准化性质：若例题：，求 P（1X5）的概率，则.解：P（1X5）=P（-1【例 30解答题】设4 的概率.【答疑编号 911302201】解：A=X41），现对 X 进行四次独立重复观测，求至少有3 次观测值小于，记【例 32选择题】设随机变量X 与 Y 服从正态分布，（A）对任何，都有，则（）；（B）对任何实数，都有；（B）只有的个别值，才有；（D）对任何实数，都有.【答疑编号 911302202】答案：A【例 33选择题】设随机变量，则随的增大，概率（A）单调增大；（B）单调减小；（C）保持不变；（D）增减不定.【答疑编号 911302203】答案：C【例 31填空题】设【答疑编号 911302204】，且，则.0.25+0.25+0.25=0.75四、一维随机变量函数的分布问题的提法：已知连续随机变量X 的密度函数为 f（x），令 Y=G（X），其中 G（X）为一个实函数.求随机变量 Y=G（X）的密度或分布函数.【例 34解答题】设随机变量X 的密度为 f（x）=3x2，0 x1，求 Y=eX的密度函数.【答疑编号 911302205】f（x）=3x2，0 x1X:0，1Y 的取值范围1，e当 y1 时，FY（y）=0当 ye 时，FY（y）=1当 1ye 时，FY（y）=P（Yy）=P（eXy）=P（Xlny）Y=eX=（lny）3fY（y）（1ye）=2 的指数分布，令Y=1-e-2X，求随机变量Y 的分布【例 35解答题】设随机变量X 服从参数函数 FY（y）与概率密度 fY（y）.【答疑编号 911302206】Y 的取值范围：0，1当 y0 时，FY（y）=0，y1 时，FY（y）=1当 0y1 时，FY（y）=P（Yy）=P（1-e-2Xy）=P（Xln（1-y）=fY（y）=10y1YU（0，1）【例 36解答题】设连续型随机变量X 有严格单调增加的分布函数F（x），试求 Y=F（X）的分布函数与密度函数.【答疑编号 911302207】Y=F（X）0F（x）1Y：0，1当 0y1 时，FY（y）=P（Yy）=P（F（X）y）=P（XF-1（y）=F（F-1（y）=yfY（y）=10y1【例 37解答题】设随机变量X 的分布函数 FX（x）为令Y 的分布函数 FY（y）【答疑编号 911302208】解：要求 YX2的分布函数必须知道X 的取值范围X：-1，1Y 的取值范围0，1y0 时，FY（y）=0y1 时，FY（y）=10y1 时，FY（y）=P（Yy）=P（X2y）YX2，求【例 38解答题】设随机变量X 服从指数分布，EX=5，令 Y=min（X，2），求随机变量 Y 的分布函数 F（y）【答疑编号 911302209】解：Xe（Y：0，2）Y=min（X，2）时，FY（y）=P（Yy）=P（minX，2y）=P（Xy）=则随机变量 Y 的分布函数为