用导数研究函数的恒成立与存在性问题答案.pdf
用导数研究函数的恒成立与存在问题1 1已知函数已知函数f(x)3x2x2ln x，其中，其中a为常数为常数a（1 1）若）若a 1，求函数，求函数f(x)的单调区间；的单调区间；（2 2）若函数）若函数f(x)在区间在区间1,2上为单调函上为单调函数，求数，求a的取值范围的取值范围2 2已知函数已知函数f(x)x3ax24(aR)，f(x)是是f(x)的导函数。的导函数。（1 1）当）当a 2时，对于任意的时，对于任意的m1,1，n1,1，求，求f(m)f(n)的最小值；的最小值；（2 2）若存在）若存在x0(0,)，使，使f(x0)0 0，求，求a的取值范围。的取值范围。3 3已知函数已知函数f(x)ax ln x(aR).（1 1）若）若a 2，求曲线，求曲线y f(x)在点在点x 1处的切线方程；处的切线方程；（2 2）求）求f(x)的单调区的单调区间；间；（3 3）设）设g(x)x2 2x 2，若对任意，若对任意x1(0,)，均存在，均存在x20,1，使得，使得f(x1)g(x2)，求实数求实数a的取值范围的取值范围.4 4（20162016 届惠州二模）已知函数届惠州二模）已知函数fx x22ln x（）求函数（）求函数fx的最大值；的最大值；（）若函数（）若函数fx与与gx x有相同极值点有相同极值点求实数求实数a的值；的值；,3对对x1,x2(e为自然对数的底数为自然对数的底数)，不等式，不等式e1axfx1 gx21恒成立，求实数恒成立，求实数k 1k的取值范围的取值范围5 5已知函数已知函数f(x)(a)x2 lnln x(a R)（1 1）当）当a 1时，时，x0 1,e 使不等式使不等式f(x0)m，求实数，求实数m的取值范围；的取值范围；（2 2）若在区间若在区间(1,)，函数函数f(x)的图象恒在直线的图象恒在直线y 2ax的下方，的下方，求实数求实数a的取值范围的取值范围12第 1 页用导数研究函数的恒成立与存在问题用导数研究函数的恒成立与存在问题答案答案1 1解：(1)若a1，则f(x)3x2x2lnx，定义域为(0，)，14x23x1f(x)4x34x1x1xxx(x0)当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)3x2x2lnx单调递增当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)3x2x2lnx单调递减，即f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，)31(2)f(x)4x.ax若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，3131即在1,2上，f(x)4x 0 或f(x)4x 0，axax131即 4x 0 或 4x 0 在1,2上恒成立3aaxax131即 4x 或 4x.3xax1令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，x333 153所以 h(2)或 h(1)，即 或 3，aaa2a解得a0 或 0a 或a1.52故a的取值范围是(，0)(0，1，)52.解：（1）由题意知f(x)x32x24,f(x)3x24x.令f(x)0,得x 0或.当x在-1，1上变化时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：x-1（-1，0）0（0，1）1432第 2 页f(x)f(x)-7-1-0-4+1-3对于m1,1,f(m)的最小值为f(0)4,f(x)3x2 4x的对称轴为x 2且抛物线开口向下,3，对于n1,1,f(n)的最小值为f(1)7.f(m)f(n)的最小值为-11.（2）f(x)3x(x 若2a)3.a 0,当x 0时,f(x)0,f(x)在0,上单调递减，又f(0)4,则当x 0时,f(x)4.若a 0,则当0 x 2a2a时,f(x)0,当x 时,f(x)0.3322a从而f(x)在上单调递增，在0,上单调递减，33当x(0,)时，f(x)max2a8a34a34a3 f()4，则 4 0,即a3 27,解得a 3.327927综上，a的取值范围是(3,).