金融时间序列讲义第六章.pdf
第六章第六章异方差模型异方差模型本章主要内容1ARCH 模型2GARCH 模型3ARCH-M 模型4其它异方差模型财经时间序列，如股票汇报率，利率的变动和汇率的改变常常出现方差变动的情况。在最近二十多年来，方差变动的文献迅速增长。这一章，我们介绍几种类型的方差变动模型，重点是 Engle 所提出的自回归条件异方差模型（ARCH,autoregressiveconditional heteroscedastic）和广义自回归条件异方差模型（GARCH）。第一节第一节异方差的性质异方差的性质1.11.1 异方差的定义异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差Var(t)h(t)异方差的影响异方差的影响：忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。1.21.2 异方差直观诊断异方差直观诊断残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图残差平方图残差平方图原理：残差序列的方差实际上就是它平方的期望。Var(t)E(t2)所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳例 6.1 直观考察美国 1963 年 4 月1971 年 7 月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性一阶差分后残差图一阶差分后残差平方图第二节 ARCH 模型资本资产收益率序列的条件均值过程通常被设定为：rttt (1)其中，rt是资产在 t 时期的对数复合收益率，条件均值过程的残差序列t常被假定为白噪声：E(t)0，E(t)2。t则是rt基于 t1 期的信息集Ft1的条件均值，即E(rt|Ft1)t，相应地可以定义rt的条件方差ht：22htVar(rt|Ft1)E(rtt)2|Ft1 E(t|Ft1)(2)式(2)是 GARCH 类波动率模型的核心部分，Engle(1982)首先提出了以 AR(q)结构来对ht建模，这就是著名的自回归条件异方差模型(Auto-Regressive ConditionalHeteroscedasticity,ARCH)。Engle 定义条件均值的残差序列t为：222t ztht (3)其中zt N(0,1)，ARCH(q)被定义为：22ht(L)t (4)iid其中，为保证条件方差非负，ARCH(q)(L)iLi是滞后算子 L 的 q 阶多项式。i1q过程中的参数被约束为：0，i 0。如果1(L)0所有根都落在单位圆外，ARCH(q)过程是弱平稳的，因此也被称为平稳 ARCH 过程。Engle 提出 ARCH 模型是出于两个基本动因，或者说是为了刻画波动率的两个基本特性：其一是波动的聚集性，研究发现市场往往在某一时期内持续剧烈地波动，而又在另一时期维持较为平缓的波动，而且正如 Mandelbrot(1963)指出的，在市场上大的变动之后往往跟随着大的变动，而小的变动之后也往往跟随着小的变动。从式(1)的模型结构看，较大(小)的t会产生较大(小)的ht，因此集聚性能由 ARCH 模型模拟。其二是序列分布的尖峰态。尽管在式(1)中，zt仍被假定为服从正态分布，即t基于信息集Ft1的条件分布是正态的，但是，ARCH 过程的无条件分布却是尖峰态的，具有高峰和肥尾。例：最简单的 ARCH(1)过程t ztht (5)其中ziidt N(0,1)，ARCH(q)被定义为：h22t01t1 (6)其中0 0，1 0。ARCH 模型的性质无条件均值无条件均值E(t)E(htzt)E(ht)E(zt)0条件方差条件方差Var(2222t/Ft1)E(t/Ft1)EztE(t/Ft1)01t1无条件方差无条件方差Var(2t)E(t)EE(2t/Ft1)E(2201t1)01E(t1)因为t是平稳过程，且E(t)0，Var(t)Var(t1)E(2t1)所以Var(t)01Var(t)从而Var(0t)11峰度峰度由于E(t/Ft-1)Ezt(01t1)3(01t1)2所以E(t)E E(t/Ft-1)3E(01t1)2如果t是四阶平稳的，mt E(t4)，那么，我们有444222421222m4 30 201Var(t)12m4 301 23m4111所以230(11)m4(11)(1 312)因此1312 0，即0 121/3且无条件峰度系数为2E(t4)30(11)(11)23(11)32222Var(t)(11)(131)0(131)2从这，我们可以看出t是高峰和肥尾的。估计估计在t ztht中，若zt服从标准的正态分布，则伪似然估计（Quasi-Maximum-Likelihood Estimator）的对数似然函数为：T1TLT ln2lnht2 zt222t1第三节第三节 GARCH GARCH 模型模型为 了 获 得 更 大 的 灵 活 性，Bollerslev(1986)将ARCH一 般 化 得 到GARCH(Generalized ARCH)，GARCH(p,q)的条件方差方程为：222ht(L)t(L)ht (7)(L)与(L)类似，只是阶数为 p。满足条件方差非负性的充分条件是：0，若1(L)可逆，那么 GARCH(p,q)就能写成 ARCH()形式，因此 GARCHi 0，i 0。通过更为简洁的模型结构实现了条件方差对以往信息的长期依赖。22ht(L)1(L)1t (8)若vttht，vt可以视为条件方差模型所产生的残差，式(7)可以被改写为ARMA(max(p,q),p)的形式：221(L)(L)t1(L)vt (9)若1(L)(L)的所有根位于单位圆外，GARCH(p,q)是平稳过程。例：GARCH(1,1)模型2t ztht其中zt N(0,1)，GARCH(1,1)模型被定义为：iidht0t1ht21 (10)可以写成为t20()t1t2ht(t21ht21)ARCH 模型的性质无条件均值无条件均值2222E(t)E(htzt)E(ht)E(zt)0条件方差条件方差Var(t/Ft1)ht2无条件方差无条件方差E(t)201()峰度峰度如果1()222，则峰度系数E(t4)31()2 3Var(t)21()222从这，我们可以看出t是高峰和肥尾的。估计估计在t ztht中，若zt服从标准的正态分布，则伪似然估计（Quasi-Maximum-Likelihood Estimator）的对数似然函数为：T1TLT ln2lnht2 zt222t1第四节 ARCH-M 模型1数学模型；ytttht是t的条件方差，且有ththt服从 ARCH(q)过程：h2t0it2ii1q则称yt服从 ARCH-M 模型。第五节 其它异方差模型1.IGARCH 模型；ht是t的条件方差，且有ht0(11)t211ht12.带解释变量的 ARCH 模型；ht是t的条件方差，且有ht01t211ht1 rDt其中，Dt是外生的解释变量。3.门限 GARCH(TARCH)模型；ht是t的条件方差，且有ht01t211dt1t211ht1其中，dt1是一个指标变量，即0,t1 0dt11,t1 0 4.指数 GARCH(EGARCH)模型；ht是t的条件方差，且有ln(ht)01(t11.思考ht1)1t1ht11ln(ht1)1）假设t是 ARCH(q)过程t vt(0i)22tii1q1求它的条件期望Et1t22）考虑 ARCH-M(q)过程yttt，其中，ht是t的条件方差，且有：tht，ht服从 ARCH(q)过程：ht0it2ii1q为了简单起见，设Et2 Et211a.求出无条件均值Eyt，的变动是怎样影响均值的；b.证明当ht01t21时，yt的无条件方差不依赖,0。
