概率论和数理统计课后题.pdf
7 7 习题七习题七1.设总体 X 服从二项分布 b（n，p），n 已知，X1，X2，Xn为来自 X 的样本，求参数 p的矩法估计.【解】【解】E(X)np,E(X)A1 X,因此 np=X 所以 p 的矩估计量p2.设总体 X 的密度函数Xn 2(x),0 x,f（x,）=2其他.0,X1，X2，Xn为其样本，试求参数的矩法估计.【解】【解】E(X)2202 x2x3x(x)dx 20,233令 E(X)=A1=X,因此=X3所以的矩估计量为 3X.3.设总体 X 的密度函数为 f（x，），X1，X2，Xn为其样本，求的极大似然估计.e ex,x 0,（1）f（x，）=x 0.0,x1,0 x 1,（2）f（x，）=0,其他.【解】【解】（1）似然函数L f(x,)enii1i1nn xineenxii1ng lnL nlnxii1dgdlnLnn由xi 0知ddi1nixi1n所以的极大似然估计量为1.X(2)似然函数L n1xi,0 xi1,i=1,2,n.i1nlnL nln(1)lnxii1ndlnLn由lnxi 0知di1n nlnxii1n nln xi1ni 所以的极大似然估计量为nln xi1ni4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10 人的收益率数据，结果如下：序号收益率123-0.124-0.095-0.136-0.370.18-0.099-0.110-0.110.01-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】【解】x 0.094s 0.101893n 9EX x 0.094.xi2)2 A,即有2E(X由E(X)D(X)E(X),E(X)A2知2i1n222n)2 A2E(X1102Xi10(X)210i1 于是9s 0.90.10189 0.096610所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94 和 0.966.5.随机变量 X 服从 0，上的均匀分布，今得 X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估计和极大似然估计，它们是否为的无偏估计.【解】【解】(1)E(X)2,令E(X)X，则 2X且E()2E(X)2E(X),2x 20.6 1.2且 2X是一个无偏估计.所以的矩估计值为 1(2)似然函数L f(xi,),i=1,2,8.i1显然 L=L()(0)，那么 maxxi时，L=L()最大,1i888所以的极大似然估计值=0.9.因为 E()=E(maxxi),所以=maxxi不是的无偏计.1i81i86.设 X1，X2，Xn是取自总体 X 的样本，E（X）=，D（X）=2，=k(Xi1 Xi)2,2n1i1为2的无偏估计.问 k 为何值时【解】【解】令Yi Xi1 Xi,i=1,2,n-1,则E(Yi)E(Xi1)E(Xi)0,D(Yi)22,2 Ek(于是E2Yi1n12i)k(n1)EY12 22(n1)k,2)2,即22(n1)k 2时,那么当E(有k 1.2(n1)7.设 X1，X2是从正态总体 N（，2）中抽取的样本12113112X1X2;3X1X2;X1X2;3344221,2,3都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.试证1)E【证明】【证明】（1）E(2)E(12121 2X1X2E(X1)E(X2),33333313E(X1)E(X2),44113)E(X1)E(X2),E(221,2,3均是的无偏估计量.所以452 2121)D(X1)D(X2)X(2)D(,993322521 32)D(X1)D(X2)D(,8442213)D(X1)D(X2)D(,228.某车间生产的螺钉，其直径 XN（，2），由过去的经验知道2=0.06,今随机抽取 6 枚，测得其长度（单位 mm）如下：14.715.014.814.915.115.2试求的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】【解】n=6,2=0.06,=1-0.95=0.05,22x 14.95,uau0.251.96,2的置信度为 0.95 的置信区间为xu/2(14.950.11.96)(14.754,15.146).n 9.总体 XN(,2)，2已知，问需抽取容量 n 多大的样本，才能使的置信概率为 1-，且置信区间的长度不大于L？【解】【解】由2已知可知的置信度为 1-的置信区间为x u/2,n 于是置信区间长度为2u/2,n42(u/2)22u/2L,得 n那么由2Ln10.设某种砖头的抗压强度XN（，2），今随机抽取 20 块砖头，测得数据如下（kg cm-2）：64694992559741848899846610098727487844881（1）求的置信概率为 0.95 的置信区间.