椭圆知识点及经典例题汇总.pdf
椭圆知识点知识要点小结：知识要点小结：知识点一：椭圆的定义知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常(PF1 PF2 2a F1F2),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设注意：假设(PF1 PF2 F1F2)，那么动点，那么动点P的轨迹为线段的轨迹为线段F1F2；假设假设(PF1 PF2 F1F2)，那么动点，那么动点P的轨迹无图形的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程知识点二：椭圆的标准方程x2y21 1当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：221(a b 0)，其中，其中abc2 a2b2y2x22 2当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：221(a b 0)，其中，其中abc2 a2b2；x acos3.3.椭圆的参数方程椭圆的参数方程(为参数)y bsin注意：注意：1 1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准才能得到椭圆的标准方程；方程；2 2在椭圆的两种标准方程中，都有在椭圆的两种标准方程中，都有(a b 0)和和c2 a2b2；3 3椭圆的焦点总在长轴上椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(c,0)；第 1 页当焦点在当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,c)知识点三：椭圆的简单几何性质知识点三：椭圆的简单几何性质x2y2椭圆：椭圆：221(a b 0)的简单几何性质的简单几何性质abx2y21 1对称性：对称性：对于椭圆标准方程221(a b 0)：说明：把x换成 x、ab或把y换成 y、或把x、y同时换成 x、y、原方程都不变，所以椭圆x2y21是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中a2b2心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2 2范围：范围：椭圆上所有的点都位于直线x a和y b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x a，y b。3 3顶点：顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。x2y2椭圆221(a b 0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，ab坐标分别为A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,b)线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，A1A2 2a,B1B2 2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4 4离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e 2cc。2aa因为(a c 0)，所以e的取值范围是(0 e 1)。e越接近 1，那么c就第 2 页越接近a，从而b a2c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于 0，c就越接近 0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a b时，c 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a。x2y2注意：椭圆221的图像中线段的几何特征ab如下列图：1(PF1 PF22a)；PF1PM1PF2PM2 e；(PM1 PM22a2)；c3 3A1F1 A2F2 ac；A1F2 A2F1 ac；ac PF1 ac；知识点四：椭圆第二定义知识点四：椭圆第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率a2a2左准线左准线l1:x 右准线右准线l2:x cc知识点五：椭圆的焦半径公式：知识点五：椭圆的焦半径公式：左焦半径左焦半径r1 a ex0右焦半径右焦半径r2 a ex0其中其中e是离是离心率心率焦点在焦点在 y y 轴上的椭圆的焦半径公式：轴上的椭圆的焦半径公式：第 3 页知识点六：直线与椭圆问题韦达定理的运用知识点六：直线与椭圆问题韦达定理的运用 MF1 a ey0 其中其中F1,F2分别是椭圆的下上焦点分别是椭圆的下上焦点MF a ey20弦长公式：弦长公式：假设直线l:y kx b与圆锥曲线相交与A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2)那么弦长AB(x1 x2)2(y1 y2)2(x1 x2)2(kx1kx2)21 k2x1 x21 k2(x1 x2)2 4x1x2x2y2y2x2知识点七：椭圆知识点七：椭圆221与与221(a b 0)的区别和联系的区别和联系abab标准方程标准方程x2y221(a b 0)2aby2x221(a b 0)2ab图形图形焦点焦点焦距焦距范围范围性质性质F1(c,0)，F2(c,0)F1(0,c)，F2(0,c)F1F2 2cx a，y bF1F2 2cx b，y a对称性对称性关于关于x轴、轴、y轴和原点对称轴和原点对称顶点顶点轴长轴长离心率离心率(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)长轴长长轴长=2a，短轴长，短轴长=2be c(0 e 1)a第 4 页准线方准线方程程焦半径焦半径a2x ca2y cPF1 aex0，PF2 aex0PF1 aey0，PF2 aey0 x2y2y2x2注意：椭圆注意：椭圆221，221(a b 0)的一样点：形状、大小都一样；的一样点：形状、大小都一样；abab参数间的关系都有参数间的关系都有(a b 0)和和e(0 e 1)，a2 b2 c2；不同点：两种椭；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不一样。圆的位置不同；它们的焦点坐标也不一样。规律方法：规律方法：1 1如何确定椭圆的标准方程？如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 2椭圆标准方程中的三个量椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(a b 0)，(a c 0)，且(a2 b2 c2)。