(或由x0 0,f(x0)0,得a 4 x0,用两种方法可解)2x01 f(x)2(x 0)，f (1)2 1 3，故曲线y f(x)在x 1处切3 3 解：（1）由已知x线的斜率为3而f(1)2，所以切点为(1,2)，y f(x)在点x 1处的切线方程为y 3x11xax 1(x 0)x（2）f (x)a 当a 0时，由于x 0，故ax 1 0，所以f (x)0，f(x)的单调递增区间为(0,).第 3 页当a 0时，由f (x)0，得x .在区间(0,)上，f (x)0，在区间(,)上f (x)0，1a1a1a1a1a所以，函数的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,).（3）由已知，问题等价于为f(x)max g(x)max.其中g(x)max 2由(2)知，当a 0时，f(x)在(0,)上单调递增，值域为 R，故不符合题意.(或者举出反例：存在f(e3)ae3 3 2，故不符合题意.)1a1a当a 0时，f(x)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减，11f(x)f()1 ln(ln()1 ln(ln(a)，故的极大值即为最大值，aa所以2 1 ln(ln(a)，解得a 13.e4 4 解（）f x 2x 由2x2x1x1x 0，1 分x f x 0,f x 0,得0 x 1；由得x 1.x 0 x 0 fx在0,1上为增函数，在1,上为减函数.2 分函数fx的最大值为f1 1.3 分由（1）知，x 1是函数fx的极值点，又 函数fx与gx x有相同极值点，x 1是函数gx的极值点，g11a 0，解得a 1.4 分ax第 4 页经验证，当a 1时，函数gx在x 1时取到极小值，符合题意.5 分易知92ln 3 11f 3 f，即2 1 f1.e2e1x1,3,fx1min f3 92ln 3,fx1max f1 17 分e由知gx x,gx1gx0.1x11x,1时，gx0；当x1,3时，当ex2,1故gx在e上为减函数，在1,3上为增函数.1111011011g e,g1 2,g3 3，而2 e,g1 g g3.e33e3ee101x2,3,gx2min g1 2,gx2max g3.9 分3e11当k 1 0，即k 1时，对于x1,x2,3，e不等式fx1 gx21k 1恒成立 k 1 fx1 gx2max k fx1 gx2max1.k 31 2,又k 1,k 1.10 分12当k 1 0，即k 1时，对于x1,x2,3，e不等式k fx1 gx21恒成立 k 1 k fx1 gx21.fx1 gx2minmink 134342ln 3,又k 1,k 2ln 3.11 分33342ln 33综上，所求实数k的取值范围为,1,.12 分1215 5【解】：(1)当a1 时，f(x)xlnx(x0)，f(x)x，2x由x1，e，f(x)0 得函数f(x)在区间1，e为增函数，第 5 页121则当x1，e时，f(x)，1 e.22故要使x01，e使不等式f(x0)m成立，只需m 即可.2(2)在区间(1，)上，函数f(x)的图象恒在直线y2ax的下方等价于对x(1，)，f(x)2ax，12即(a)xlnx2ax0 恒成立212设g(x)(a)x2axlnx(x1，)，211则g(x)(2a1)x2a(x1)(2a1)1xx1当x(1，)时，x10,0 1.x若 2a10，即a，g(x)0，函数g(x)在区间1，)上为减函数，21则当x(1，)时g(x)g(1)a 2a a，22111只需 a0，即当 a 时，22212g(x)(a)xlnx2ax0 恒成立21若 02a11，即 a1 时，211令g(x)(x1)(2a1)0 得x1，x2a111，为增函数，函数g(x)在区间1，为减函数，2a12a1 1则g(x)g，不合题意 2a111若 2a11，即当a1 时g(x)0，函数g(x)在区间1，)为增函数，则g(x)g(1)，)，不合题意第 6 页1112综上可知：当 a 时g(x)(a)xlnx2ax0 恒成立，22211即当 a 时，在区间(1，)上函数f(x)的图象恒在直线y2ax的下方22第 7 页