（2）求2的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】【解】x 76.6,s 18.14,10.95 0.05,n 20,t/2(n1)t0.025(19)2.093,/2(n1)220.025(19)32.852,20.975(19)8.907(1)的置信度为 0.95 的置信区间s18.14xt(n1)76.62.093a/2(68.11,85.089)n20(2)的置信度为 0.95 的置信区间2(n1)s2(n1)s21919,218.142,18.142(190.33,702.01)28.907/2(n1)1/2(n1)32.852(1)x,0 x 1;11.设总体 Xf(x)=其中 1其他.0,X1,X2,Xn是 X 的一个样本，求的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)E(X)又xf(x)dx(1)x1dx 011,2X E(X)故1,22X 11 X2X 1.所以的矩估计量1 X(2)似然函数nnn(1)xi 0 xi1(i 1,2,n).L L()f(xi)i1i10其他取对数lnL nln(1)ln xii1n(0 xi1;1 i n),dlnLnln xi 0,d1i1 1所以的极大似然估计量为nnn.iln Xi16x(x),0 x;12.设总体 Xf(x)=3其他.0,X1,X2,Xn为总体 X 的一个样本（1）求的矩估计量；).（2）求D(【解】(1)E(X)xf(x)dx6x203(x)dx 2,令EX X 2,2X.所以的矩估计量)D(2X)4D(X)(2)D(又4DX,，nE(X)于是26x3(x)036232dx,20103222D(X)E(X)(EX),1042022所以)D(25n.13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为2e e2(x),x;f(x,)=x.0,其中(0)为未知参数，又设 x1,x2,xn是总体 X 的一组样本观察值，求 的极大似然估计值.【解】似然函数2(xi)2nei1L L()0ni1nxi 0;i 1,2,其他.,n;lnL nln22(xi),xi;i 1,2,dln L 2n 0知ln L(),d minx 时lnL()maxln L()那么当由1ini,n,0 minx 所以的极大似然估计量i1in14.设总体 X 的概率分布为XP012322(1-)21-2其中(01,0，设 X1,X2,Xn为来自总体 X 的样本（1）当=1 时，求 的矩估计量；（2）当=1 时，求 的极大似然估计量；（3）当=2 时，求 的极大似然估计量.【解】1,x 1;1当=1 时，f(x,)Fx(x,1,)xx 1.0,22,x;当=2 时,f(x,)Fx1(x,2)x30,x.(1)E(X)x1dx 1x111令E(X)X,于是X,X 1X.X 1所以的矩估计量(2)似然函数L L()i1nnn(1),xi1,(i 1,2,xif(xi,)i10,其他.ni1,n);lnL nln(1)ln xi,dlnLnnln xi 0,di1所以的极大似然估计量n.iln xi1n(3)似然函数nL i1 2n2n,xi,(i 1,2,n3f(xi,)xii10,其他.,n);显然L L(),minxi时,L L()max L(),那么当1ina0 minxi.所以的极大似然估计量1in16.从正态总体 XN（3.4，62）中抽取容量为 n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于 0.95，问 n 至少应取多大？(z)z1t2/2e ed dt2zz1.280.91.6450.951.960.9752.330.99X 3.462【解】X N3.4,则Z N(0,1),6/nn 5.43.41.43.4 Z P1.4 X 5.4 P6/n 6/n Pn Z 3n 3 于是n3 n 2n1 0.953 3 nn则1.96,0.9753 3 n35.17.设总体 X 的概率密度为,f(x，)=1,0,0 x 1,1 x 2,其他.其中是未知参数（01）,X1,X2,Xn为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1,x2,xn中小于 1 的个数.求：（1）的矩估计；（2）的最大似然估计.解解(1)由于EX xf(x;)dx xdx(1-)xdx0112133(1).22233 X，解得 X，22所以参数的矩估计为令(2)似然函数为3 X.2L()f(xi;)N(1)nN，i1n取对数，得lnL()N ln(n N)ln(1),两边对求导，得dln L()Nn N.d1dln L()N 0,得，令dn所以的最大似然估计为N.n