可借助右图理解记忆：可借助右图理解记忆：显然：a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条直角边。3 3如何由椭圆标准方程判断焦点位置如何由椭圆标准方程判断焦点位置第 5 页ca椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程方程Ax2By2C(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件是表示椭圆的条件Ax2By2x2By21，即1，所以只有A、B、方程Ax By C可化为CCCCAB22C 同号，且 AB 时，方程表示椭圆。当当CC时，椭圆的焦点在y轴上。ABCC时，椭圆的焦点在x轴上；AB5 5求椭圆标准方程的常用方法：求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量；定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6 6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点的椭圆标准方程形式上的差异x2y2共焦点，那么 c 一样。与椭圆221(a b 0)共焦点的椭圆方程可设为abx2y221(m b2)，此类问题常用待定系数法求解。2a mb m7 7判断曲线关于判断曲线关于x轴、轴、y轴、原点对称的依据：轴、原点对称的依据：假设把曲线方程中的x换成 x，方程不变，那么曲线关于y轴对称；假设把曲线方程中的y换成 y，方程不变，那么曲线关于x轴对称；假设把曲线方程中的x、y同时换成 x、y，方程不变，那么曲线关于原点对称。第 6 页8 8如何求解与焦点三角形PF如何求解与焦点三角形PF1 1F F2 2P P 为椭圆上的点有关的计算问题？为椭圆上的点有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定 义 及 余 弦 定 理 或 勾 股 定 理 、三 角 形 面 积 公 式SPF1F21PF1 PF2sinF1PF2相结合的方法进展计算解题。2将有关线段PF1、PF2、F1F2，有关角F1PF2(F1PF2F1BF2)结合起来，建立PF1 PF2、PF1 PF2之间的关系.9 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e(0 e 1)，因为b2c2 a2b2，a c 0，用a、b表示为e 1()(0 e 1)。aca显然：当 越小时，e(0 e 1)越大，椭圆形状越扁；当 越大，e(0 e 1)越小，椭圆形状越趋近于圆。经典例题：经典例题：一、椭圆的定义一、椭圆的定义例 1、F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，那么点 P 的轨迹为()A 圆B 椭圆C 线段D 直线x x2 2y y2 2例 2、椭圆 1 1左右焦点为 F1、F2，CD 为过 F1的弦，那么CDF216169 9baba的周长为_二、椭圆的标准方程二、椭圆的标准方程x x2 2y y2 2 1 1表示椭圆，那么 k 的取值范围是()例 3、方程1 1 k k1 1 k k第 7 页A-1k0C k 0D k1或 k-1例 4、方程mx1+为.例 5、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为 10，短轴长为 6(2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)例 6、假设ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB 边上的中线长之和为 30，求ABC 的重心 G 的轨迹方程。2y22 m=1，表示焦点在y 轴上的椭圆，那么m 的取值范围x 32 y264的内部与其相内切，的内部与其相内切，0，例 7、动圆动圆P过定点过定点A3，且在定圆且在定圆B：求动圆圆心求动圆圆心P的轨迹方程的轨迹方程例 8、P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点点P到两焦点的距离分别为到两焦点的距离分别为和和4 532 5，过，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆3方程方程三、离心率三、离心率x x2 2y y2 2例 9、椭圆2 2 2 2 1(1(a a b b 0)0)的左右焦点分别是 F1、F2，过点F1作 x 轴的a ab b垂线交椭圆于 P 点。假设F1PF2=60，那么椭圆的离心率为_例 10、正方形ABCD，那么以A、B 为焦点，且过C、D 两点的椭圆的的离心率为_第 8 页x2y2例 11、椭圆221(a b 0)与x轴正向交于点A，假设这个椭圆上总存ab在点P，使OP AP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围四、最值问题四、最值问题x x2 2例 12、椭圆 y y2 2 1 1两焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆上，那么|PF1|PF2|的4 4最大值为_，最小值为_x x2 2例 14、椭圆 y y2 2 1 1，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值4 4和最小值。六、直线和椭圆六、直线和椭圆x x2 2y y2 2例 16、直线l:y=2x+m，椭圆 C：1 1，试问当 m 为何值时：4 42 2(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.x x2 2例 17、斜率为 1 的直线l经过椭圆 y y2 2 1 1的右焦点，交椭圆于 A、B 两4 4点，求弦 AB 的长.例 18、椭圆椭圆4x2 y21及直线及直线y xm1 1当当m为何值时，直线与椭圆有公共点？为何值时，直线与椭圆有公共点？2 2假设直线被椭圆截得的弦长为假设直线被椭圆截得的弦长为2 10，求直，求直5线的方程线的方程x x2 2例 19、椭圆 C：y y2 2 1 1，直线 l:y=kx+1,与 C 交于 AB 两点，k 为何值4 4第 9 页时，OAOBx21 1例 20、椭圆椭圆 y21，1 1求过点求过点P，且被且被P平分的弦所在直线的平分的弦所在直线的22 2方程；方程；2 2求斜率为求斜率为 2 2 的平行弦的中点轨迹方程；的平行弦的中点轨迹方程；1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；3 3过过A2，4 4椭圆上有两点椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线为原点，且有直线OP、OQ斜率满足斜率满足1kOPkOQ，2求线段求线段PQ中点中点M的轨迹方程的轨迹方程第 10 页
